∞

∑(−1)n−1 (2n −1)x2n−2 .

n=1

Контрольные вопросы по теме занятия:

7.Напомните определение ряда с положительными членами.

8.Дайте определение сходимости ряда.

9.Сформулируйте необходимый признак сходимости.

Заключение.

Теория функциональных рядов дает удобные методы изучения функций, поскольку функции весьма широкого класса могут быть представлены в виде суммы некоторого ряда элементарных функций. Разложение функций в ряды

применяется в различных разделах математики: в анализе для исследования функций, при отыскании решений в виде ряда тех или иных уравнений, содержащих неизвестные функции, например, в численных методах для

приближенного вычисления значений функций.

Введение.

Теория функциональных рядов дает удобные методы для изучения функций. Среди функциональных рядов особую роль играют степенные ряды.

Вплоть до 18 века принципиальные вопросы не привлекали к себе большого внимания, но зато практика рядов достигла высокого развития. В начале века вышла в свет книга Тейлора «Метод разностей, прямой и обратный». Тейлор

исходил из рассмотрения конечных разностей и лишь затем, как предельный

случай, бесконечно малые разности и их отношения. В своей работе Тейлор получил разложение, которое в последствии стали называть рядом Тейлора. Но значение этой формулы было выявлено после опубликования работы

Маклорена «Трактат о флюксиях». Маклорен пришел к тому же ряду другим

путем: он кладет в основу разложение по степеням x с неопределенными коэффициентами.

1. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть функция f(x) дифференцируема бесконечное число раз в точке с и

пусть

n=0

с коэффициентами,определяемыми формулой (1), называется рядом Тейлора функции f(x).

Тот факт, что ряд (2) является рядом Тейлора функции f(x), записывается следующим образом

При с=0 ряд (3) называется рядом Маклорена функции f(x) и имеет вид

Ряд Тейлора (3) может: 1) расходится всюду, кроме точки х=с; 2) сходится, но не к исходной функции f(x), а к какой-нибудь другой; 3) сходится к исходной функции f(x) (самый важный для приложений случай).

Теорема 1. Пусть r - радиус сходимости ряда (2). Тогда, в интервале

сходимости ]c-r,c+r[, ряд (2) является рядом Тейлора своей суммы f(x), то есть

справедливо равенство

n=0

На основании свойства 4 ряд (6) можно почленно дифференцировать любое

число раз, что даст следующую систему равенст:

∞

f (k ) (x) = ∑n(n −1)...(n − k +1)an (x −c)n−k , k =1,2,3,...

n=k

Полагая в этих равенствах и в равенстве (5) x=c, получим:

a0 = f (c),1!a1 = f ′(c),2!a2 = f ′′(c),..., k!ak = f (k ) (c),...,

то есть получили формулу (1).

Теорема1 является необходимым условием условием сходимости степенного ряда к функции f(x). Сформулируем достаточное условие.

Теорема 2. Пусть функция f(x) бесконечное число раз дифференцируема на промежутке Х и существует такое M>0, что

остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа. Из условия (7) следует, что

lim Rn (x) = 0,

n→∞

что и требовалось доказать.

2. Ряды Маклорена для некоторых элементарных функций.

Функцииe x ,sin x, cos x, ln(1 + x),(1 + x)α удовлетворяют условиям теоремы 2 на соответствующих промежутках . Приведем их ряды Маклорена.

Ряд (14) называется биномиальным рядом.

Если α = m - натуральное число то формула (14) справедлива при всех вещественных х. В остальных случаях разложение (14) имеет место только при

x<1. Поведение ряда (14) при х= ±1 зависит от параметра α.

Вчастности, при α = 12 имеем:

Искуственные приемы разложения функций в ряд Тейлора.

Вычисление коэффициентов Тейлора по формуле (1) для многих функций f (x) связано со значительными трудностями. Поэтому представляют интерес искусственные приемы разложения в ряд Тейлора ,связанные со свойствами степенных рядов.

Поясним это на примерах.

Пример1. Разложить в ряд Маклорена функцию f (x) = ex2 . Для этого запишем ряд (10) в виде

ez = ∑∞ zn ,

n=1 n!

где z – любое вещественное число и положим z = x2 .

Тогда получим искомое разложение

Из этого разложения можно , например, заключить, что

(ex2 )(n) x=0 = 0, n =1,3,5,...,

(ex2 )(n) x=0 = (2nn!)! , n = 0,2,4,...

Пример2. Разложить в степенной ряд функцию ln 11 +− xx .

Ряд (13) при x <1дает:

Вычитая из первого равенства второе, получим:

Пример3. Получить ряд Тейлора для интегрального синуса

Ряд (11) и теорема о почленном интегрировании степенного ряда

дают:

причем х- любое вещественное число.

3. Применение рядов Тейлора в приближенных вычислениях.

При помощи рядов Тейлора можно быстро и довольно точно вычислять значения различных функций, определенные интегралы, а также находить решения дифференциальных уравнений.

В основе применения рядов Тейлора для приближенных вычислений

лежит формула Тейлора (8), в которой для сходящегося ряда Тейлора

остаточный член (9) стремится к нулю при n→ и указывает погрешность,

возникающую при переходе от бесконечного ряда к его частичной сумме.

Поясним это на конкретных примерах. Пример 1. Вычислить приближенно e. Формулы (8) и (9) дают:

Например, при n=6

e −1 −1 − 12 − 16 − 241 −1201 − 7201 < 0,0006.

Пример 2. Вычислить приближенно ∫1 e−x2 dx.

0

Заменяя в формуле (10) х на х2 и интегрируя полученный ряд почленно,

будем иметь

Взяв, например, в ряде (15) первые четыре члена получим:

При этом мы воспльзовались тем фактом, что в знакочередующемся

сходящемся ряде a1 − a2 + a3 − a4 +...

S − Sn < an+1.

Дифференциальное уравнение Бесселя и его решение с помощью степенного ряда.

Определение. Дифференциальное уравнение второго порядка

где к – произвольное вещественное число, называется уравнением Бесселя. Это уравнение часто встречается в задачах математической физики.

Будем искать решение этого уравнения в виде следующего степенного

ряда

где коэффициенты an и показатель m подлежат определению.

Подставляя ряд (17) и его обе производные в уравнение (16), получим систему уравнений

Решением системы (18) являются следующие коэффициенты

подставляя которые в уравнение (17), получим ряд

являющийся решением следующего уравнения :