Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет инженерных технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции математика / 04 Лекции 04 Математический анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.04.2015

Размер:

263.97 Кб

Скачать

☆

1.Определение функции, ее свойства.

Впервые термин «Функция» появился в работах Г. Лейбница. В четкой форме это понятие использовалось и получило развитие позже, в 18 и 19 веках в исследованиях И. Бернулли, Л. Эйлера, О. Коши, Н. Лобачевского и т. д.

Определение 1. Переменная величина y называется функцией переменной величины x, если каждому значению переменной x из некоторой области D по определенному закону f ставится в соответствие единственное значение переменной y из области E.

В этом случае записывают y = f (x). Переменная x называется независимой переменной или

аргументом, y - зависимой переменной или функцией, f - характеристикой функции.

Определение 2. Множество D значений x, при которых функция определена, называется областью определения функции и обозначается D(f ) или D(y), множество E значений, которые принимает функция y, называется областью изменения функции и обозначается E(y).

Если функция обозначена через f(x), то через f(x0) обозначают то значение функции, которое соответствует значению аргумента х0. Для обозначения характеристики функциональной зависимости используют различные буквы и символы: sin , lg , arccos ,lntg4 и т.д.

Пример 1. a) функция y = x имеет своей областью определения множество значений x [0; ∞).

б) областью изменения функции y = cos 2x является отрезок [−1; 1], то есть

E(y): y [−1; 1].

Существует три основных способа задания функций.

1)Аналитический (зависимость между переменными определяется с помощью формулы, в качестве примера приведем формулу y = x4 + 4x2 −5 ).

2)Табличный (соответствующие значения аргумента и функции вносятся в таблицу, примером табличного задания функций могут служить таблицы

тригонометрических функций, таблицы логарифмов и так далее).

Графический (соответствие между переменными x и y задается посредством графика). Графический способ задания нашел широкое применение в различных самопишущих технических приборах.

2. Элементарные функции.
	К основным элементарным функциям относятся:
1)	константная функция f (x)= C	(C = const), − ∞< x < +∞;
2)	степенная функция f (x)= xα , х>0 (α - вещественное число);
3)	показательная функция f (x)= ax (a > 0 , a ≠1), − ∞ < x < +∞;
4)	логарифмическая функция f (x)= log a x (a > 0 , a ≠1), 0 < x < +∞;
5)	тригонометрические функции: f (x)=sin x ,		f (x)= cos x , f (x)= tg x , f (x)= ctg x ;
6)	обратные тригонометрические	функции:	f (x)= arcsin x , f (x)= arccos x , f (x)= arctg x ,

f (x)= arcctg x .

Определение 3. Класс элементарных функций составляют все функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий, а также суперпозицией (наложением) функций. Например,

y =	x4 + arctg(sin x2 )	; y = ecos(3 2 x ).

	2 + sin cos x
Таким образом, функция считается заданной, если указано правило, следуя которому для каждого заданного
значения аргумента можно найти соответствующее значение функции.			x1 ≤ x2 f (x1 ) ≤ f (x2 ) . Функция f(x)
Определение 4. Функция f(x) называется возрастающей, если из
называется строго возрастающей, если из	x1 < x2 f (x1 ) < f (x2 ) .Функция f(x) называется убывающей, если из
x1 ≤ x2 f (x1 ) ≥ f (x2 ) . Функция f(x) называется строго убывающей,			если из	x1 < x2 f (x1 ) > f (x2 ) .
Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями, строго возрастающие и строго
убывающие функции называются строго монотонными функциями.
3. Предел функции в точке.
Пусть функция y = f (x)	определена в некоторой окрестности точки x0 , за

исключением, быть может, самой этой точки (в так называемой проколотой окрестности точки x0 ).

Определение 1. Число А называется пределом функции y = f (x)							в точке x0
(при x → x0 ),	если для любой сходящейся к x0				последовательности значений
аргумента	{xn }	такой,	что	xn D(y),	xn ≠ x0 ,	соответствующая
последовательность значений функции {f (xn )} сходится к числу А.
Обозначение:		lim f (xn )= A	или	lim f (x)= A .			(1)
		xn →x0		x→x0

xn ≠x0

Замечание 1. Так как числовая последовательность имеет только один

предел, то и функция y = f (x) может иметь в точке x0 только один предел. Замечание 2. Первое определение основано на понятии предела числовой

последовательности, поэтому его называют еще определением «на языке

последовательностей» (определение по Гейне).

Определение 2. Число А

называется пределом функции y = f (x) в точке

x0 ,

если для любого числа ε > 0

существует зависящее от него число

δ > 0

такое,

что для всех x

D(y), x

≠ x0 , удовлетворяющих неравенству

0 <

x − x0

<δ ,

выполняется

f (x)− A

<ε .

f (x)→ A при x → x0 .

Обозначение:

lim f (x)= A

или

(2)

x→x0

Замечание 1. Используя символы математической логики, можно

записать:

( ε > 0)( δ > 0)( x D(f ), x ≠ x0 ,

x − x0

< δ ):

f (x)− A

< ε .

Замечание 2. Второе определение называют также определением «на

языке ε −δ » (определением по Коши).

2.Предел функции на бесконечности. Односторонние пределы.

Определение предела

может

быть обобщено на случай,

когда

x неограниченно возрастает (соответственно убывает), в предположении,

что

область определения функции не ограничена. Это позволяет выяснить характер поведения функции на бесконечности.

Определение 3. Число А называется пределом функции y = f (x) при x → +∞, ( x → −∞), если для любой бесконечно большой последовательности

значений аргумента, члены xn которой положительны (отрицательны),

соответствующая последовательность значений функции сходится к А. Определение 4. Пусть область определения функции не ограничена сверху

(снизу). Число А		называется пределом функции			y = f (x) при x → +∞, ( x → −∞),
если для любого		ε > 0 существует		такое x1 ,	что для всех	x > x1 ( x < x1 )
выполняется	f (x)− A		< ε .	( lim f (x)= A


Обозначение:			lim f (x)= A		).	(3)
			x→+∞	x→−∞

Замечание 1. Символическая запись определения предела функции f (x)

при x → +∞ выглядит следующим образом:

( ε > 0)( x1 > 0)( x > x1 ): f (x)− A <ε .

Замечание 2. Так как неравенство f (x)− A <ε равносильно неравенствам

A −ε < f (x)< A +ε ,	то последняя запись		означает,	что	при	x → +∞	график
функции y = f (x) для всех		x , превосходящих x1		> 0 ,	содержится в		полосе,
ограниченной	прямыми	y = A −ε ,	y = A +ε .	В	этом	заключается

геометрический смысл предела функции при x → +∞.

Иногда важно знать поведение функции справа (соответственно слева) от точки x0 , так что целесообразно ввести следующие определения.

Определение 5.	Число А называется правосторонним (левосторонним)
пределом функции	y = f (x) в точке x0 , если для любой сходящейся к x0

последовательности {xn }, члены которой больше (меньше) x0 , соответствующая

последовательность значений функции {f (xn )} сходится к числу А.

Обозначение:

lim f (x)= A

( lim f (x)= A ).

(4)

x→x0

x→x0 −0

Замечание.

Запись

x → x0 +0

( x → x0 −0 )

означает,

что аргумент

стремится к x0 справа (слева), то есть оставаясь все время больше (меньше)

x0 .

Определение 6. Число А

называется правосторонним (левосторонним)

пределом функции y = f (x)

в точке

x0 , если любого числа ε > 0 существует

число δ > 0 такое,

что для всех x , удовлетворяющих неравенству x0 < x < x0

+δ

( x0 −δ < x < x0 ), выполняется

f (x)− A

<ε .

Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке

называются односторонними пределами.

Можно доказать, что функция

y = f (x) имеет в точке

x0 предел тогда и

только тогда, когда в точке x0

существуют пределы этой функции, как справа,

так и слева, и они равны.

3. Бесконечно-малые функции и их свойства.

Определение 7. Функция α(x) называется бесконечно малой в точке x = x0 , если для любого ε > 0

существует δ > 0 такое, что для всех x D(f ), x ≠ x0 и

x − x0

< δ выполняется

α(x)

< ε , то есть

lim α(

x)= 0 .

x→x0

Замечание. Одна и та же функция при определенных значениях x является БМФ, а при других значениях – не
является. Так как	lim(x −1)= 0 , то	α(x)= x −1 есть бесконечно	малая	функция	при	x →1, и
	x→1
α(x)= x −1 не является БМФ при x →5 , так как lim(x −1)= 4.
Замечание.		x→5				x →∞,
Замечание.	Аналогично можно	дать определения бесконечно	малых	функций	при	x →∞,

x → +∞, x → −∞, x → x0 + 0 , x → x0 − 0 .

Приведем некоторые теоремы о бесконечно малых функциях, относящиеся к важным свойствам БМФ. Теорема 1.(Основная теорема о бесконечно малых функциях).

Если функция имеет предел, то ее можно представить как сумму постоянной, равной ее пределу, и бесконечно малой функции.

Теорема 2. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций при x → x0 есть

бесконечно малая функция.

x → x0

Теорема 3. Произведение ограниченной функции при

на бесконечно малую при

является бесконечно малой функцией при x → x0 .

x → x0

Теорема 4. Произведение конечного числа бесконечно малых функций при

есть бесконечно

малая функция.

Важную роль в математическом анализе играют бесконечно большие функции.

x → x0 ,

Определение 8. Функция f (x) называется бесконечно большой (ББФ) при

если

для сколь

угодно большого числа Ε > 0 существует

δ > 0 такое, что

для всех

x D(f ), x ≠ x0

таких, что при

x − x0

< δ выполняется

f (x)

> Ε.

f (x)= ∞.

Обозначение

lim

x→x0

x →∞,

Замечание. Аналогично можно сформулировать определения бесконечно больших функций при

x → +∞, x → −∞, x → x0 + 0 , x → x0 − 0 .

Свойства бесконечно больших функций идентичны свойствам бесконечно малых функций.

Между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями имеется следующая связь:

α(x)=

или f (x)=

(x)

α(x)

Доказательство следует из определения бесконечно малых (бесконечно больших) функций. (Рекомендуется доказать самостоятельно). Такая связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями позволяет использовать естественную символическую запись, используемую для сокращения: для любого положительного числа а>0 пишут

= +∞,

= −∞,

= ∞,

= +0,

= −0,

= 0.

+ 0

− 0

+ ∞

− ∞

∞

Отметим, что на бесконечно большие функции свойства конечных пределов, связанные с арифметическими действиями над пределами, не всегда переносятся.

Например, если

lim f (x) = +∞, lim g(x) = +∞,
x→a	x→a

то и

lim[f (x)+ g(x)]= +∞

x→a

С другой стороны ничего нельзя утверждать о наличии или отсутствии предела разности функций, то есть

lim[ f (x) − g(x)].

x→a

В таких случаях говорят о наличии неопределенности вида ∞─∞.

Сравнение бесконечно-малых функций. Эквивалентные бесконечно-малые функции.

Известно, что сумма, разность и произведение бесконечно малых функций являются также бесконечно малыми функциями. При вычислении предела частного двух бесконечно малых функций могут возникнуть самые разнообразные случаи.

Рассмотрим

простейший

пример. Пусть α(x) = x, β(x) = x 2 - две

бесконечно малые функции в точке х=0. Имеем:

lim

α(x)

= lim

= ∞, lim

β(x)

= lim

x 2

= lim x = 0.

β(x)

x 2

α(x)

x→0

С помощью действия деления можно сравнить между собой две бесконечно малые при x → x0 функции, то есть найти предел их отношения

при x → x0 .
Определение. БМФ α(x) называется бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, чем
бесконечно малая при x → x0 функция β(x), если
lim	α(x) = 0 .
x→x0	β(x)

Замечание. В таких случаях пишут, что

β(x)= o(α(x)) при x → x0

иговорят, что «α(x)есть о малое от β(x).»

Замечание. Если lim	α(x)	не существует, то бесконечно малые при x → x0 функции α(x) и
Замечание. Если lim	β(x)
x→x0	β(x)
β(x)называются несравнимыми.

Определение. Две бесконечно малые при x → x0 функции α(x) и β(x) имеют одинаковый порядок

малости при x → x0 , если их отношение имеет конечный предел, отличный от нуля, то есть
lim		α(x)	= c ( c ≠ 0 , c = const ).
lim			= c ( c ≠ 0 , c = const ).
x→x0		β(x)
В этом случае пишут		α(x)=О( β(x))
		α(x)=О( β(x))
и говорят, что «α(x)есть О большое от β(x).»
Определение. Если					α(x)
				lim	α(x)	=1,
				lim		=1,
				x→x0	β(x)
то бесконечно малые при x → x0 функции α(x)и				β(x)называются эквивалентными.
В этом случае пишут	(x) ~			β(x)при x → x0 .
α	(x) ~			β(x)при x → x0 .

Свойства функций, имеющих предел.

Сформулируем некоторые свойства функций, имеющих предел. Основная теорема о бесконечно малых функциях также как и определение предела функции «на языке последовательностей» позволяют перенести теоремы о пределах последовательностей на функции.

	Теорема 1.	Пусть f (x) и g(x) - функции, для которых в точке
x0	существуют lim	f (x)= B , lim g(x)= C . Тогда:
	x→x0	x→x0
	а) существует lim (f (x)± g(x)) и
		x→x0

lim (f (x)± g(x))= lim f (x)± lim g(x)= B ±C ;

x→x0

б) существует

lim f (x) g(x) и

f (x) g(x)=

x→x0

lim

f (x) lim g(x)= B C ;

x→x0

в частности, для всякой постоянной k

lim k f (x)

= k lim f (x)= k B ;

x→x0

f (x)

в) если lim g(x)= C ≠ 0, то существует

lim

g(x)

x→x0

lim

f (x)

xlim→x

f (x)

g(x)

lim g(x)

x→x0

f (x)≤g(x), то

Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки х0

lim f (x)≤ lim g(x).

x→x0

f (x)= lim g(x)= B и

Теорема 3.(Теорема о сжатой переменной). Если

lim

выполняется неравенство f (x)

≤ h(x)≤ g(x), то

x→x0

lim h(x)= B .

x→x0

f (x)

Если lim g(x)= 0 ,

lim f (x)= 0 , то lim

может :

g(x)

x→x0

а) не существовать; б) быть равным бесконечности;

в) быть равным конечному числу, отличному от нуля; г) быть равным нулю.

Вэтом случае говорят о раскрытии неопределенности вида 0 .

	Замечание. Следует выделить отдельно задачу о вычислении предела
lim	f (x) g(x) при условии lim f (x)= 0 ,	lim g(x)= ∞. В этом случае говорят о
x→x0	x→x0	x→x0
раскрытии неопределенности вида [0, ∞].

Для вычисления пределов функций применяется правило предельного перехода:

чтобы найти предел элементарной функции, когда аргумент стремится к значению, принадлежащему области определения функции, нужно в выражение функции вместо аргумента подставить его предельное значение.

Способы вычисления пределов.

I.Непосредственная подстановка.

Пример.	lim	3x2 − x −3	=	−3	=	1	.
		x −6		−6		2
	x→0

II.Раскрытие неопределенностей

Неопределенности типа

раскрываются:

1) разложением на множители и сокращением:

Пример.

lim

x2 + x −6

= lim

(x − 2)(x +3)

= lim(x +3)= 5 ;

x→2

x −

(x − 2)

x→2

0 x→2

2) переводом иррациональности из числителя в знаменатель и наоборот,

домножением на сопряженный множитель:

Пример.

x( 1 + x +1)

lim

= lim

( 1

+ x −1)( 1 + x +1)

1 + x −

x→0 1

+ x −1

→0

x→0

;

1 + x +1)= lim(

1 + x +1)= 2 .

= lim

Пример.

x→0

lim

(2x +1)2 −(x +1)2

x2 + x +1

x→∞

∞ −∞

Имеем неопределенность вида

∞

. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

+2x +1

+4x +1− x

lim (2x +1)

−(x +

(

)

=lim

+4x +1− x

−2x −1

=lim 3x

+2x .

=lim

x2 + x +1

x→∞

x2 + x +1

x→∞

x2 + x +1

Получили неопределенность

вида

∞

Разделим

числитель

знаменатель на

так как при

∞

3 +

x → ∞

→ 0 (n > 0), получим lim

= 3 .

x→∞

1 +

Текст лекции Введение.

В этой лекции на основе вычисления предела отношения бесконечно малых функций, который, как известно, может привести к разнообразным случаям, проводится сравнение бесконечно малых функций, рассматриваются свойства функций, имеющих предел, выражаемые равенствами и неравенствами. Доказывается первый замечательный предел

lim sin x				=1
x→0		x
и второй замечательный предел
			1 x
lim 1	+			= e .
lim 1	+			= e .
x→∞			x

Вводится важное в приложениях понятие эквивалентности бесконечно-малых функций. Показывается, как это свойство используется при вычислении пределов.

Замечательные пределы
Многие неопределенности типа	0	, содержащие тригонометрические

0

функции, раскрываются с помощью первого замечательного предела.

Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малого угла к величине этого угла в радианах равен единице, то есть

lim sin x =1. (1)

x→0 x

Следствие 1.

lim

tg x

=1.

tg x

x→0

sin x

Доказательство.

lim

= lim

lim

=1.

cos x

x→0

x→0 cos x

Примеры.

а)

lim

sin kx

= k (k = const).

x→0

− cos x

2 sin

sin

б)

lim sin

= 0 .

lim

= lim

x→0

Теорема.

Второй замечательный предел.

lim

1 +

= e .

(4)

x→∞

Замечание. С помощью второго замечательного предела раскрываются

неопределенности типа [1∞ ].

Пример.

lim 1 +

= lim 1

lim 1

= e

x→∞

→∞

Замечание. Рекомендуется, используя второй замечательный предел, доказать,

что

1. lim

x→0

2. lim

x→0

3. lim

x→0

ln(1 + x) =1; x

a x x−1 = ln a;

(1 + x)α −1 =α x

Соседние файлы в папке Лекции математика

#
02.04.2015231.62 Кб6004 Лекции 01 Определители матрицы.pdf
#
02.04.2015282.23 Кб9404 Лекции 02 Векторная алгебра.pdf
#
02.04.2015228.29 Кб6104 Лекции 03 Аналитическая геометрия.pdf
#
02.04.2015263.97 Кб5904 Лекции 04 Математический анализ.pdf
#
02.04.2015381.01 Кб5504 Лекции 04 Математический анализ Ряжских.pdf
#
02.04.2015513.74 Кб5804 Лекции 05 Дифференциальное исчисление Ряжских.pdf
#
02.04.2015248.1 Кб6004 Лекции 06 Функции многих переменных. Градиент.pdf
#
02.04.2015518.3 Кб6104 Лекции 07 Интегральное исчисление.pdf
#
02.04.2015427.07 Кб7604 Лекции 08 Кратные и криволинейные интегралы.pdf