Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет инженерных технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции математика / 04 Лекции 15 Функции комплексного переменного

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.04.2015

Размер:

444.44 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

k =

= 2, ϕ = arg 2i =

то записываем функция (6) следующим образом:

1)ω = 2z,

2)Ω = ei 2ω,

3) w = Ω + (4,2).

ω2

Соответствующие преобразования даны на рис. 2.

(ω)

(z)

ω1

-1 0

3 X

-2

Ω2

(Ω)

(w)

-4

0 Ω1

Рис. 2

3. Дробно - линейное отображение
Рассмотрим дробно-линейную функцию
w =	az + b	(7)
	cz + d

где a, b, c, d - заданные комплексные числа. Будем предполагать, что c ≠ 0

и ad −bc ≠ 0 . Условие c ≠ 0 означает, что функция (16) не сводится к линейной функции, а условие ad −bc ≠ 0 означает, что функция (16) не сводится к постоянной функции, так как при c ≠ 0


az + b	= a +	bc − ad
cz + d	c	c(cz + d)
Областью определения функции (7) является вся
плоскость, за исключением	точки		z = −d	. Полагая
			c

(8)

комплексная

w(∞) = a	и
c

	−	d
w		= ∞, получим, что область определения дробно-линейной функции
		c
(7)	есть расширенная плоскость					.
				C
		Дробно-линейная функция (7) является конформной функцией во
всей плоскости (z) , ибо z C
		′				ad −bc
		w	=				≠ 0
					c(cz + d)2

Покажем, что композиция двух дробно-линейных функций будет также дробно-линейной функцией. Для этого рассмотрим две функции:

ξ =	a1z + b1		и	w =	a2ξ + b2

	c z + d	1			c ξ + d	2
1				2

Подставляя выражение для ξ в формулу для w , находим:

w = az + b cz + d

где a = a1a2 + b2c1, b = a2b1 + b2d`, c = a1c2 + c2d1, d =b1c2 + d1d2 . Если a1d1 −b1c1 ≠ 0 и a2d2 −b2c2 ≠ 0 , то и ad −bc = (a1d1 −b1c1 )(a2d2 −b2c2 ) ≠ 0 .

Определение . Любая область, ограниченная либо прямой (полуплоскость), либо окружностью (круг или внешность круга) называется круговой областью.

Теорема 2 (круговое свойство дробно-линейной функции). Дробно-линейная функция отображает круговую область E (z) на кру-

говую область G (w) , причем образом границы ∂E является граница

∂G .

Доказательство . Пусть граница ∂E в плоскости R2 имеет уравнение:

A(x2 + y2 ) + 2Bx + 2Cy + D = 0

(9)

(при A ≠ 0 - окружность, при A = 0 - прямая).

Если z = x + iy , то

x =

z +

y = −i

z −

x2 + y2 = z

Поэтому в плоскости (z) уравнение (9) будет иметь вид:

Azz + B1z + B1 z + D = 0 ,

где B1 = B + iC .

Производя преобразование w =

, то есть

z =

, получим:

+ D = 0 ,

или

+ B1w +

+ A = 0

(10)

Dww

Уравнение (10) дает уравнение образа границы ∂E при преобразовании

w =

и является окружностью ( D ≠ 0 ) или прямой ( D = 0 ) в плоскости

Используя равенство (8), дробно-линейную функцию (7) запишем в

виде композиции трех функций:

1) ω = cz + d, 2) Ω =

, 3) w = a

bc − ad

Каждая из этих функций окружность и прямую переводит в окружность и прямую.

Итак, получили: образом границы круговой области при дробно-линейном отображении будет окружность или прямая.

На основании принципа сохранения области заключаем, что образом круговой области будет круговая область.

Для того чтобы найти образ границы круговой области при дробнолинейном отображении, пользуются следующей теоремой.

Теорема 3 . Пусть в плоскости (z) даны три различные точки z1, z2 , z3 , а в плоскости (w) три различные точки w1, w2 , w3 .

Тогда, дробно-линейная функция


w − w1		w3 − w2		=	z − z1		z3 − z2			(11)

w − w w			− w z − z			2	z	3	− z
2	3		1						1

переводит точки zk в точки wk ; (k =1,2,3) , причем эта функция единственная.

Пример 4 . Найти дробно-линейную функцию, отображающую верхнюю полуплоскость Im z > 0 на круг w <1.

Решение. В данном случае E = {z Im z > o}, граница, ∂E которой есть вещественная ось, а G ={ww <1} с границей w =1. Возьмем на ве-

щественной оси три точки z1 = −1,

z2 = 0,

z3 =1, а на окружности

точки w1 =1, w2 =i, w3 = −1. Тогда теорема 3 дает:

w −1

1 + i

z +1

(12)

w −i

Решая уравнение (12) относительно w , получим:

w =	z −i	(13)
	iz −1

На основании теоремы 2 заключаем, что дробно-линейная функция (13) отображает верхнюю полуплоскость Im z > 0 во внутренность или во внешность окружности w =1.

Взяв, например, z0 =i E , получим w0 = 0. Так как w0 = 0 принадлежит кругу w <1, то и вся полуплоскость Im z > 0 отображается в круг w <1.

Очевидно, что образом нижней полуплоскости Im z < 0 будет круг w >1.

Следствием теоремы 2 и 3 являются следующие свойства дробнолинейной функции, которые мы приводим без доказательства.

1. Любое конформное отображение круга z < R на круг w <1 имеет

вид:

w = Reiθ

z − a

R2 − az

где a - любая точка круга

< R , а θ - любое действительное число.

2. Любое конформное отображение полуплоскости Im z > 0 на круг

<1 имеет вид:

z −

w = eiθ

z − a

где a - любая точка полуплоскости Im z > 0 , а θ - любое действительное число.

3. Любое конформное отображение полуплоскости Im z > 0 на полуплоскость Im w > 0 имеет вид:

w = czaz ++db ,

где a, b, c, d - действительные числа и ad −bc ≠ 0 .

Заключение.

Линейные и дробно-линейные отображения являются частными случаями конформных отображений. Например, конформная функция Жуковского

w(z) = 12 (z + 1z )

нашла применение в аэрогидродинамике при расчете профиля летательного аппарата.

На следующей лекции будет дано определение интеграла от функции комплексного переменного.

Введение.

В этой лекции введем понятие интеграла от функции комплексного переменного и докажем интегральную теорему Коши – центральную теорему теории аналитических функций.

Влекции рассматриваются следующие вопросы.

1.Определение интеграла от функции комплексного переменного.

2.Интегральная теорема Коши. Независимость интеграла от пути интегрирования.

3.Интегральная формула Коши. Интегральное представление производных аналитических функций.

1.Определение интеграла от функции комплексного переменного и его свойства

Пусть γ - некоторая кривая в области E и f =u + iv - такая функция с областью определения f1 = E , что существуют криволинейные интегралы второго рода:

∫u(x, y)dx − v(x, y)dy и	∫v(x, y)dx + u(x, y)dy	(1)
γ	γ
Интегралом от функции	f по кривой γ	называется

комплексное число ∫ f (z)dz , определенное равенством

∫ f (z)dz = ∫u(x, y)dx − v(x, y)dy + i∫v(x, y)dx + u(x, y)dy			(2)
γ	γ	γ

Для выяснения вопроса о существовании интеграла (2) заметим, что если функции u и v непрерывны на кривой γ , то интегралы (1) сущест-

вуют, поэтому интеграл (2) существует, если функция f непрерывна на кривой γ .

Из равенства (2) следует ряд свойств интеграла от комплексной функции, аналогичных свойствам криволинейных интегралов второго рода.

Приведем без доказательства лишь некоторые из них:

1. ∫αf (z)dz =α∫ f (z)dz, α C ;

γ γ

2.∫(f (z) ± g(z))dz = ∫ f (z)dz ± ∫g(z)dz ;

γ γ γ

3. Если γ =γ1 γ2 , причем конец кривой γ1 является началом кривой γ2 , то

∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz ;

γ1

γ2

4.Если γ − - кривая, совпадающая с кривой γ , но проходимая в противоположном направлении, то

∫f (z)dz = − ∫ f (z)dz ;

γγ −

5.Если функция X конформно отображает кривую γ на кривую Γ,

то

∫f (z)dz = ∫ f (X (ξ))X ′(ξ)dξ ;

γΓ

5а. В частности, если z = X (t), a ≤t ≤b параметрическое уравнение кривой γ , то

∫f (z)dz = ∫ f (X (t))X ′(t)dt ;

γa

6. ∫ f (z)dz ≤ ∫ f (z) ds ,

γγ

где ds - дифференциал длины дуги кривой γ и интеграл справа является криволинейным интегралом первого рода;

6а. ∫ f (z)dz ≤ M l(γ ) ,

где M = max f (z) и l(γ ) - длина кривой γ .

Пример 1 .	Вычислить интеграл ∫zdz , где γ				- отрезок с началом
			γ
в точке a = 0 и с концом в точке b =1 + i .
Решение.	Параметрическое		уравнение		отрезка γ будет
z = (1 + i)t, 0 ≤t ≤1; на основании свойства 5а имеем:
∫zdz = ∫1		(1 +i)t(1+i)dt = (1 +i)2 ∫1 tdt =		(1+i)2	= i .
∫zdz = ∫1		(1 +i)t(1+i)dt = (1 +i)2 ∫1 tdt =		2	= i .
γ	0		0	2

2. Интегральная теорема Коши.

Независимость интеграла от пути интегрирования.

Теорема 1 ( теорема Коши) . Пусть f : E →C - функция,

аналитическая в ограниченной односвязной области E . Тогда для любой замкнутой кривой γ , лежащей в области E , интеграл от функции f по

кривой γ равен нулю, то есть

							∫ f (z)dz = 0 .
							γ
		Доказательство . Так как частные производные
∂u	,	∂v	,	∂u	,	∂v	непрерывны в области D , ограниченной кривой γ , то
∂x		∂x		∂y		∂y

формула Грина дает:

∫	u(x, y)dx − v(x, y)dy =		− ∂v(x, y)	− ∂u(x, y)			(3)
						dxdy
		∫∫	∂x	∂y
γ		D
∫	v(x, y)dx + u(x, y)dy =		∂u(x, y) −	∂v(x, y)			(4)
					dxdy
		∫∫	∂x	∂y
γ		D

На основании условий Коши-Римана подынтегральные функции в двойных интегралах равенств (3) и (4) равны нулю; следовательно, по определению интеграла от комплексной функции имеем:

∫ f (z)dz = ∫u(x, y)dx − v(x, y)dy + i∫v(x, y)dx + u(x, y)dy = 0 .

γ γ γ

Пример 2 . Для любой замкнутой кривой γ (z) и любого ξ C теорема Коши дает:

∫(z −ξ)n dz = 0,	n = 0,1,2,...,	(5)
γ
так при целых n ≥ 0 функция w = (z −ξ)n	аналитична в плоскости (z) .

Теорема 2 ( теорема Коши для многосвязной области ) . Если функция f аналитична в замкнутой многосвязной об-

ласти E , граница которой состоит из конечного числа замкнутых кривых

γ1, γ2 ,..., γn , то

∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz +... + ∫ f (z)dz = 0

(6)

γ1

γ2

γn

Доказательство . При n =1 равенство (6) доказано в теореме 1. Для простоты рассуждение проведем для случая n = 2 (рис. 8а). Соединим

кривую γ1	с кривой γ2 разрезом (AB)		(кривой, проходимой дважды,
но в различных направлениях). Тогда получим односвязную область
				E
(рис. 8б), для которой по теореме 1
	∫ f (z)dz = 0		(7)
	∂	E
Так как ∫ f (z)dz = − ∫ f (z)dz , то
AB	BA

∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz + ∫

∂E γ1 AB γ2

Е γ1

γ2

а)

Рис. 8

f (z)dz + ∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz = 0

γ1

γ2

Е γ1

γ2

б)

Теорема 3 . Пусть E - ограниченная односвязная		область и
f : E →C - аналитическая в E функция. Интеграл от функции		f по кри-
вой γ E зависит только от начала и конца кривой γ и не зависит от кри-
вой γ .
Доказательство . Пусть γ1 и γ2 - две кривые, имеющие общее
начало и общий конец (рис. 9).
E
γ2
	b
a	Рис. 9
γ1	Рис. 9
γ1

Тогда кривая Γ =γ1 γ2 является замкнутой и, следовательно, по теореме Коши и свойству 3 получаем:

∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz − ∫ f (z)dz = 0 ,

γ1

γ2−

γ1

γ2

то есть

∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz

γ1 γ2

Теорема 3 позволяет записать следующее равенство

	b
∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz ,		(8)
γ	a

где a - начало, а b - конец кривой γ , и рассматривать интеграл в правой

части равенства (8) как определенный интеграл, к вычислению которого применены все правила, основанные на формуле Ньютона-Лейбница.

Итак, если a - начало, а b - конец кривой γ , то
∫ f (z)dz = F(z)	ba ,	(9)


γ

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции математика

#
02.04.2015627.84 Кб8604 Лекции 10 Дифференциальные уравнения.pdf
#
02.04.2015403.75 Кб9804 Лекции 11 Ряды.pdf
#
02.04.2015253.26 Кб32804 Лекции 12 Ряды Фурье.pdf
#
02.04.2015590.07 Кб7604 Лекции 13 Теория вероятностей.pdf
#
02.04.2015198.37 Кб9004 Лекции 14 Операционное исчисление.pdf
#
02.04.2015444.44 Кб6404 Лекции 15 Функции комплексного переменного.pdf
#
02.04.2015296.7 Кб7504 Лекции 16 Теория поля Эктов.pdf