Введение.
В теме «Ряды» рассматриваются вопросы сложения бесконечного числа чисел и выясняются условия, при которых это сложение возможно. Сложение бесконечного числа чисел существенно отличается от сложения конечного числа чисел.
В этой лекции будут рассмотрены следующие 4 вопроса. 1.Последовательности и ряды.
2.Сходимость. Необходимое условие сходимости.
3.Действия с рядами.
4.Ряды с положительными членами. Признак сравнения.
Числовые ряды находят широкое применение в приближенных вычислениях, которыми должен уметь оперировать военный инженер.
Цель занятия: Знать определение числового ряда, его суммы и необходимого признака сходимости. Уметь пользоваться признаком сравнения числовых рядов.
1. Последовательности и ряды.
Пусть дана числовая последовательность { fn }, из членов которой образуем новую последовательность {Sn } :
S1 = f1 , |
|
S2 |
= f1 + f2 , |
S3 |
= f1 + f2 + f3 , |
.............................,
Sn = f1 + f2 +... + fn ,
.....................................
Cумма Sn , (n =1,2,...), называется n-ой частичной суммой, символ
f1 + f2 +... + fn +...,
или, короче,
∞ |
|
∑ fn |
(1) |
n=1
называется бесконечным рядом или просто рядом с общим членом fn .
Ряд считается заданным, если известно правило, по которому для любого номера n можно записать соответствующий член ряда fn = f (n).
Очевидно, если задана последовательность { Sn }, то задана последовательность и { fn }. Таким образом, ряды есть новая форма изучения последовательности и ее предела.
2. Сходимость. Необходимое условие сходимости.
Если последовательность {Sn } сходится к числу S, то есть
lim Sn = S , |
(2) |
n→∞ |
|
то ряд называется сходящимся, а предел S называется суммой ряда (1). Если последовательность {Sn } расходится, то есть или не имеет предела, или ее
предел равен бесконечности, то ряд (1) называется расходящимся. Рассмотрим сходящийся ряд (1).Разность
rn = S − Sn
называется n-ым остатком ряда. Очевидно, в силу формулы (2) , lim rn = 0.
n→∞
Таким образом, мы всегда имеем возможность приближенно подсчитать сумму сходящегося ряда, взяв достаточно большое число первых его членов, при этом rn будет давать погрешность приближения.
Примерами бесконечных рядов могут служить следующие ряды.
1 Бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем q:
∞ |
|
∑aq n−1 = a + aq +... + aqn−1 +..., (a ≠ 0). . |
(3) |
n=1
Покажем, что ряд (3) сходится при q <1 и рассходится при q ≥1. а).Пусть q ≠ 1. Тогда для n-ой частичной суммы имеем:
Sn = a + aq +...aq n−1 = |
a(1 |
− q n ) |
. |
|
|
||
1 |
− q |
||
Так как при q <1 lim qn = 0 , то
n→∞
lim Sn = 1 −a q .
n→∞
(4)
(5) ,
то есть предел (4) существует и конечен; следовательно ряд (3) сходится. б). Пусть q=1. Тогда
Sn = an ,
то есть lim Sn = ∞; следовательно, ряд (3) расходится при a ≠ 0.
n→∞
в). При q>1 lim qn = ∞; следовательно, формула (4) дает:
n←∞
lim Sn = ∞.,
n→∞
то есть ряд (3) расходится.
г). При q ≤ −1 lim qn −несуществует, следовательно, не существует и предел
lim Sn .
n→∞
Объединяя пункты а)-г), получаем требуемое.
2.Гармонический ряд
∞ |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
∑ |
=1 + |
+... + |
+... |
(4) |
||||
n |
2 |
n |
||||||
n=1 |
|
|
|
|
Гармонический ряд является расходящимся, что будет показано позже.
∞ |
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
3.) ∑ |
= |
|
|
+ |
|
+... + |
... |
(5) |
||||
n(n +1) |
1 |
|
|
3 |
n(n +1) |
|||||||
n=1 |
|
2 2 |
|
|
|
|||||||
Покажем, что ряд (5) является сходящимся рядом. Для этого представим его частичную сумму в виде
Sn = 112 + 213 +... + n(n1+1) =1 − 12 + 12 − 13 +... 1n − n 1+1 =1 − n 1+1,
что дает: lim Sn =1, то есть ряд (5) сходится и его сумма равна 1, при этом |
|||
n→∞ |
|
|
|
остаток rn = − |
1 |
. |
|
n +1 |
|||
|
|
||
|
|
При изучении рядов возникают две задачи: 1) исследовать |
|
ряд на сходимость и 2) зная, что ряд сходится, найти его сумму. Следующая теорема дает необходимое условие сходимости ряда.
Теорема (необходимый признак сходимости). Если ряд (1) сходится, то его общий член при n → ∞ стремится к нулю, то есть
lim fn = 0. |
(9) |
n→∞ |
|
Доказательство. По определению частичных сумм имеем:
fn = Sn − Sn−1.
Так как ряд (1) сходится, то имеем:
lim fn = lim(Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = 0, |
|||
n→∞ |
n→∞ |
n→∞ |
n→∞ |
что и требовалось доказать. Замечание. Условие
lim fn ≠ 0 |
(10) |
n→∞ |
|
является достаточным для расходимости ряда (1). Условие (9), будучи необходимым для сходимости ряда (1), не является достаточным. Так, например, гармонический ряд является расходящимся, но для него
lim |
f |
n |
= lim |
1 |
= 0. |
|
|||||
n→∞ |
|
n→∞ n |
|
||
Условие (10) для ряда
∑∞ (1 − 1 )n
n=1 n
дает:
lim(1 − 1 )n = e−1 ≠ 0,
n→∞ n
то есть ряд расходится.
3. Действия с рядами.
Укажем ряд свойств сходящихся рядов, которые будут часто использоваться в теории рядов.
Свойство 1. Ряд с положительными членами сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена.
Доказательство. Необходимость. Пусть ряд сходится. Это значит, что последовательность его частичных сумм – сходящаяся, а всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм ряда (1) ограничена. Так как по условию fn > 0, то
Sn+1 = Sn + fn > Sn ,
то есть последовательность частичных сумм возрастающая, а всякая возрастающая ограниченная последовательность сходящаяся.
Свойство2. Если ряд (1) сходится, то сходится и любой его остаток rk , (k ≥1); обратно, если сходится хотя бы один остаток rk , то сходится и ряд (1).
Доказательство. Пусть ряд (1) сходится. Это значит, что
lim Sn = S .
n→∞
Так как
∞ |
∞ |
k |
|
rk = ∑ fn = ∑ fn −∑ fn = S − Sk , |
(6) |
||
n=k +1 |
n=1 |
n=1 |
|
то для любого к≥1 ряд (6) также сходится .
Очевидно, если ряд (6) сходится хотя бы для одного к, то сходится и ряд
(1).
Свойство 3. Если ряд (1) сходится, то сходится и ряд
∞
∑сfn для любого вещественного с, причем имеет место равенство
n=1
∞
∑cfn
n=1
∞ |
|
= c∑ fn . |
(7) |
n=1
∞ ∞
Свойство 4. Если сходятся ряды ∑an ,∑bn , то сходится и ряд
n=1 n=1
∞
∑(an +bn ), причем имеет место равенство
n=1
∞ |
∞ |
∞ |
|
∑(an +bn ) = ∑an + ∑bn |
(8) |
||
n=1 |
n=1 |
n=1 |
|
Доказательство свойств3 и 4 предлагается провести самостоятельно, используя при этом известные свойства предела.
4. Ряды с положительными членами. Признак сравнения.
Определение. Если все члены ряда (1) положительны, то ряд (1) называется рядом с положительными членами.
Следующая теорема дает достаточный признак сходимости ряда, все члены которого положительны.
Теорема (признак сравнения). Пусть даны два ряда с положительными членами
∞ |
∞ |
∑an |
(11), ∑bn (12) |
n=1 |
n=1 |
и пусть каждый член ряда (11) не превосходит соответствующего ряда (12), то есть 0 < an ≤ bn , (n =1,2,3,...), (13).
Тогда:
1). Если сходится ряд (12), то сходится и ряд (11); 2). Если расходится ряд (11), то расходится и ряд (12). Доказательство. Положим
n |
n |
An = ∑ak , |
Bn = ∑bk . |
k =1 |
k =1 |
Пусть ряд (12) сходится. Тогда по свойству 1 (необходимость)
последователь6ность |
его |
частичных |
сумм |
ограничена, |
то |
есть |
Bn ≤ M , (n =1,2,3,...), где |
М- |
некоторое число. Но в силу неравенства (13) |
||||
заключаем, что An ≤ Bn ≤ M ; |
откуда, по тому же свойству 1 (достаточность), |
|||||
заключаем, что и ряд (11) сходится. |
|
|
|
|
||
Пусть, теперь, ряд (11) расходится. Допустим противное, что ряд (12) сходится. Но только доказано, что сходимость ряда (12) влечет
Сходимость ряда (11); поэтому ряд (12) расходится, что и требовалось доказать.
Пример4. Установим, что ряд
∑∞ 1
n=1 
n
будет расходящимся. Для этого сравним его с гармоническим рядом.
Так как |
1 |
≥ |
1 |
при n ≥1, а гармонический ряд расходится . то и данный ряд |
|
n |
n |
||||
|
|
|
расходится.
Пример5. Установим, что ряд
∑∞ n1n
n=1 2
сходится. Для этого сравним его с геометрической прогрессией
∞ |
1 |
|
1 |
|
||
∑ |
1 |
, которая является сходящимся рядом. Так как |
≤ |
при n ≥1, то и |
||
n |
n |
n |
||||
n=1 2 |
n2 |
2 |
|
|||
данный ряд сходится. |
|
|
|
|
||
На практике признак сравнения удобно применять в следующем виде: если существует предел
lim an ≠ 0,
n→∞ bn
то ряды (11) и (12)оба сходятся или расходятся одновременно.
Например, ряд
∑∞ 2n +1
n=1 3n2 −1
расходится, так как предел отношения an = 32nn2 +−11 к bn = 1n при n → ∞
равен 23 .
Упражнения
1.Исследовать ряд на сходимость
1+ 13 + 19 + 271 + 811 +... + 31n +...
2.Исследовать ряд на сходимость
1−1 +1 −1 +1 −... + (−1)n−1 +...
3.Написать простейшую форму n -го члена по указанным первым членам
13 + 16 + 19 +121 +...
4. Написать простейшую форму n -го члена по указанным первым членам
34 + 94 +165 + 256 +...
5. Написать 4 первых члена ряда по известному общему члену
an = |
4n −3 |
. |
|
||
|
n2 + 2 |
|
6. Написать 4 первых члена ряда по известному общему члену
= 4 + (−1)n an n2 .
7. Исследовать ряд на сходимость, используя необходимый признак
∑∞ n + 2 .
n=1 n −3
8. Исследовать ряд на сходимость, используя необходимый признак
∑∞ 3n2 + 2 .
n=1 2n2 + n + 2
9. Используя признак сравнения, выяснить, является ли ряд сходящимся
2 |
+ |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
3 |
5 |
|
|
+ |
|
|
+... |
|
|
2 |
5 |
|
3 |
5 |
|
10. Используя признак сравнения, выяснить, является ли ряд сходящимся
1 |
+ |
1 |
+... + |
1 |
+... |
|
1 2 |
2 3 |
n (n +1) |
||||
|
|
|
Контрольные вопросы по теме занятия:
1.Напомните определение ряда с положительными членами.
2.Дайте определение сходимости ряда.
3.Вспомните действия с рядами.
Заключение.
Содержание лекции изобразим в виде следующей схемы.
Числовые ряды
Сходящиесячислрвые ряды. Расходящиесячисловые ряды.
Необходимое условиесходимости
Сравнениерядовсположительнымичленами
В следующей лекции будет продолжено изучение числовых рядов и будут даны достаточные признаки сходимости ряда.
Введение.
В этой лекции будут рассмотрены следующие 3 вопроса.
1. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.
2.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
3.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Достаточные признаки сходимости числовых рядов дополняют необходимый признак сходимости и позволяют по членам ряда судить о сходимости ряда.
Цель занятия: знать достаточные признаки сходимости и уметь их применять.
Следующие признаки сходимости рядов, используя признак сравнения, позволяют заключать о сходимости или расходимости ряда, не сравнивая его с другим рядом.
1. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.
Теорема (признак Даламбера). Пусть дан ряд с положительными членами
∞ |
|
|
|
∑an = a1 + a2 |
+... + an +... |
(1) |
|
n=1 |
|
|
|
для членов которого существует предел |
|
||
lim |
an+1 |
= q. |
(2) |
|
|||
n→∞ an |
|
|
|
Тогда: 1) при q<1 ряд (1) сходится; 2) при q>1 ряд (1) расходится; 3) при q=1 возможна как сходимость ряда, так и расходимость.
Доказательство. 1). Пусть q<1. В силу определения предела всегда можно подобрать такое число m, что при всех n>m будет справедливо неравенство
|
|
|
|
an+1 |
|
− q |
< ε, |
|
||||
|
|
|
|
an |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−ε + q < |
an+1 |
< q +ε. |
(3) |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
||
Полагая в (3) ε = |
1 −q |
, при n>m получим: |
|
|||||||||
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an+1 |
|
< |
1 + q |
= g, где |
g <1. |
|||
|
|
|
|
an |
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
Откуда получаем систему неравенств:
am+1 ≤ am+1 , am+2 < gam+1 , am+3 < gam+2 < g 2 am+1 ,..., am+k +1 < gam+k < g k am+1 ,...
∞
из которой вытекает, что члены ряда ∑ak , представляющего m-ый
|
|
k =m+1 |
|
остаток ряда (1), |
не превосходят соответствующих |
членов ряда |
|
∞ |
|
|
|
∑g k −1am+1 |
,который |
является сходящейся геометрической |
прогрессией. |
k =1
Следовательно, по признаку сравнения, m-ый остаток ряда (1) сходится, но тогда сходится и сам ряд (1).
2).Пусть q>1. Взяв ε = q 2−1 , при n>m получим:
an+1 |
> |
q +1 |
= g, где g>1. |
an |
|
||
2 |
|
||
Тогда при n>m получим следующую систему неравенств:
am+1 ≥ am , am+2 > gam+1 , am+3 > gam+2 > g 2 am+1 ,..., am+k +1 > gam+k > g k am+1 ,...
из которой следует, что члены m-го остатка ряда (1) не меньше соответствующих членов расходящейся геометрической прогрессии. Следовательно, по признаку сравнения, m-ый остаток ряда (1) расходится, но тогда расходится и сам ряд (1).
3). При q=1 существуют примеры, что в одних случаях ряд сходится, в других расходится. В этих случаях нужно прибегнуть к другим признакам.
Пример1. Ряд
∞ |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
∑ |
1 |
=1 + |
|
+... + |
|
+... |
|
|
|
|||||
|
|
|
n! |
|
|
|
||||||||
n=1 n! |
|
2! |
|
|
|
|
|
|||||||
сходится, так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
an+1 |
= lim |
n! |
|
|
= lim |
1 |
|
= 0 <1. |
|||||
|
(n +1)! |
|
|
|||||||||||
n→∞ an |
|
n→∞ |
n→∞ n +1 |
|
||||||||||
Пример2. Ряд
∞ |
n |
n |
|
2 |
2 |
|
n |
n |
|
|
∑ |
|
=1 + |
|
+... + |
|
+... |
||||
n! |
2! |
n! |
||||||||
n=1 |
|
|
|
|||||||
расходится, так как
lim |
a |
n+1 |
= lim |
(n +1)n+1 |
|
n! |
= lim(1 + |
1 |
)n = e >1. |
|
an |
(n +1)! |
nn |
n |
|||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
n→∞ |
|
||||||
Пример3. Для гармонического ряда признак ответа не дает, так как
an = |
1 |
и lim |
an+1 |
=1. |
n |
|
|||
|
n→∞ an |
|||
Теорема (признак Коши). Пусть все члены ряда (1) неотрицательны ( an ≥ 0) и существует предел
lim n an = l.
n→∞
Тогда: 1) при l <1 ряд (1) сходится; 2) при l >1 ряд (1) расходится; 3) при l =1 возможна как сходимость ряда, так и расходимость.
Доказательство |
|
|
аналогично доказательству теоремы Даламбера |
||||||||||
(самостоятельно). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример4. Ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∞ |
2 n |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∑n=1 n |
|
|
|
|||||||||
сходится, так как по признаку Коши |
|||||||||||||
lim n an |
= lim |
2 |
|
= 0 <1. |
|||||||||
|
|||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
n→∞ n |
|
|
|
||||||
Пример5. Ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
1 n2 |
|
|
|
|||||||||
∑ 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
расходится, так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
||||
lim n an |
= lim 1 |
+ |
|
= e >1. |
|||||||||
n |
|||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|||||||
Пример6. Для ряда |
|
|
|
||||||||||
∞ |
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|||||
∑ 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n |
|
|
|
|||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
l
признак ответа не дает, так как lim n an =1.
n→∞
Интегральный признак сходимости.
Этот признак отличается от предыдущих признаков и построен на понятии несобственного интеграла. При этом может оказаться, что исследовать на сходимость несобственный интеграл будет проще, чем исследовать на сходимость соответствующий ряд.
Теорема (интегральный признак сходимости). Пусть на промежутке
[1,∞[ определена неотрицательная убывающая и непрерывная функция f(x), и пусть дан ряд
∞ |
|
∑ fn , ( fn = f (n)), |
(4) |
n=1
Ряд (4) сходится (расходится), если несобственный интеграл
∞∫ f (x)dx сходится (расходится).
1
Доказательство. Рассмотрим несобственный интеграл ∞∫ f (x)dx ,
1
который представим в виде ряда
∞ |
|
∞ |
|
|
∑gn |
= ∫ f (x)dx. , |
(5) |
||
n=1 |
|
1 |
|
|
где |
|
|
|
|
g n |
= |
n ∫+ 1 |
f ( x ) dx |
|
|
|
n |
|
|
Тогда сходимость (расходимость) ряда в левой части равенства (5) есть сходимость (расходимость) несобственного интеграла в правой части равенства
(5).
Так как по условию теоремы функция f(x) убывает, то для интеграла gn справедливы оценки
fn+1 ≤ gn ≤ fn . |
(6) |
Тогда признак сравнения дает: 1)если сходится ряд (5), то есть сходится несобственный интеграл, то сходится и ряд
∞
∑ fn+1 = f2 + f3 +... + fn +...,
n=1
в связи с чем сходится и ряд (4); 2) если ряд (5) расходится, то есть расходится несобственный интеграл, то расходится и ряд (4), что и требовалось доказать.
Пример7. Гармонический ряд
∑∞ 1
n=1 n
расходящийся, так как несобственный интеграл ∞∫dx = ln x ∞ = ∞-расходящийся.
1 x 1
Пример8. Покажем, что более общий ряд
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∑ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сходится при s >1и расходится при s ≤1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
В самом деле, так как при s ≠1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∫A |
dx |
= |
A−s+1 |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
s |
|
− s +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 x |
− s +1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
dx |
A |
dx |
|
1 |
|
|||
то несобственный интеграл ∫1 |
= limA→∞ ∫1 |
= |
|
|
|
, приs >1, |
||||||||||
|
|
s −1 |
||||||||||||||
x s |
xs |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞, приs ≤1. |
|||
сходится при s>1 и расходится при s ≤1. (расходимость при s=1 получена в примере7). На основании интегрального признака, получаем требуемое.
Например, ряды
∞ |
1 |
|
|
∞ |
1 |
∑ |
|
, |
∑ |
||
n |
|
2 |
|||
n=1 |
n |
n=1 |
n |
||
сходятся, а ряды
∞ |
|
1 |
|
∞ |
1 |
|
∑ |
|
, |
∑ |
|||
3 |
n |
n |
||||
n=1 |
|
n=1 |
расходятся (что также следует из признака сравнения, сравнивая эти ряды с гармоническим рядом).
2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости.
Рассмотрим теперь ряды с членами произвольных знаков, которые будем называть знакопеременными рядами.
В частности, знакочередующиеся ряды являются знакопеременными. Определение. Знакопеременный ряд
∞ |
|
∑ fn = f1 + f2 +... + fn +... |
(13) |
n=1 |
|
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
∞ |
|
∑ fn = f1 + f2 +... + fn +... |
(14) |
n=1
составленный из абсолютных величин членов ряда (13).
Определение. Знакопеременный ряд (13) называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд (14) расходится.
Приведем без доказательства теорему о сходимости знакопеременного
ряда.
Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Если сходится ряд (14), то знакопеременный ряд (13) также сходится.
Данная теорема позволяет для исследования на сходимость знакопеременного ряда (13) применить один из известных признаков сходимости с положительными членами к ряду (14).
Пример 10. Ряд (13) является условно сходящимся, так как гармонический ряд расходится.
Пример 11. Ряд
1 − 212 + 312 − 412 +...
является абсолютно сходящимся рядом, так как выше было показано, что ряд
1 + 212 + 312 + 412 +...
сходится.
Отметим, что на абсолютно сходящиеся ряды переносятся некоторые свойства конечных сумм, которыми условно сходящиеся ряды могут и не обладать. Так, например, сумма абсолютно сходящегося ряда не изменится от перестановки его членов. Это свойство отсутствует у условно сходящихся рядов.
Абсолютно сходящиеся ряды обладают еще одним важным свойствомих можно перемножать, пользуясь следующим правилом Коши:
|
∞ |
|
∞ |
|
∞ |
n |
(15) |
|
∑an |
∑bn |
= ∑∑ak bn+1−k . |
||||
n=1 |
n=1 |
|
n=1 k =1 |
|
|||
При этом ряд в правой части равенства (15) также является абсолютно сходящимся.
.
3. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Определение. Ряд вида
|
∞ |
|
|
|
∑(−1)n−1 an = a1 −a2 + a3 −a4 +... |
(13) |
|
|
n=1 |
|
|
где все an |
> 0 , называется знакочередующимся рядом. |
|
|
Для |
знакочередующихся рядов |
необходимое условие |
сходимости |
является и достаточным условием в силу следующей теоремы. |
|
||
Теорема Лейбница. Знакочередующийся ряд (13) сходится, если последовательность {an } убывающая и сходится к нулю, то есть
1) a1 > a2 > a3 >... > an >...
2) lim an = 0.
n→∞
Доказательство. Пусть
Sn = a1 − a2 +... +(−1)n−1 an
является n-ой частичной суммой ряда (13). Покажем, что существует конечный предел
lim Sn |
= S, |
(14) |
|
n→∞ |
|
|
|
то есть ряд (13) сходится и имеет сумму S. |
Для |
||
этого рассмотрим два случая : |
n = 2m -четное и n = 2m +1 -нечетное. Для первого |
||
случая имеем: |
|
|
|
S2m = (a1 −a2 ) +... +(a2m−1 −a2m ) |
|
||
В силу условия 1) каждый член в скобках суммы |
S2m положителен, поэтому |
||
последовательность |
{S2m }- |
возрастающая; с |
другой стороны эта |
последовательность ограничена сверху, так как
S2m = a1 −(a2 −a3 ) −... −(a2m−2 −a2m−1 ) −a2m < a1. (15)
Следовательно, существует конечный предел
lim S2m = S. |
|
(16) |
|
m→∞ |
|
|
|
Для нечетного n=2m+1 имеем: |
|
||
S2m+1 = S2m + a2m+1 . |
|
||
Откуда, в силу условия 2) имеем: |
|
||
lim S2m+1 |
= lim S2m |
+ lim a2m+1 = S. |
(17) |
m→∞ |
m→∞ |
m→∞ |
|
Объединяя пределы (16) и (17), получим предел (17), что и требовалось доказать.
Замечание. Из оценок (18) и (17) следует оценка суммы ряда (16):
|
|
|
S ≤ a1. |
|
|
(18) |
||||
Пример 9. Ряд |
|
|
|
|
|
|||||
1 − |
1 |
+ |
1 |
− |
1 |
+ |
1 |
−... |
(19) |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
сходящийся, так как выполняются условия теоремы Лейбница (проверить).