Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет инженерных технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции математика / 04 Лекции 06 Функции многих переменных. Градиент

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.04.2015

Размер:

248.1 Кб

Скачать

☆

1.Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных. Область определения

	Определение. Пусть {M }-		множество точек пространства			E n .	Если
каждой точке M (x1, x2 ,K, xn ) {M }поставлено в соответствие число							u, то
говорят, что задана функция n переменных
		u = f (M ) или
		u = f (x1, x2 ,K, xn ) ,				(3)
при	этом числовые переменные x1, x2 ,K, xn называются аргументами,
множество {M }- областью определения функции и обозначается D(f ).
	Определение. Число	u, соответствующее точке М, называется част-
ным значением функции в точке М, а совокупность всех частных значений
функции u = f (M ) называется множеством частных значений.
	Замечание. Нас будут интересовать			функции двух и трех перемен-
ных, которые соответственно обозначают u = f (x, y),					u = f (x, y, z). С це-
лью геометрического изображения для функции двух переменных приме-
няют формулу z = f (x, y).
1.	Способы задания функции n действительных переменных.
	Аналитический	–	функция	задается	явно	формулой
u = f (x1, x2 ,K, xn ) или неявно F(x1, x2 ,K, xn ,u)=0 .

2.Табличный.

3.Графический (возможен только при n ≤ 2 ).

Определение. Графиком (геометрическим образом) функции двух переменных называется геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению z = f (x, y) и называемых поверхностью.

Замечание. Графиком функции одной переменной является линия на плоскости Oxy, графиком функции двух переменных является поверхность в пространстве Oxyz, для функции трех и более переменных графическое изображение, вообще говоря, невозможно.

Частные производные функций нескольких переменных. Дифференциал функции нескольких переменных

Пусть z = f (x, y)- функция двух переменных x и y, точка М(x, y) -

внутренняя точка области определения функции.

Определение. Частным приращением функции z = f (x, y) по переменной x в точке М(x, y)называется

x z = f (x + x, y)− f (x, y).

(1)

Определение. Частным приращением функции z = f (x, y) по переменной y в точке М(x, y)называется

y z = f (x, y + y)− f (x, y).

(2)

Замечание. Полное приращение функции z = f (x, y) определяется по

формуле:

z = f (x + x, y + y)− f (x, y).

(3)

Определение. Частной производной по x функции z = f (x, y)

в точке

М(x, y)называется предел отношения

x z , частного приращения по x, к

x , при условии, что

x →0 и указанный предел существует:

∂z

= lim

x z

= lim

f (x +

x, y)− f (x, y)

(4)

∂x

x→0

Определение. Частной производной по y функции z = f (x, y)

в точке

М(x, y)называется предел отношения

y z , частного приращения по y, к

y , при условии, что

y →0 и указанный предел существует:

∂z

= lim

y z

= lim

f (x, y + y)− f (x, y)

(5)

∂y

y→0

Замечание. Для частных производных функции z = f (x, y)

по аргу-

менту x применяются и другие обозначения - ∂f

или zx' , а для частных

производных по аргументу y - ∂f

∂x

или z'y .

∂y

Правило нахождения частных производных.

Чтобы найти частную производную по

аргументу x функции

z = f (x, y), нужно применить к функции те же правила и формулы диффе-

ренцирования, что и для функции одной переменной, считая на момент дифференцирования, что другая переменная является постоянной ( y=const).

При нахождении частной производной по аргументу y, считают на момент дифференцирования, что постоянной является x.

Примеры.1) z = x3 sin y + y4 .

∂z	=	y =const	=3x2 sin y ,	∂z	=	x =const	= x3 cos y + 4 y3
∂z	=	y =const	=3x2 sin y ,	∂z	=	x =const	= x3 cos y + 4 y3
∂x				∂y
∂x				∂y

2) z = x y .

∂z

y =const

= yx y−1

∂z

x = const

= x y ln x .

∂x

∂y

3) z = arctg xy .

∂z =

y =const

∂x

+ y

1 +

∂z =

x =const

−

= −

∂y

+ y

Замечание. Физический смысл частной производной

zx'

- это ско-

рость изменения функции z = f (x, y) в направлении оси Ох.

Определение. Функция

z = f (x, y) называется дифференцируемой в

точке М(x, y),

если её полное приращение в этой точке может быть пред-

ставлено в виде:

y +α(

x, y)

x + β(

z = A

x + B

y ,

(6)

где А, В – константы, не зависящие от

x и

y , а α(

x, y) и β(

x, y) -

бесконечно малые функции при

x →0 и

y →0 .

Теорема.

Если

функция

z = f (x, y)

дифференцируема

точке

М(x, y), то она имеет в этой точке частные производные zx' (x, y) и

z'y (x, y), причем A= zx' (x, y), B= z'y (x, y).

Определение. Полным дифференциалом dz дифференцируемой в точке М функции z = f (x, y) называется линейная относительно прираще-

ний x и y главная часть полного приращения (10):

	dz = A x + B y
	(8)
Замечание. Так как zx' = A и z'y = В, то (12) можно записать в виде:
dz = zx'	x + z'y y	(9)
Определение. Дифференциалом независимой переменной		x ( y )
называется её приращение, то есть
dx = x , dy = y .
Замечание. Полный дифференциал записывается в виде:
dz = ∂z	dx + ∂z dy	(10)
∂x	∂y

Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия диф-

ференцируемости.

Для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке. Для функции нескольких переменных дифференци-

руемость и существование производных не являются эквивалентными свойствами функции.

Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости). Если

функция дифференцируема в точке, то она имеет в этой точке частные производные.

Замечание. Обратная теорема не верна, из существования частных

производных функции в точке ещё не следует дифференцируемости функ-

ции в этой точке.

Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости). Если функция z = f (x, y) имеет частные производные в некоторой окрестно-

сти точки М и эти производные непрерывны в самой точке М, то функ-

ция дифференцируема в точке М.

Частные производные высших порядков

Пусть функция z = f (x , y )имеет частные производные

∂∂xz = f x′(x, y) , ∂∂yz = f y′(x, y).

Определение. Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка.

Частных производных второго порядка четыре.

∂ ∂z				∂2 z		= z′xx′ ,
		=		∂x2

∂x ∂x
	∂	∂z	=		∂2 z		= z′xy′

					∂x∂y
	∂y	∂x

∂	∂z		∂	2	z
		=
					2
			∂y
∂y	∂y

= z′yy′ ,

∂	∂z		∂	2	z	= z′′ .
		=

			∂y∂x			yx
∂x	∂y

(17)

Пример. Найти частные производные второго порядка для функции z = x3 y2 −3xy3 − xy +1.

Решение.

∂z =3x2 y2

−3y3

− xy +1 ,

∂z

= 2x3 y −9xy2 − x ,

∂x

∂y

∂2 z

=6xy

∂2 z

= 2x

−18xy ,

∂x2

∂y

∂2 z

= 6x

y −9 y

−1 ,

∂2 z

=6x

y −9 y

−1,

∂x∂y

∂y∂x

∂2 z = ∂2 z . ∂x∂y ∂y∂x

Теорема. Если функция z = f (x , y ) и её частные производные ∂∂xz ,

∂z	,	∂2 z	,	∂2 z	определены и непрерывны в точке M (x, y) и в некоторой
∂y		∂x∂y		∂y∂x

её окрестности, то в этой точке

∂2 z = ∂2 z , ∂x∂y ∂y∂x

то есть смешанные частные производные второго порядка равны между собой.

Аналогично можно найти частные производные третьего порядка

′′′	′′′	′′′	′′′	′′′	′′′	′′′	′′′
zxxx	, zxxy	, zxyx	, zyxx	, zxyy	, z yxy	, z yyx	, z yyy

Определение. Частной производной n-ого порядка называется частная первая производная от частной производной (n - 1)-ого порядка.

Замечание. Результат повторного дифференцирования функции двух независимых переменных в случае непрерывности частных производных не зависит от порядка дифференцирования.

Скалярные и векторные поля.

Определение 1. Скалярным полем точки М называется скалярная функция u(M ) точки М вместе с областью ее определения.

В пространственной системе координат Oxyz для каждой точки с координатами M (x, y, z) , скалярное поле является функцией этих коорди-

нат: u = u(M )= u( x, y, z) .

Примерами скалярных полей являются поле температуры атмосферы, поле плотности массы и т.д.

В дальнейшем будем предполагать, что скалярные поля являются однозначными, непрерывными и дифференцируемыми достаточное число раз.

	Если частные производные одновременно не равны нулю, то уравне-
ние	u(x, y, z) =C (С= const) определяет поверхность, вдоль которой функ-
ция	u сохраняет постоянное значение; такая поверхность называется по-

верхностью уровня функции u . Очевидно, что рассматриваемая область Т заполнена поверхностями уровня и через каждую точку проходит одна и только одна такая поверхность. Очевидно также, что поверхности уровня не пересекаются между собой. Аналогично определяются линии уровня u(x, y) =C непрерывно дифференцируемой функции u = u(x, y) , заданной в области Φ R 2 .

Аналогично определяются линии уровня u(x, y) = C (C = const) непрерывно дифференцируемой функции u = u(x, y) , заданной в области

Φ R 2 .

Производная по направлению

Рассмотрим единичный вектор l = (cosα, cos β, cosγ ) произвольного направления, где α, β, γ - углы, образуемые вектором l с осями координат.

Параметрические уравнения прямой , проходящей через точку Μ0 в направлении вектора l , имеют вид

x = x0	+ t cosα ,
y = y0	+ t cos β ,	(1)
z = z0	+ t cosγ .

Тогда для точек этой прямой функция u(x, y, z) является функцией ϕ(t) одной переменной t :

ϕ(t)= u(x = x0 + t cosα, y = y0 + t cos β, z = z0 + t cosγ )	(2)
− ∞ < t < +∞

Определение 3. Производной скалярного поля u = u(M )= u( x, y, z) в

точке	M 0 (x0 , y0 , z0 ) по направлению	l	называется производная функции
ϕ(t) по t	при t = 0 , если она существует, и обозначается			∂u .
				∂l
Можно сказать, что производная по направлению				∂u	есть скорость
				∂l

изменения скалярного поля по отношению к величине перемещения точки М вдоль выбранного направления.

Дифференцируя правую часть равенства (2) по t , получаем


∂u	=	∂u (x0 , y0 , z0 )cosα +		∂u (x0 , y0 , z0 )cos β +	∂u (x0 , y0 , z0 )cosγ			(3)
∂l		∂x		∂y	∂z
где	cosα, cos β, cosγ		- направляющие косинусы вектора				.
где	cosα, cos β, cosγ		- направляющие косинусы вектора			l	.

Для плоского случая

∂∂ul = ∂∂ux (x0 , y0 , z0 )cosα + ∂∂uy (x0 , y0 , z0 )cos β

Пример 1.

Вычислить производную функции u = x 2 + y 2 x в точке

M 0 (1,2) по направлению вектора

, где M 1

= (3,0).

M 0 M 1

Решение. Определим единичный вектор

заданного направления

. Имеем

= (3 −1, 0 − 2)= (2,−2).

= 2 2 ,

M 0 M1

M 0 M 1

2i − 2

i −

M 0 M 1

Отсюда cosα

cos β = −

. Найдем частные производные

функции в точке

M 0 :

∂u

= 2x + y 2 ,

∂u = 2xy ,

∂x

∂y

	8
∂u (1,2)=6,				∂u (1,2)			=1.
∂x				∂y
По формуле (3) получаем
∂u	= 6	2	− 4		2	= 2 .
∂l	= 6		− 4			= 2 .
∂l	2			2
	3. Градиент
Определение 4. Градиентом дифференцируемого скалярного поля

u = u(M ) называется векторное поле точки М, обозначаемое							gradu(M ) и
определяемое формулой
gradu =	∂u i +	∂u		+	∂u		(4)
			j			k
	∂x	∂y			∂z

Градиентами некоторых скалярных полей являются поле сил тяготения, поле заряда и т.д.

Пользуясь известными формулами для нахождения модуля вектора, получим

∂u 2

∂u

gradu

∂x

∂z

∂y

∂u

(5)

∂u

cosα =

∂x

cos β =

∂y

cosγ =

∂z

gradu

Используя понятие градиента и формулу для скалярного произведения, представим формулу (3) в виде скалярного произведения векторов

gradu и l :

∂u

= gradu

gradu

(6)

cosϕ

∂l

Так как

=1, то получаем

∂u

= gradu

gradu

cosϕ

(7)

∂l

Из (7) следует, что в каждой точке, не являющейся особой, градиент направлен в сторону максимального возрастания функции, а модуль гради-

ента равен величине скорости этого возрастания. Действительно. В случае

ϕ =0 вектор		имеет то же направление, что и									gradu , и тогда
	l
	∂u						∂u 2		∂u	2	(8)
			=	gradu	=
								+	.
	∂l					∂x
									∂y

Формула (8) позволяет вместо предыдущего определения градиента, в котором используется система координат, дать другое, инвариантное определение.

Определение 5. Градиентом скалярного поля u называется вектор, характеризующий наибольшую (по модулю и направлению) скорость изменения этого скалярного поля.

Это определение градиента инвариантно, т.е. не зависит от выбора

системы координат.	(ϕ = −π), то производная по направлению является
Если cosϕ = −1	(ϕ = −π), то производная по направлению является
наименьшей, равной	−	gradu	. Если же		π	, то производная
					π
				cosϕ = 0 ϕ = ±
					2
					2

по направлению равна нулю. Направление градиента совпадает с направлением нормали к поверхности уровня u(x, y, z)=C .

Пример 2. Найти градиент скалярного поля u = xy −1 + z 2 в точке M 0 (2,1,−1) . Вычислить его величину и направление.

Решение: Имеем ∂u

= y −1 ;

∂u = −xy −2 ;

∂u

= 2z ,

∂x

∂y

∂z

∂u

(2,1,−1) =1;

∂u (2,1,−1) = −2;

∂u (2,1,−1) = −2 , Следовательно

∂x

∂y

∂z

gradu(M 0 ) = ir − 2 rj − 2kr;

gradu(M 0 )

= 3; cosα =

, cos β = −

cos γ = − 23 .

Соседние файлы в папке Лекции математика

#
02.04.2015282.23 Кб9404 Лекции 02 Векторная алгебра.pdf
#
02.04.2015228.29 Кб6104 Лекции 03 Аналитическая геометрия.pdf
#
02.04.2015263.97 Кб5904 Лекции 04 Математический анализ.pdf
#
02.04.2015381.01 Кб5504 Лекции 04 Математический анализ Ряжских.pdf
#
02.04.2015513.74 Кб5804 Лекции 05 Дифференциальное исчисление Ряжских.pdf
#
02.04.2015248.1 Кб6004 Лекции 06 Функции многих переменных. Градиент.pdf
#
02.04.2015518.3 Кб6104 Лекции 07 Интегральное исчисление.pdf
#
02.04.2015427.07 Кб7604 Лекции 08 Кратные и криволинейные интегралы.pdf
#
02.04.2015214.06 Кб6804 Лекции 09 Поверхностные интегралы.pdf
#
02.04.2015627.84 Кб8604 Лекции 10 Дифференциальные уравнения.pdf
#
02.04.2015403.75 Кб9804 Лекции 11 Ряды.pdf

Лекции математика / 04 Лекции 06 Функции многих переменных. Градиент

Функции нескольких переменных. Область определения

Для плоского случая

По формуле (3) получаем