Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет инженерных технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции математика / 04 Лекции 08 Кратные и криволинейные интегралы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.04.2015

Размер:

427.07 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

	n	) lk
m = lim ∑ ρ(Nk		) lk	(2)
d →0	k =1
	k =1
Рассмотрим в пространстве гладкую кривую			АВ, в каждой точке которой

задана функция f (x, y, z). Рассмотрим разбиение {M k } кривой АВ с помощью n точек и выберем в каждой дуге разбиения отмеченную точку Nk (xk , yk , zk ). Опре-

делим значения функции в отмеченных точках и составим сумму парных произведений

ωn = ∑n

f (

k ,

k ) lk

(3)

k =1

Определение 3.

Предел интегральных сумм

(3) при

d → 0

(если он суще-

ствует)

называется криволинейным

интегралом

первого

рода

от функции

f (x, y, z)

по кривой АВ

∫ f (x, y, z)dl = limd →0 ∑n

f (

k ,

k ) lk

(4)

k =1

Из определения криволинейного интеграла следует, что он не зависит от

направления кривой АВ.

Из соотношения

(2) следует физический смысл криволинейного интеграла

первого рода

m = ∫ρ(x, y, z)dl

(5)

Свойства криволинейного интеграла первого рода:

1.Аддитивность: Если дуга АВ составлена из двух дуг АС и СВ и для f (x, y, z) существует криволинейный интеграл по дуге АВ, то для f (x, y, z) суще-

ствуют криволинейные интегралы по дугам АС и СВ

∫	f (x, y, z)dl = ∫ f (x, y, z)dl + ∫ f (x, y, z)dl , где C [AB]		(6)
AB	AC	CB
2.Линейность: Если для функций		f1 (x, y, z), f2 (x, y, z) существуют криволи-
нейные интегралы по дуге АВ, то для функции с1 f1 (x, y, z)+ с2 f2 (x, y, z) так-
же существует криволинейный интеграл по дуге АВ, причем
∫[c1 f1 (x, y, z)+ c2 f2 (x, y, z)]dl = c1 ∫ f1 (x, y, z)dl + c2 ∫ f2 (x, y, z)dl			(7)

3.Оценка абсолютной величины интеграла: Если существует криволи-

нейный интеграл по дуге АВ от функции f (x, y, z), то существует и криволиней-

ный интеграл по дуге АВ от функции

f (x, y, z)

, причем

∫ f (x, y, z)dl

≤ ∫

f (x, y, z)

(8)

4.Теорема о среднем значении: Если функция f (x, y, z) непрерывна вдоль

дуги АВ, то на этой дуге найдется такая точка Q, что

∫

f (x, y, z)dl = f (Q) L , где

Q AB ,

(9)

а L – длина дуги АВ

∫ f (x, y)dl

Вычисление криволинейного интеграла

сводится к вычислению

определенного интеграла, с заменой

по соответствующим формулам. Для

функции, заданной параметрически

dl =

(xt′)2

+ (yt′)2 dt

∫ f (x, y)dl = b∫ f (x(t), y(t))

(xt′)2

+ (yt′)2 dt

(10)

Для явно заданной функции dl =

1 + (y′x )2 dx

∫ f (x, y)dl = b∫ f (x, y(x))

1 + (y′x )2 dx

(11)

В случае пространственной кривой АВ, параметрические уравнения которой имеют вид x(t), y(t), z(t) , причем существуют непрерывные производные

x′(t), y′(t), z′(t) , справедлива формула

∫ f (x, y, z)dl = b∫ f (x(t), y(t), z(t)) (xt′)2 + (yt′)2 + (zt′)2 dt

AB a

Пример 1. Вычислить I = ∫x2dl по дуге плоской кривой y = ln x при

1 ≤ x ≤ 2 .

Решение: По формуле (11), получим

		2		1		1	2		1	2 1			3	2	1		3		3
	2	2	2				2	2 2				2	3	2			3		3


I = ∫x dl = ∫x 1 +							∫(1 + x	) d (1 + x		)=			2				2		2
					2 dx =								2	=		5	2	− 2	2
				x	2 dx =	2					3	(1 + x )		=	3	5		− 2
AB		1					1							1
AB		1					1							1

2. Криволинейные интегралы второго рода, их основные свойства

и вычисление.

Предположим, что при движении вдоль кривой АВ материальная точка М переходит из положения А в положение В. Во время движения на точку действует сила


		(x, y.z)= P(x, y, z)i + Q(x, y, z)				+ R(x, y, z)		(12)
	F	(x, y.z)= P(x, y, z)i + Q(x, y, z)			j	+ R(x, y, z)	k	(12)
Найдем работу W силы				(x, y.z) на перемещении				AB .
Найдем работу W силы			F	(x, y.z) на перемещении				AB .

Как и для случая криволинейного интеграла первого рода произведем разбиение дуги АВ, выберем отмеченные точки и найдем в них значение силы. Предполагая, что значение силы сохраняется постоянным в точках элементарной дуги и под ее действием точка перемещается не по дуге, а по хорде этой дуги. Вводя rk = ( xk , yk , zk ) и используя формулу для скалярного произведения, по-

лучим, суммируя частичные работы и переходя к пределу при стремлении диаметра разбиения к нулю формулу:

W = lim ∑n [P(

k ,

k ) xk + Q(

k ,

k ) yk + R(

k ,

k ) zk ]

(13)

d →0

k =1

Перейдем к понятию криволинейного интеграла второго рода. Пусть в пространстве задана направленная кривая АВ и функция P(x, y, z). Разобьем кривую на дуги произвольной длины, на каждой дуге выберем произвольную точку

(

k ,

k )

и найдем в ней значение

k ,

k ). Для каждой дуги вычислим про-

изведение

P (

k ,

k ) x k , где

xk - проекция дуги на ось OX. Суммируя

полученные произведения и переходя к пределу при d → 0 , получим:

∫P(x, y,

Аналогично вводятся

z)dx = lim ∑n		P(		k ,		k ,		k ) xk	(14)
z)dx = lim ∑n		P(	x	k ,	y	k ,	z	k ) xk	(14)
d →0	k =1
	k =1
∫ f (x, y, z)dy и ∫ f (x, y, z)dz .
AB							AB

Определение 4. Сумма трех интегралов ∫ f (x, y, z)dx ,	∫ f (x, y, z)dy	и
AB	AB

∫ f (x, y, z)dz называется общим криволинейным интегралом второго рода и обо-

значается

∫ f (x, y, z)dx + ∫ f (x, y, z)dy + ∫ f (x, y, z)dz			(15)
AB	AB	AB

Из формулы (15) следует физический смысл криволинейного интеграла второго рода – работа cилы F(x, y.z) на пути АВ.

Из определения криволинейного интеграла второго рода следует, что

∫P(x, y, z)dx = −∫P(x, y, z)dx		(16)
AB	BA

Все остальные свойства совпадают со свойствами криволинейного интеграла первого рода.

Для обозначения криволинейного интеграла по замкнутой линии употребляется символ

∫Pdx + Qdy + Rdz

(17)

При вычислении криволинейного интеграла второго рода, для функции заданной параметрически будет верна формула

	b
∫P(x, y, z)dx = ∫		′				(18)
∫P(x, y, z)dx = ∫		P(x(t), y(t), z(t))x (t)dt				(18)
AB	a
В случае явного задания кривой
		b
	∫P(x, y)dx = ∫P(x, y(x))dx					(19)
	AB	a
Пример 2.	Вычислить	I = ∫xy 2 dx + x 2 ydy			вдоль дуги параболы	y = x 2 от
точки А(1,1) до точки В(2,4).		AB
точки А(1,1) до точки В(2,4).
Решение:
Принимая x за параметр, по формуле (19) получим
I = ∫xy 2 dx + x 2 ydy = ∫2 (x x 4		+ x 2 x 2 2x)dx =	x6	2	= 31.
			x6

AB	1	2		1
AB	1	2		1

Пусть АВ – направленная пространственная кривая с началом в точке А и в концом в точке В. Обозначим углы, которые образует касательная к АВ с осями координат, через α, β,γ . Выделим элементарную дугу dl с проекциями

(dx, dy, dz), и будем считать ее прямолинейной. Очевидно, что		dx = cosαdl ,
dy = cos βdl , dz = cosγdl ,	тогда
∫Pdx + Qdy + Rdz = ∫(P cosα + Q cos β + R cosγ )dl		(20)
AB	AB

Формула (20) и дает связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.

3. Приложения криволинейных интегралов

Если функции непрерывно дифференцируемы на некоторой фигуре Ф, ограниченной гладкой линией Λ , то имеет место формула

∫			∂Q		∂P	(21)
∫	Pdx + Qdy =	∫∫		−
	Pdx + Qdy =			−	dS
AB		Ф	∂x		∂y

Формула (21) называется формулой Грина.

Используя формулу Грина

(21), выведем формулы для вычисления площа-

ди фигуры

с помощью криволинейного интеграла.

Если P(x, y)= −y , а

Q(x, y)= 0 , то

∂P

= −1,

∂Q

= 0 . В этом случае формула (21)

примет вид

∂y

∂x

∂Q

∂P

∫∫

1)dS =

∫

− ydx + 0dy , откуда

∫∫

−

dS =

∂x

∂y

S = −∫ ydx

(22)

Аналогично, полагая

P(x, y)= 0 , а Q(x, y)= x , получим

S = ∫xdy

(23)

При

P(x, y)= −

Q(x, y)=

x находим

S =

∫xdy − ydx

(24)

Площадь может быть вычислена по одной из формул (22)-(24).

Пример 3. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной эллипсом

x 2	+	y 2	=1.
a 2	+	b2	=1.
a 2		b2
		Решение:		Параметрические	уравнения эллипса имеют вид	x = a cos t ,
y = bsin t , где t [0,2π]. По формуле (23) получаем
				2π	2π
			S = ∫xdy = ∫a cos t b sin tdt = ab ∫cos2 t =πab .
			Λ	0	0

В качестве приложений можно рекомендовать и формулы (5) и (15) для вычисления массы и работы силы вдоль кривой АВ.

		Задание на самоподготовку:
1.	Вычислить ∫(x 2	+ y 2 + z 2 )dl	по одному витку винтовой линии x = cos t ,
	AB
y = sin t ,	z = t , 0 ≤ t ≤ 2π .
2.	Вычислить	∫Pdx + Qdy , где АВ – отрезок кубической параболы
		AB
	y = x3 от точки А(1,1)		до точки В(2,8); P = x 2 + y 2 , Q = 2xy .

Контрольные вопросы по теме занятия:

7.Дайте определение криволинейного интеграла.

8.Каков геометрический и физический смысл криволинейного интеграла.

9.Каковы приложения криволинейных интегралов.

Заключение.

При введении криволинейных интегралов первого и второго рода следует обратить внимание на вид интегральных сумм, используемых при определении каждого из этих интегралов и на понятии предела соответствующих интегральных сумм. При вычислении криволинейных интегралов с помощью формулы Грина необходимо учитывать направление обхода контура.

Отметим, что приложения криволинейных интегралов связаны и с задачами геометрии, и с задачами техники, физики и т.д.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в папке Лекции математика

#
02.04.2015263.97 Кб5904 Лекции 04 Математический анализ.pdf
#
02.04.2015381.01 Кб5504 Лекции 04 Математический анализ Ряжских.pdf
#
02.04.2015513.74 Кб5804 Лекции 05 Дифференциальное исчисление Ряжских.pdf
#
02.04.2015248.1 Кб6004 Лекции 06 Функции многих переменных. Градиент.pdf
#
02.04.2015518.3 Кб6104 Лекции 07 Интегральное исчисление.pdf
#
02.04.2015427.07 Кб7604 Лекции 08 Кратные и криволинейные интегралы.pdf
#
02.04.2015214.06 Кб6804 Лекции 09 Поверхностные интегралы.pdf
#
02.04.2015627.84 Кб8604 Лекции 10 Дифференциальные уравнения.pdf
#
02.04.2015403.75 Кб9804 Лекции 11 Ряды.pdf
#
02.04.2015253.26 Кб32804 Лекции 12 Ряды Фурье.pdf
#
02.04.2015590.07 Кб7604 Лекции 13 Теория вероятностей.pdf