Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет инженерных технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции математика / 04 Лекции 14 Операционное исчисление

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.04.2015

Размер:

198.37 Кб

Скачать

☆

Операционное исчисление

Введение.

Тема посвящена изучению одной из важных областей математического анализа. В физике, механике, электротехнике, особенно в современной автоматике и телемеханике, при решении различных вопросов широко используются методы операционного исчисления. В этой теме будут даны основные понятия операционного исчисления и изложены операционные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. И начинается она лекцией

"Интегральное преобразование Лапласа", которая состоит из учебных вопросов:

1.Оригиналы и изображения.

2.Свойства преобразования Лапласа.

3.Свойства изображений. Таблица изображений простейших функций.

По первому учебному вопросу нам предстоит познакомиться с понятиями оригинала (или изображаемой по Лапласу функции), интегралом Лапласа и преобразованием Лапласа или изображением, а также новыми математическими символами, которые применяются для их обозначения. Известно, что соответствие между оригиналами и их изображениями обладает свойством однозначности.

По второму учебному вопросу рассматриваются основные свойства преобразования Лапласа: линейности, подобия, запаздывания оригинала, смещения изображения и другие.

По третьему учебному вопросу находятся изображения функции Хевисайда,

функций sin t , cos t , sin at , cos at , e - a t , e - a t sin at , e - a t cos at и других, и

полученные результаты заносятся в таблицу изображений простейших функций.

1. Оригиналы и изображения.

Определение 1 . Кусочно-непрерывная функция f : ]− ∞,∞[→ R1 называется оригиналом, если:

1)t < 0 ( f (t)) = 0 ,

2)M >0 a0 ≥0 t R1 (f (t) ≤ Mea0t ).

0,		t < 0,		0,	t < 0,
Например, функции σ и h , σ(t) =	1,	t ≥0	h(t) =		t ≥0
			cost,

являются оригиналами.

Функция σ называется единичной функцией Хевисайда (рис. 1).

σ(t)

Рис. 1

Очевидно, что если функция g удовлетворяет условию 2) определения оригинала, то функция f ,

f (t) =σ(t)g(t)

(1)

является оригиналом. В дальнейшем, краткости ради, оригиналы (I) будем

обозначать той же буквой g ; тогда σ(t) =1,

h(t) = cost .

Пусть p = a +ib - некоторое комплексное

число

f - оригинал.

Рассмотрим

несобственный интеграл F ( p) ,

∞

F ( p) = Alim→∞ ∫e−pt f (t)dt = ∫e−pt f (t)dt .

(2)

Покажем, что при Re p = a0 > 0 интеграл F ( p)

ограничен по модулю. В самом деле,

так как e−pt = e−(a+ib)t

= e−at (cosb −isin bt) , то имеем:

∞

F ( p)

∫e−at cosbtf (t)dt −i∫e−at sin btf (t)dt

≤ 2∫e−at

f (t)

dt ≤ 2M ∫e−(a−a0 )t dt =

a − a0

Определение 2. Интеграл F ( p) ,

∞

F ( p) = ∫e−pt

f (t)dt

(3)

F ( p) называется

называется интегралом

Лапласа,

функция

преобразованием Лапласа функции f или изображением f .

Тот факт, что

f является оригиналом,

а F -

его изображением,

записывают

•

так: f (t)←F( p), (F

( p)→ f (t)) .

•

Пример 1 . Найти изображение единичной функции Хевисайда.

∞

= e−pt

∞

= −e−at

∞

Решение. При Re p > 0 имеем ∫e−pt dt

e−bt

Поэтому

•

(Re p > 0) .

1←

(4)

•

Пример 2 .

Найти изображение показательной функции f (t) = eαt , (α C)

Решение. Вычисляя интеграл F ( p) при Re(a −α) >0 , получаем:

∞

F ( p) = ∫e−pt eαt dt = ∫e−( p−α)t dt =

p −α

•

eαt ←

, (Re( p −α) > 0) .

(5)

p −α

•

2.Свойства преобразования Лапласа.

1.Единственность. Если две непрерывные функции f и g являются

оригиналами и имеют одно и тоже изображение F , то эти функции тождественно равны.

2. Линейность. Если	•	•	и β	- заданные
2. Линейность. Если	f (t)←F ( p),	g(t)←G( p) и α	и β	- заданные
	•	•
числа, то
		•		(6)
	αf (t) + βg(t)←αF( p) + βG( p) .			(6)
		•

Доказательство . По определению изображения и известных свойств интеграла имеем:

•

∞

αf (t) + βg(t) ←• ∫e−pt (αf (t) + βg(t))dt =α∫e−pt f (t)dt + β∫e−pt g(t)dt =αF ( p) + βG( p)

Пример

3 . Найти изображения: а) cos , б) sin , в) ch , г) sh ,

•

Решение. Так как (см. прим. 2) eit ←

e−it ←

et ←

, e−t ←

p + i

p −1

p +

• p −i

•

то формулы cost =

(eit

+ e−it

sin t =

(eit

−e−it ), ch t =

(et

+ e

−t ),

sh t =

(et −e−t )

и формула (6) дают:

•

а) cost ←

; б) sin t ←

−

;

•

−i

•

p +i

p −i

p +i

•

в) ch t ←

; г)

sh t ←

−

•

−1

•

1 p +1

−1

p −1 p +1

p −

3 . Подобие. Если

•

α > 0

(t)←F ( p) , то

•

(7)

f (αt)← 1 F ( p ) .

•

Доказательство . Подстановка αt = x

дает:

•

∞

−

f (αt)←•

∫e−pt f (αt)dt =

∫e

f (x)dx =

F (

) .

Пример 4 . Из формулы (7) и примеров 3а) и 3б) следует:

•

pα

•

4а) cosαt ←

4б) sinαt ←

•

α p

+α2

•

α p

+α

4 .

•

( p) , то

Запаздывание. Если f (t)←F

•

τ > 0

•

(8)

f (t −τ)←e−τp F( p) .

•

								4
Доказательство . Подстановка t −τ = x дает:
•	∞					∞				∞
f (t −τ) ←• ∫ f (t −τ)e−pt dt = ∫e−p( x+τ) f (x)dx = e−pτ ∫ f (x)e−px dx = e−τp F ( p) ,
	0					−τ				0
так как f (x) = 0 при −e ≤ x <0 .
Пример			5 . Изображением функции							f (t) =σ(t −τ)	будет F ( p) = e−τp p−1 ,
		•	e	− pt
то есть σ	(t −τ)←		e		.
то есть σ	(t −τ)←			p	.
		•		p
		•
5 .							•
5 .	Смещение. Если f (t)←F ( p) , то при Re( p + β) >0
							•
									•		(9)
						e−βt f (t)←F ( p + β) .					(9)
									•
									•	∞	∞
Доказательство . В самом деле e−βt f (t)←• ∫e−pte−βt f (t)dt =∫e−( p+β)t f (t)dt =F(p +β) .
										0	0
Пример 6 . Из формулы (9) и примеров 4а) и 4б) следует:
6а) e − β t	cos	α t ← =				p + β		;
			•
			•			( p + β ) 2 + α 2
6б) e − β t			•			α
	sin	α t ← =							.
	sin	α t ← =				( p + β ) 2	+ α 2		.
			•			( p + β ) 2	+ α 2

3. Таблица изображений некоторых функций.

Интеграл Лапласа (3) позволяет оригиналу f найти его изображение F . С

помощью преобразования Фурье решим обратную задачу: по заданному изображению F найдем оригинал f . Напомним определение преобразования

Фурье. Если

C(w) = 1 ∞∫ϕ(t)e−iwt dt ,

2π −∞

ϕ(t) = 1 ∞∫C(w)eiwt dw .

2π −∞

Здесь функция ϕ должна быть, в частности, абсолютно интегрируема на

						l
под несобственным интегралом от −∞ до ∞ понимается предел llim→∞						∫ .
Пусть p = a + iw, (a > a0 ) и f			- оригинал с изображением F .			−l
Пусть p = a + iw, (a > a0 ) и f			- оригинал с изображением F .
			2πf (t)e−at ,		t ≥ 0,
Тогда, ясно, что и функция ϕ , ϕ(t) =				0,	t < 0
				0,	t < 0
является оригиналом. Из формулы (10) следует:
	1	∞		∞
C(w) =	1	∫ϕ(t)e−iwt dt = ∫e−(a+iw) f (t)dt = F (a + iw) .
C(w) =	2π	∫ϕ(t)e−iwt dt = ∫e−(a+iw) f (t)dt = F (a + iw) .
	2π	−∞		0
		−∞		0

(10)

(11)

]− ∞, ∞[ и

Поэтому формула (11) дает:

∞		2πf (t)e−at ,		t ≥ 0,	(12)

∫F (a + iw)e−iwt dt =			0,	t < 0.
−∞
Из первой строчки равенства (12) получаем, что при
	1	∞
f (t) =		∫e(a+iw)t F (a −iw)dw .			(13)
	2π
		−∞	p = a +iw проходят в комплексной
Когда w меняется от −∞ до ∞, значения

плоскости прямою, параллельную мнимой оси; при этом условно пишут, что p

меняется от a −i∞ до a +i∞.

Так как dp =idw , то из формулы (13) f (t) = 21πi

следует:

∞

∫e pt F ( p)dp, (a > a0 ) .	(14)
−∞

Это и есть формула обращения для преобразования Лапласа.

Метод вычисления интегралов типа (14) дан в теме (Теория функции

комплексного переменного».

f (t) = ∑pres=p

e pt F( p) .

Таблица преобразований Лапласа

( a, b, c - различные постоянные)

∞

№

f (t)

F ( p) = ∫e−pt f (t)dt

t n−1

, (n =1, 2, ...)

(n −1)!

π t

2 t π

p−32

2n t

n−

−(n+1

)

, (n =1, 2, ...)

5...(2n −1)

k −1

Γ(k )

> 0)

eat

p − a

( p − a) 2

10.

t n−1eat

, (n =1, 2, ...)

(n −

1)!

( p − a)n

11.

k −1

Γ(k )

> 0)

( p − a)k

12.

(eat

− ebt )

a −b

( p − a)( p −b)

13.

(aeat

−bebt )

a −b

( p − a)( p −b)

14.

−

(b −c)eat

+(c −a)ebt +(a −b)ect

( p − a)( p −b)( p −c)

(a −b)(b −c)(c −a)

15.

a1 sin at

p2 + a2

16.

cos at

p2 + a2

17.

a1 sh at

p2 − a2

18.

ch at

p2 − a2

19.

(1 − cos at)

p( p2 + a2 )

20.

(at −sin at)

p2 ( p2 + a2 )

21.

(sin at − at cos at)

( p2 + a2 )2

2a3

22.

sin at

( p2 + a2 )2

23.

(sin at + at cos at)

( p2 + a2 )2

24.

t cos at

p2 − a2

( p2 + a2 )2

25.

cos at − cosbt

(a2

≠ b2 )

( p2

+ a2 )( p2 + b2 )

b2 − a2

26.

1 eat sin bt

( p − a)2 + b2

27.

cosbt

p − a

( p − a)2 + b2

−at

at 3

3a2

28.

−e

−

3sin

cos

+ a

29.

sin atch at − cos atsh at

4a3

p4 + 4a4

30.

sin atsh at

p4 + 4a4

2a2

31.

(sh at −sin at)

p4 − a4

2a3

32.

(ch at − cos at)

p4 − a4

2a2

33.

(1 + a2t 2 )sin at − at cos at

8a3 p2

( p2 + a2 )3

34.

+ 2at)

( p − a) 32

π t

35.

(ebt

− eat )

p − a −

p −b

π t3

36.

−

e−a

∫eλdλ

π t

p + a

−a2t a

t λ

37.

∫e

dλ

p ( p + a

)

38.

J0 (at)

p2 + a2

(

p2 + a2 − p)ν

39.

Jν (at)

(ν > −1)

p2 + a2

40.

kak

Jk (at)

(

p2 + a2

− p)k , (k > 0)

41.

0, 0 <t < k,

e−kp

t > k.

42.

0, 0 <t < k,

e−kp

− k,

t > k.

43.

1, 0 <t < k,

1 − e−kp

t > k.

44.

sin kt

cth π p

p2 + k 2

J0 (2 kt )

− k

45.

cos 2

− k p

46.

π t

47.

ch 2

e k p

π t

k p

48.

sin 2

p 32

π k

(

μ−1)/ 2

J μ−1 (2

kt )

− k p

(μ > 0)

49.

k 2

50.

−

−k

(k > 0)

π t3

exp

Заключение.

На лекции рассмотрены основные понятия операционного исчисления, понятие оригинала и изображения, установлено взаимнооднозначное соответствие между ними и некоторые свойства преобразования Лапласа. Получена таблица изображений простейших функций, решены примеры на нахождение изображения заданной функции и восстановление оригинала по его изображению.

В качестве литературы, предлагаемой на самоподготовку, кроме конспекта лекции, можно рекомендовать учебное пособие Н.С.Пискунов "Дифференциальное и интегральное исчисления", том 2, глава XIX, параграфы 1 - 9. Для лучшего усвоения теоретических положений лекции при нахождении изображений и отыскании оригинала по изображению (элементарным методом, то есть с помощью свойств преобразования Лапласа и таблиц изображений) можно использовать дополнительную литературу: П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова "Высшая математика в упражнениях и задачах", глава VIII, параграфы 1, 2.

Соседние файлы в папке Лекции математика

#
02.04.2015214.06 Кб6804 Лекции 09 Поверхностные интегралы.pdf
#
02.04.2015627.84 Кб8604 Лекции 10 Дифференциальные уравнения.pdf
#
02.04.2015403.75 Кб9804 Лекции 11 Ряды.pdf
#
02.04.2015253.26 Кб32804 Лекции 12 Ряды Фурье.pdf
#
02.04.2015590.07 Кб7604 Лекции 13 Теория вероятностей.pdf
#
02.04.2015198.37 Кб9004 Лекции 14 Операционное исчисление.pdf
#
02.04.2015444.44 Кб6404 Лекции 15 Функции комплексного переменного.pdf
#
02.04.2015296.7 Кб7504 Лекции 16 Теория поля Эктов.pdf