Лекции математика / 04 Лекции 15 Функции комплексного переменного

Рассмотрим два случая: 1) n = 0 ; 2) n ≠ 0. 1) При n = 0 равенство (11) дает:

2) При n ≠ 0 формула Ньютона-Лейбница дает:

Объединяя результаты (13) и (14), получаем формулу (12).

Замечание. При n = −1, − 2, −3, ... тождество (12) есть частный случай тождества (5).

3. Интегральная формула Коши. Интегральное представление производных аналитических функций

Следствием теоремы Коши является так называемая интегральная формула Коши. Она позволяет выразить значение аналитической функции в любой точке области через значения функции на границе этой области, что находит многочисленные применения.

Теорема 1 (формула Коши). Пусть функция f аналитична в замкнутой области E . Тогда ξ E имеет место равенство

или

Интеграл в правой части равенства (16) преобразуем следующим образом:

Переходя в равенстве (2) к пределу при ρ →0 , на основании формул

(3), (4) и (5) получаем:

∫ f (z)dz = 2π if (ξ) ,

∂E z −ξ

что и доказывает формулу (1).

Пример 1 . Взяв в формуле Коши f (z) = zk , k ≥ 0 целое, и

z −ξ = R

На основании теоремы 1 легко получить следующую теорему, имеющую большое прикладное значение.

Теорема 2 (принцип максимума модуля). Пусть функция f аналитична в области E и непрерывна на границе ∂E . Тогда либо f (z) ≡ Const в замкнутой области E , либо max f (z) достигается только на границе ∂E .

Следствием интегральной формулы Коши является следующая тео-

рема.

Теорема 3 . Если функция f аналитична в ограниченной односвязной области G , то ξ E G имеет место формула:

Не останавливаясь на обосновании отметим, что в данном случае возможен предельный переход под знаком интеграла, то есть

Методом математической индукции можно доказать следующую формулу:

справедливую в условиях теоремы (3).

Пример 2 . Формула (7) для равенства (6) дает:

Дополнение 2 . Следствием формулы (7) является следующая теорема, не имеющая аналога для действительных функций.

Теорема 4 ( теорема Лиувилля) . Если функция f аналитична во всей комплексной плоскости (z) и M > 0 z C, ( f (z) ≤ M )

то f (z) ≡ const .

Доказательство . Возьмем в формуле (7)

∂E ={z z −ξ = R},

где R > 0 - любое действительное число:

lim Pn (z) = ∞), функция g является и ограниченной во всей комплексной

z→∞

плоскости; поэтому по теореме Лиувилля функция g является постоянной,

а именно нулем, что противоречит определению функции g . Итак, многочлен Pn (z) имеет по крайней мере один корень.

Заключение.

В лекции было показано, что интеграл от комплексной функции тесно связан с криволинейными интегралами 2-го рода и с определенными интегралами, что делает его мощным средством для вычисления различных определенных и несобственных интегралов.

На следующей лекции будут введены понятия рядов Тейлора и Лорана в комплексной плоскости, которые дадут новые методы вычисления определенных интегралов.

Введение.

Большинство задач теории аналитических функций сводится к исследованию поведения функции вблизи особых точек, в которых нарушается аналитичность функции. Знание этого поведения дает основной рабочий аппарат ТФКП.

1.Ряды Тейлора в комплексной плоскости

Пусть c0 ,c1,c2 ,...,cn ,... заданные комплексные числа и z - комплексная переменная.

Как и для действительного случая, ряд

(a C). При a = 0 ряд (9) называется просто степенным рядом.

Определение 1 . Ряд (9) называется сходящимся в точке z C , если в этой точке существует конечный предел S последовательности частичных сумм Sn ,

Sn = c0 + c1 (z − a) +... + cn (z − a)n ,

то есть S = lim Sn : при этом число S = S(z) называется суммой ряда (9).

n→∞

В противном случае ряд (9) называется расходящимся.

Это определение сходимости ряда согласуется с определением сходимости, данным в §6 книги [2].

Определение 2 . Число R ≥ 0 (может быть и R = ∞) называется радиусом сходимости, а круг U R (a) ={z z − a < R} - кругом

сходимости ряда (9), если ряд (9) сходится в каждой точке круга U R (a) и расходится вне этого круга.

Доказательство существования такого числа R и формулы для его вычисления вполне аналогичны действительному случаю. А именно, если существует один из пределов

то R = 1g , или R =1l (см. [2], §3.4).

Например, для геометрической прогрессии

R =1;

для ряда

R = ∞.

Отметим без доказательства, что в круге сходимости U R (a) степен-

ной ряд (9) можно почленно дифференцировать и интегрировать по кривой γ , лежащей в U R (a) .

Поэтому справедливы следующие две теоремы.

Теорема 5 . Если функция f представлена в круге сходимости U R (a) степенным рядом

∞

f (z) = ∑cn (z − a)n ,

n=0

Левая часть равенства (14) по интегральной формуле Коши есть f (ξ) , ин-

тегралы в правой части этого равенства по формуле (8) есть 2πi f (n) (a) . n!

Итак, имеем: ξ Ur (a)

В силу произвольности выбора r , равенство (15) будет справедливо и для любого ξ U R (a) .

Определение 3 . Степенной ряд (12) называется рядом Тейлора с центром в точке a .

Пример 3 . Разложить в ряд Тейлора с центром в точке a = 0 функцию f (z) = ez .

Решение. Так как z C (f ′(z) = ez ),

то

f (0) = f ′(0) =... = f (n) (0) =... =1.

Функция f (z) = ez - аналитична во всей комплексной плоскости (z) .

Замечание 1 . Справедливость равенства (16) является доказательством необходимости теоремы 2 §6.2 книги [2].

Замечание 2 . На основании теоремы единственности все разложения действительных функций в ряд Тейлора остаются справедливыми и в комплексной плоскости. Так, например,

и так далее.

Определение 4 . Нулем функции f называется любая точка a C , в которой f (a) = 0 .

Определение 5 . Целое число m ≥1 называется порядком нуля функции f , если возможно представление

f (z) = (z − a)mϕ(z) ,

где ϕ(a) ≠ 0 .

Из равенства (12) следует, что если для функции f аналитической в точке a , имеют место равенства

f(a) = f ′(a) =... = f (m−1) (a) = 0

иf (m) (a) ≠ 0, то точка a - нуль m -го порядка.

Дополнение 3 . Пусть функция f является аналитической во всей комплексной плоскости (z) . Такие функции в ТФКП принято называть целыми функциями.

На основании теоремы 6 ряд Тейлора целой функции сходится во всей комплексной плоскости (z) . Существует большая аналогия между

многочленами и целыми функциями (целая функция – это многочлен бес- конечно-большой степени).

Следствие из основной теоремы алгебры утверждает ([1] § 27.2), что всякий многочлен степени n ≥1 имеет n комплексных корней (нулей).

Аналогичная теорема справедлива и для целых функций. Сформулируем ее.

Малая теорема Пикара. Если f (z) - целая функция, отличная от многочлена, то функция

w = f (z) − A

где A - какое-либо комплексное число, имеет бесконечное множество нулей, за возможным исключением одного значения A = A0 для которого