Уравнение (20) будет уравнением Бесселя только при m = ±k.
Поэтому ряд ( 19) будет решением уравнения Бесселя тоже при m = ±k.
Специальные функции Бесселя и их свойства.
Положив в ряде (19) a0 =1, m = k , получим функцию
y1 |
= y1 (x) = xk (1 − |
|
x2 |
|
|
+ |
|
x4 |
|
|
− |
|
|
|
x6 |
|
+...) , |
4(k + |
1) |
|
42 2!(k +1)(k + |
2) |
|
433!(k |
+1)(k + 2)(k +3) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
которая является решением уравнения (16). |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
При a0 =1, m = −k получим еще |
одну функцию,являющуюся решением |
|||||||||||||||
уравнения (16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
= y2 (x) = x−k (1 − |
|
x2 |
|
|
+ |
|
x4 |
|
|
− |
|
|
|
x6 |
+...) , |
|
|
4(1 − k) |
|
42 2!(1 − k)(2 − k) |
4 |
33!(1 |
− k)(2 − k)(3 − k) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
при этом k не равно целому числу.
Полученные степенные ряды сходятся при всех значениях х, что легко доказать с помощью признака Даламбера.
Функция y1 и y2 называются функциями Бесселя первого рода
и являются линейно независимыми функциями, Поэтому общее решение
уравнения (16) будет иметь вид
y = C1 y1 +C2 y2 ,
где C1 ,C2 - произвольные постоянные и к не равно целому числу. Так, например, при k = 12 будем иметь
y = |
2 |
sin x, |
y |
2 |
= |
2 |
cos x. |
|
|
|
|||||||
1 |
πx |
|
|
πx |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
При целом |
|
m = k рассматривается функция J k = |
y1 |
|
, для которой при к=0 |
||
2k k! |
|||||||
справедливо приближенное равнство |
|
||||||
|
|
|
|||||
J 0 ≈ |
|
2 |
cos(x − π ). |
|
|
|
|
πx |
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
|
|||
Упражнения
1. Определить интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на границах интервала