Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет инженерных технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции математика / 04 Лекции 15 Функции комплексного переменного

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.04.2015

Размер:

444.44 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

функция w = f (z) − A0		может иметь только конечное число нулей или во-
все их не иметь.
Например,	для	функции f (z) = ez таким исключением является
A = 0 (уравнение	ez = 0 не имеет корней); для функции f (z) = cos z и

f (z) =sin z не существует исключений, то есть уравнения

cos z = A, sin z = A

имеют бесконечное множество решений для всех A , в том числе и для

A = 0.

Из основной теоремы алгебры следует, что многочлен n -ой степени можно представить в виде произведения n линейных множителей.

Аналогично, если f - целая функция, отличная от многочлена, то в

некоторых случаях ее можно представить в виде бесконечного произведения линейных множителей

																														∞
												f (z) = f (0)eBz ∏e z zk																									,
																													k=1
где B =	f ′(0)			и функция							f	имеет только однократные нули z , z																																					2	,..., z	n	,...
где B =				и функция							f	имеет только однократные нули z , z																																						,..., z		,...
	f (0)																																															1
	f (0)
Например,
						sin z							z		2							z			2														z		2
						sin z							z									z																	z													(20)
									=	1		−						1 −														1 −														...
							z		=	1		−	π		2			1 −			2	2		π				2				1 −						2		π				2		...
							z						π								2			π											3					π
													4z				2					4z						2											4z					2
						cos z =							4z									4z																	4z													(21)
												−				2				−				2																2
										1		−	π			2			1	−				2		π				2 1 −							5			2		π			2 ...
													π								3					π											5					π
						sh z								z		2								z			2													z			2
						sh z								z						+				z																z												(22)
																2							2							2										2
							z		= 4 1 +				π			2			1		2		2			π				2			1 +				3			2		π			2 ...
							z						π								2					π											3					π
Раскроем скобки в равенстве (20)
			z	2			1			1																						z		2							1					1
			z				1			1																						z									1					1
		−		2	1	+		2	+		2	+	...																					2	1	+							2			+	2	+... +...
sin z = z 1		−	π	2	1	+	2	2	+		2	+	...					+... = z −													π			2	1	+				2			2			+	2	+... +...
			π				2		3																						π									2						3

Сравнивая коэффициенты при							z3		с коэффициентами при z3 в равенстве
(17) получим:
		1			1					1				1
				=			1		+		+					+...	;
		6		=	π 2		1		+	22	+		32			+...	;
		6			π 2					22			32
откуда следует известное равенство
1	+		1		+	1		+... +				1			+... =		π	2	.
1	+	2		2	+	32		+... +				n2			+... =		6		.
		2		2		32						n2					6

2. Определение ряда Лорана

Рядами Тейлора представляются функции, аналитические в кругах. Однако часто приходится рассматривать функции, аналитические в концентрических кольцах

V ={z r < z − a < R},

где 0 ≤ r < R . Такие функции представляются рядами вида

c−2

c−1

∞

... +

+ c0 + c1 (z − a) +... =

∑cn (z − a)n ,

(1)

(z − a)

z − a

n=−∞

которые называются

рядами Лорана

(П. Лоран, - французский

математик).

Ряд (1) называется сходящимся в точке

z ,

если в этой точке

сходятся ряды

∞

f1 (z) = ∑cn (z

− a)n ,

(2)

n=0

−1

∞

c−n

f2 (z) = ∑cn (z − a)n

= ∑

;

(3)

− a)

n=−∞

n=1 (z

при этом комплексное число

f (z) = f1 (z) + f2 (z)

называется суммой ряда Лорана.

Ряд (2), называемый правильной частью ряда Лорана, является степенным рядом и, следовательно, сходится в некотором круге z − a < R .

Ряд (3), называемый главной частью ряда Лорана, является степенным рядом относительно переменной ξ = z −1 a и поэтому сходится

в некотором круге ξ < ρ , то есть в области z − a > ρ1 = r .

Если r < R , то ряд (1) будет сходиться в кольце r < z − a < R с центром в точке a .

3. Разложение аналитической функции в ряд Лорана

Из предыдущих рассуждений следует, что сумма сходящегося ряда Лорана представляет собой функцию, аналитическую в кольце.

Справедливо и обратное утверждение: функция f , аналитическая в круговом кольце V ={z r < z − a < R}, разлагается в нем в ряд Лорана.

Покажем, что для коэффициентов cn ряда Лорана (1) с суммой f (z) справедливы формулы:

	1	∫	f (z)
cn =				dz, (n = 0,	±1,± 2,...) ,	(4)
cn =	2πi		(z − a)n+1	dz, (n = 0,	±1,± 2,...) ,	(4)
		Cρ

где

r < ρ < R и

Cρ

={z

z − a

= ρ} - окружность радиуса

точке a .

Для этого умножим обе части равенства

∞

f (z) = ∑cn (z − a)n

n=−∞

на

(z − a)−m−1

и проинтегрируем по окружности Cρ :

2πi

f (z)

∞

n−m−1

∫

∑ cn

∫(z − a)

(z − a)

m+1

2πi Cρ

n=−∞

2πi Cρ

На основании формулы (11) §4

∫(z − a)n−m−1 dz =

1, n = m,

0, n ≠ m.

2πi

Cρ

Поэтому

f (z)

= cm ,

(m = 0, ±1, ± 2,...) .

2πi

∫ (z − a)m+1 dz

Cρ

ρ с центром в

(5)

Или меняя m на n , получим требуемые формулы (4).

Замечание 1 . Если в ряде (5) возьмем z = a + eiϕ , то получим

ряд:

∞

F(ϕ) = f (a + eiϕ ) = ∑cneinϕ

n=−∞

Ряд (6) является рядом Фурье функции F , записанным в комплексной форме

Во многих случаях заданную аналитическую функцию можно разложить в ряд Лорана с помощью элементарных преобразований, не прибегая к вычислению интегралов (4). Покажем это на примерах.

Пример 1 . Разложить функцию

f (z) = z(11− z)

в ряд Лорана в кольце:

а) 0 <		z		<1;	б)		z		<1.

Решение. Воспользуемся тождеством

1	=	1	+		1
z(1 − z)		z		1 − z

а) Здесь z <1, поэтому:

1 −1 z =1 + z + z2 +...

откуда получаем:

1 +1 + z + z2

+...

(6)

z(1 − z)

Главная часть ряда Лорана (6) состоит из одного члена, правильная

часть – из бесконечного числа членов.

б) Здесь

>1, то есть

<1; поэтому:

= −

1 +

+...

= −

−

−...

1 − z

−

Откуда

1	= −	1	−	1	−... −	1	−...	(7)
z(1 − z)		z2		z3		zn

В ряде (7) отсутствует правильная часть, а главная часть состоит из бесконечного числа членов.

Замечание 2 .

а) Из формулы (4) и равенства (6) следует:

1		∫	dz	1, n ≥ −1,
				= 0, n ≤ −2,
2πi	z		zn+2(1−z)	= 0, n ≤ −2,
	z	=ρ

где 0 < ρ <1.

б) Из формулы (4) и равенства (7) следует:


1		∫		dz	−1, n ≤ −2,
					=
2πi				n+2(1−z)	=	0, n ≥ −1,
	z		=R z
	z		=R z

где R >1.

4. Изолированные особые точки

(8)

(9)

Определение 1 . Точка a C называется изолированной особой точкой функции f , если существует такое R > 0, что функ-

ция f аналитична в кольце 0 < z − a < R , но не определена в точке a .

Пусть a - изолированная особая точка функции f . Разложим функцию f в кольце 0 < z − a < R в ряд Лорана.

∞	c−n		∞
f (z) = ∑			+ ∑cn (z − a)n .	(10)
	(z − a)	n
n=1			n=0

В зависимости от количества членов в главной части ряда Лорана различают три типа изолированных особых точек:

1)устранимая особая точка;

2)полюс;

3)существенно особая точка.

1). Устранимая особая точка – это изолированная особая точка z = a , для которой ряд Лорана (10) не содержит главной части, то есть имеет вид:

∞
f (z) = ∑cn (z − a)n	(11)

n=0

Ясно, что для устранимой особой точки существует конечный предел

lim f (z) = c0 .

z→a

Например, точка z = 0 является для функции f (z) = sinz z устранимой осо-

бой точкой, так как

lim sin z =1.

z→0 z

2). Полюс m -го порядка – это изолированная особая точка z = a , для которой главная часть ряда Лорана содержит m членов, то есть:

f (z) =

c−m

+... +

c−1

+ c

+ c (z − a) +...,

(12)

(z − a)m

z − a

причем c−m ≠ 0 , а среди чисел c−m+1,...,c−1 могут быть равные нулю.

При m =1 полюс называется простым.

Например, для функции

f (z) =

точка

z = 0

является полюсом

второго порядка, ибо

1 1 1 z

2 =

+...

+... =

Перепишем равенство (12) в следующем виде:

f (z) =

−m

+ c

−m+1

(z − a) +...)=

g(z)

(13)

(z − a)m

где g(z) = c−m + c−m+1 (z − a) +... является аналитической функцией в кольце

0 < z − a < R .

Из равенства (13) следует, что точка z = a для функции f является полюсом m -го порядка тогда и только тогда, когда

lim f (z)(z − a)m = c−m	(14)
z→a

где c−m ≠ 0 и c−m ≠ ∞. Ясно, что lim f (z) = ∞.

z→a

Покажем, что если функция ϕ имеет точку z = a нулем m -го по-

рядка, то функция f = ϕ1 имеет эту точку полюсом m -го порядка.

В самом деле, так как по определению нуля m -го порядка

ϕ(z) = (z − a)m g(z), (g(a) ≠ 0) ,

то для функции f

f (z) =	1	,
	(z − a)m g(z)

будет выполняться равенство (14), то есть точка z = a - полюс m -го порядка функции f .

3). Существенная особая точка – это изолированная особая точка z = a , для которой главная часть ряда Лорана (10) содержит бесконечно много членов.

Существенно особая точка функции f характеризуется тем, что не

существует предела lim f (z) .

z→a

Например, точка z = 0 - существенно особая точка функции

f (z) = e z , так как

=1 +

+...

2!z2

3!z3

Взяв z = x получим:

lim e

= ∞,

lim e

= 0

x→+0

x→−0

то есть предел lime z не существует.

z→0

Заключение.

Основу этой лекции составила интегральная формула Коши, которая позволяет функцию комплексного переменного раскладывать в ряд Тейлора в односвязных областях. Для разложения функций в ряды, аналогичные рядам

Тейлора, в двусвязных областях ,используются ряды Лорана.

На следующей лекции будут даны применения рядов Лорана к вычислению определенных интегралов.

Введение.

Теория вычетов имеет разнообразные применения в математике. С помощью этой теории можно вычислять определенные и несобственные интегралы, разлагать аналитическую функцию на простейшие дроби, исследовать дифференциальные уравнения на устойчивость. В частности, операционное исчисление – это приложение теории вычетов.

1. Вычет функции в изолированной особой точке. Вычисление вычетов.

Определение 2 .

Вычетом функции f в изолированной

точке a C называется интеграл res f (z) ,

z=a

res f (z) =

∫ f (z)dz,

(0 < ρ < R)

2πi

z=a

z−a

=ρ

(от латинского слова residu – остаток).

Укажем формулу для вычисления res

f (z) в зависимости от харак-

тера изолированной точки z = a .

z=a

Для этого разложим функцию

f в ряд Лорана в кольце 0 <

z − a

< R . На

основании формулы (4) при n = −1 будем иметь:

c−1 = res

f (z) =

∫

f (z)dz ,

2πi

z=a

z−a =ρ

для любого ρ , удовлетворяющему условию 0 < ρ < R . 1). Для устранимой особой точки имеем:

res f (z) = 0 ,

z=a

так как в этом случае отсутствует главная часть ряда Лорана, то есть c−1 = c−2 =... = 0 .

2). Для простого полюса на основании формулы (14) имеем:

res f (z) = lim(z − a) f (z) .

(15)

z=a z→a

3). Для полюса порядка m вычет получим следующим образом:

функцию g(z) = (z − a)m f (z) = c−m + c−m+1 (z − a) +... + c−1 (z − a)m−1 +...			про-
дифференцируем m −1 раз и перейдем к пределу при z → a : откуда
c−1 = res f (z) =	1	lim((z − a)m f (z))m−1.	(16)

z=a	(m −1)! z→a

4). Для вычисления вычета в существенно особой точке формул, аналогичным формулам (15) и (16) не существует и надо находить главную часть ряда Лорана.

Следующие примеры даны соответственно случаям 1)-4):

res

sin z

∫

sin z dz = 0, (ρ > 0) ;

z=0

2πi

=ρ

res

∫

dz = −1, (0 < ρ <1) ;

z(1 − z)

2πi

z(1 − z)

z=0

=ρ

res

∫

dz =1,

(ρ > 0) ;

2πi

z=0

=ρ

res ze

∫ze

dz =

(ρ > 0) .

2πi

z=0

=ρ

2. Основная теорема о вычетах

Под основной теоремой о вычетах понимается следующая теорема.

Теорема 1 . Если функция f аналитична в замкнутой области

E , за исключением конечного числа изолированных особых точек a1,a2 ,..,an , принадлежащих области E , то

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции математика

#
02.04.2015627.84 Кб8604 Лекции 10 Дифференциальные уравнения.pdf
#
02.04.2015403.75 Кб9804 Лекции 11 Ряды.pdf
#
02.04.2015253.26 Кб32804 Лекции 12 Ряды Фурье.pdf
#
02.04.2015590.07 Кб7604 Лекции 13 Теория вероятностей.pdf
#
02.04.2015198.37 Кб9004 Лекции 14 Операционное исчисление.pdf
#
02.04.2015444.44 Кб6404 Лекции 15 Функции комплексного переменного.pdf
#
02.04.2015296.7 Кб7504 Лекции 16 Теория поля Эктов.pdf