1

Введение.

Многие геометрические, физические и другие задачи приводят к понятию интеграла от функции двух, трех и большего числа переменных. Основная методика построения таких интегралов остается той же, что и для функции одной переменной. В теме «Кратные интегралы» рассматриваются двойные, тройные интегралы, изучаются их свойства, способы вычисления.

Наподобие того, как задача о площади криволинейной трапеции привела нас к понятию простого определенного интеграла, аналогичная задача об объеме цилиндрического тела приведет нас к новому понятию – понятию двойного интеграла. Следует отметить, что основные идеи, использованные при построении определенного интеграла от функции одной переменной, остаются неизменными и для двойного интеграла (случай функции двух переменных), и для тройного интеграла (случай функции трех переменных), и в самом общем случае интегрирования функций многих переменных. Кроме того, свойства простого определенного интеграла остаются справедливыми (с небольшими модификациями) и для кратных интегралов, а вычисление кратного интеграла будет обеспечено сведением его к повторным, т.е. нескольким обычным интегралам.

1. Двойные интегралы, их основные свойства и выражение в декарто-

вых координатах

Рассмотрим на плоскости некоторую фигуру Ф, ограниченную замкнутой гладкой кривой L.

Определение 1 Диаметром фигуры называется точная верхняя грань расстояний между двумя любыми точками этой фигуры. Геометрически диаметр представляет собой наибольшую из ее хорд.

Определение 2 Разбиением {Фk } квадрируемой фигуры Ф называется такая совокупность квадрируемых фигур Фк , объединение которых составляет фигуру Ф, причем никакие две фигуры Фк не имеют общих внутренних точек.

Фигура, имеющая конечную площадь, называется квадрируемой. Определение 3 Наибольший из диаметров фигур, составляющих разбие-

ние, называют диаметром разбиения {Фk } и обозначают через d.

Пусть на плоской фигуре задана функция f:Ф→R.

Для определения двойного интеграла от функции f по фигуре Ф произве-

(xk , yk ) Фk . Эти точки назовем отмеченными точками.

Если диаметр разбиения фигуры Ф стремится к нулю, то число n фигур Фк неограниченно увеличивается, т.е. n → ∞.

3.вычислим значения функции f в отмеченных точках (xk , yk ) Фk и составим сумму парных произведений

4

т.е. если пределы интегрирования в повторном интеграле постоянны, то результат интегрирования не зависит от порядка интегрирования.

Если же фигура не является выпуклой, то ее разбивают на конечное число фигур выпуклых вдоль осей координат Ox и Oy , а потом к этим фигурам приме-

няют соответствующие формулы.

y

Перейдем теперь к полярным координатам

5

где d - диаметр разбиения {Фij }.

Выражение dS = rdrdϕ называется двумерным элементом площади в по-

лярных координатах.

Выражение (7) можно представить в виде повторного интеграла

y

верхностью, направляющей которой служит гладкая граница Λ фигуры Ф, а образующими прямые, параллельные оси OZ.

Для приближенного вычисления объема V цилиндроида Т произведем следующие операции. Разобьем фигуру Ф с помощью произвольной сетки гладких линий на части Фк . Границу каждой такой части примем за направляющую цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси OZ. Эти поверхности разобьют цилиндроид Т на столбики, которые примем за за обычные цилиндры. Тогда объем отдельного столбика приближенно выразится произведением f (xk , yk ) Sk , а объем цилиндроида суммой таких произведений:

если он существует.

Итак, формула (11) дает геометрический смысл двойного интеграла и

вычисляет объем цилиндроида Т.

z

T

x

Переходим к физическому смыслу двойного интеграла. Пусть материальная квадрируемая фигура имеет плотность ρ(x, y) , являющейся непрерывной функци-

4. Найдите координаты центра тяжести материального сегмента параболы y = 5x2 , отсеченного прямой x = 5.

Контрольные вопросы по теме занятия:

1.Дайте определение двойного интеграла.

2.Каков геометрический и физический смысл двойного интеграла.

3.Как сделать замену переменных в двойном интеграле.

10

Заключение.

Таким образом, двойной интеграл, понятие и свойства которого рассмотрены в сегодняшней лекции, является прямым обобщением понятия простого определенного интеграла на случай функции двух переменных. Отметим, что трактуя двойной интеграл геометрически, как объем цилиндрического тела, мы получили алгоритм его вычисления путем сведения к повторному интегралу. Основное внимание необходимо обратить на методологию введения понятия кратных интегралов. Для двойного интеграла эта методология основана на построении двумерной интегральной суммы с помощью разбиений квадрируемой плоской фигуры и переходе к пределу в этой интегральной сумме, называемой суммой Римана. Заметим также, что к пределу интегральных сумм мы приходим и при вычислении многих других величин геометрии, механики, физики и т.д. Следовательно, двойной интеграл, о котором мы сегодня говорили, имеет исключительно важное прикладное зна-

чение.

Введение.

Сегодня мы продолжим рассмотрение вопросов, связанных с интегрированием функций нескольких переменных. Мы установим понятие тройного интеграла, одним из важных приложений которого является вычисление массы неоднородного тела. Решение этой задачи и здесь приведет нас к исследованию предела своеобразных сумм, которые мы назвали интегральными. Подобные пределы приходится часто рассматривать в механике, физике. Они получили название тройных интегралов.

Целый ряд предложений, установленных для двойных интегралов, переносится на случай тройных интегралов. При построении общего определения нового интегрального образования – тройного интеграла, основную роль играет понятие объема тела, наподобие того, как понятие площади плоской фигуры лежало в основе определения двойного интеграла, а понятие длины отрезка при введении понятия простого определенного интеграла. Особое внимание следует обратить на технику вычисления тройных интегралов, на замену переменных в тройных интегралах.

2. Тройные интегралы, их основные свойства и выражение в декарто-

вых координатах

Рассмотрим в пространстве некоторое тело Т, ограниченное замкнутой гладкой кривой S.

Определение 1 Диаметром тела называется точная верхняя грань расстояний между двумя любыми точками этого тела. Геометрически диаметр представляет собой наибольшую из ее хорд.

Определение 2 Разбиением {Тk } тела Т называется такая совокупность тел {Тk }, объединение которых составляет фигуру Т, причем никакие две фигуры Тк не имеют общих внутренних точек.