Лекции математика / 04 Лекции 15 Функции комплексного переменного

Тема «Теория функций комплексного переменного».

Введение.

Эта тема находит самые широкие применения в науке и технике. В данной лекции определяются общематематические понятия – кривая, область, функция, в основном известные из курса теории функции действительного переменного и рассматриваются следующие 3 вопроса.

1.Множества точек на комплексной плоскости.

2.Определение функции комплексного переменного. Основные Элементарные функции комплексного переменного.

3.Однолистные функции. Многозначные функции.

1.Множества точек на комплексной плоскости

Пусть ϕ и ψ - непрерывные на отрезке [a,b] действительные функции. Множество γ ,

γ ={(x, y) x =ϕ(t), y =ψ(t), a ≤t ≤b}

точек комплексной плоскости называется непрерывной кривой с началом в точке α = (ϕ(a),ψ(a)) и с концом в точке β = (ϕ(b),ψ(b)) .

Направление движения точки z = (x, y) вдоль кривой γ от начала кривой к

ее концу называется положительным направлением обхода кривой γ ; противоположное направление будет считаться отрица-

тельным.

Если функции ϕ и ψ непрерывно дифференцируемы на отрезке [a,b], то кривая γ называется гладкой. Непрерывная кривая, составленная из конечного числа гладких кривых, называется кусочно - гладкой.

Уравнение z = X (t) =ϕ(t) + iψ(t), a ≤t ≤b , называется параметрическим уравнением кривой γ .

В дальнейшем под терминами «кривая», «путь», «контур» мы будем понимать такую кусочно-гладкую кривую γ , для которой X (t1 ) ≠ X (t2 )

при t1 ≠ t2 , где t ]a,b[, t2 ]a,b[.

Если начало и конец кривой γ совпадают, то есть X (a) = X (b) , то кривая γ называется замкнутой.

Примеры кривых:

1)z = cost, π ≤t ≤ 2π - отрезок [-1,1];

2)z =t + it, 0 ≤t ≤1 - отрезок с началом в точке α = 0 и с концом в точке β =1 + i ;

3) z = Reiθ +α, 0 ≤θ ≤ 2π - окружность с центром в точке α C и радиуса R > 0;

Пусть E C . Точка z0 E называется внутренней точкой мно-

жества E , если множество E содержит и некоторую δ - окрестность точки z0 , то есть δ > 0 (ρδ (z0 E) .

Множество E C называется открытым, если все его точки – внутренние для E .

Например, круг U R (a) ={z z − a < R}- открытое множество.

Открытое множество E называется областью, если оно связано, то есть любые две точки z1 E и z2 E можно соединить кривой

γ E .

Ясно, что круг U R (a) - область.

так и не принадлежащие E . Множество всех граничных точек множества E называется границей множества E и обозначается ∂E .

Например, окружность z = R является границей круга U R (0) .

Область E вместе с границей ∂E называется замкнутой областью и обозначается E .

Например, круг U R (a) ={z z − a ≤ R}- замкнутая область.

В настоящем курсе ТФКП будем рассматривать только такие области, граница которых состоит из конечного числа замкнутых кривых, причем некоторые кривые могут вырождаться в отдельные точки.

Положительным направлением обхода границы области называется такое направление, при котором область все время остается слева.

На рис. 3 приведены примеры областей с указанным положительным направлением обхода границы.

(z)

Y

Множество E1 доставляет пример односвязной области , множества E2 и E3 – примеры многосвязных областей: E2 – двусвязная область, E3 – четырехсвязная область (по количеству замкнутых кривых, составляющих границу области).

Область E называется ограниченной, если она является подмножеством некоторого круга конечного радиуса R : E U R (a) ; в против-

ном случае – область неограниченная.

Например, множества E1, E2 , E3 - ограниченные множества, а множество J ={z Imz ≥ 0}- верхняя полуплоскость – неограниченное.

Множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию z >δ , где δ > 0 - любое заданное число, называется δ - окрест-

ностью ρδ (∞) бесконечно удаленной точки. Бесконечно

удаленную точку комплексной плоскости обозначают символом ∞, а множество С вместе с точкой ∞ называется расширенной плос-

костью С. В расширенной плоскости С тоски z C и бесконечно удаленная точка ∞ связаны следующими равенствами:

Отметим, что в плоскости С бесконечно-удаленная точка – единственна.

2. Определение функции комплексного переменного . Основные элементарные функции .

Понятие функции комплексного переменного вводится по аналогии с понятием функции вещественной переменной.

Пусть E C и K C - непустые множества. Всякое правило f , со-

поставляющее элементам множества E элементы множества K , называется функцией комплексного переменного ( комплексной функцией) , если для каждого z E существует единственный элемент w K .

Переменная z = x + iy называется независимой перемен-

ной или аргументом, а переменная w зависимой переменной или значением функции f в точке z и обозначается f (z) , то

есть w = f (z) .

функции f ; ясно, что f2 K . Как правило, под множествами E и K будут пониматься области.

Функцию f часто будем записывать в виде отображения f : E → K или, если ясно, какое множество является областью определения функции f , в виде w = f (z) .

Приведем примеры наиболее часто встречающихся комплексных функций (основные элементарные функции):

1)w =1;

2)w = arg z;

3)w = z ;

4)w = z;

5)w = az + b - линейная функция;

6)w = czaz ++db - дробно-линейная функция;

7)w = zn , (n N ) - степенная функция с натуральным показателем;

8)w = ez , (ez = ex (cos y +i sin y)) - показательная функция;

9)w = ln z, (ln z = ln z + i arg z) - логарифмическая функция;

10)тригонометрические функции:

должно быть z ≠ 0 ; для функций 10 в-г), 11 в-г) областями определения будут соответственно множества (показать!):

Поскольку z и f (z) - комплексные числа, то, выделяя действительную и мнимую части чисел z и f (z) , получим:

w = f (z) = f (x + iy) =u(x, y) + iv(x, y) ,

то есть f =u + iv .

Если функция f : E → D отображает множество E на множество D

таким образом, что для каждого образа w D существует единственный прообраз z E , то функция

f −1 : D → E

называется обратной данной функции f .

По определению обратной функции имеем:

x E ( f −1 ( f (z)) = z)

Например, функция f (z) = ez в области E ={z 0 < Im z ≤ 2π} имеет обратную функцию f −1 (z) = ln z .

Функция f : E → D , имеющая обратную функцию, называется однолистной.

Ясно, что однолистная функция f : E → D в различных точках множества E принимает различные значения.

ной функцией.

Например, функция w = z - двузначная, функция w = n z - n-значная, функции w = Arg z, w = Ln z = ln z + Arg z - бесконечнозначные.

К бесконечнозначным будут относиться и так называемые об - ратно тригонометрические функции

Arcsin z = −iLn(iz + 1 − z2 ),

Arccos z = −iLn(z + 1 − z2 ),

Arctg z = −2i Ln11 +−iziz ,

которые формально можно получить, решая уравнения относительно w :

Аналогичные формулы можно получить и для обратно гипер - болических функций w = Arcsh z, w = Arcch z, w = Arcth z .

Для выделения областей однозначности многозначных функций требуются специальные исследования, которые выходят за рамки нашего курса. В нашем курсе ТФКП рассматриваются только однозначные функции.

Заключение.

В лекции было рассмотрено основное понятиефункция комплексного переменного. Нужно обратить внимание на следующие факты: 1) функция комплексного переменного есть специальный случай векторной функции двух переменных; 2) графиком комплексной функции является поверхность в четырехмерном пространстве, который невозможно изобразить геометрически.

На следующей лекции будут введены понятия предела, непрерывности и производной комплексной функции и изучены их свойства.

Введение.

Понятие аналитической функции является центральным понятием теории функций комплексного переменного и тесно связано с понятием производной.

В этой лекции рассматриваются следующие вопросы.

1.Предел и непрерывность функции комплексного переменного.

2.Производная функции комплексного переменного.

3.Условия Коши-Римана. Гидродинамический смысл производной аналитической функции.

1.Предел и непрерывность функции комплексного переменного

ВТФКП целесообразно ввести сначала определение предела функции, а затем определить непрерывность функции.

Определение 1 . Пусть функция f определена в некоторой - окрестности точки α C , за исключением, быть может, самой точки α . Число A C называется пределом функции f при z стремящемся к α ,

ρε (A) .

Это определение включает в себя четыре случая:

Замечание. Определение 1 требует, чтобы существовал один и тот же предел A независимо от пути, по которому z стремится к α и которых бесконечно много. Так, например, функция

f (z) = zz

Определение 2 . Функция f называется непрерывной в точке α , если она определена в этой точке и

lim f (z) = f (α)

z→α

Как обычно, функция f : E →C называется непрерывной на множестве E , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Из формул (2) следует: 1) функция f =u + iv непрерывна на множе-

стве E тогда и только тогда, когда функции u и v непрерывны на E как функции двух переменных; 2) все правила действий с пределами функций и с непрерывными функциями из теории действительных функций остаются справедливыми и для функции комплексного переменного.

2. Производная функции комплексного переменного

Пусть дана функция f : E →C и пусть точки z и z + z принадлежат множеству E .

то он называется производной функции f в точке z , а функция f называется дифференцируемой в точке z .

Отметим, что из дифференцируемости функции f в точке z , так как, если f ′(z) C , то