Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции математика / 04 Лекции 07 Интегральное исчисление.pdf
Скачиваний:
61
Добавлен:
02.04.2015
Размер:
518.3 Кб
Скачать

13. e3x (2 9x )dx

14. arctg 2x 1dx

15.

arctg 3x 1dx

Контрольные вопросы по теме занятия:

16.Напомните определение первообразной.

17.Дайте определение определенного интеграла.

18.Вспомните формулу Ньютона-Лейбница.

Заключение

На лекции рассмотрены основные методы интегрирования. В первом вопросе рассмотрена производная интеграла по верхнему пределу. Во

втором вопросе рассмотрена основная формула интегрального исчисления

– формула Ньютона-Лейбница. Два общих метода вычисления определенного интеграла – метод замены переменной и метод интегрирования по частям изложены в третьем вопросе. К практическому занятию необходимо изучить вопросы, изложенные на лекции.

Введение.

Лекция продолжает изучение темы «Определенный интеграл», включающей в себя четыре лекции, три практических занятия, одно лабораторное занятие. Тема «Определенный интеграл» и данная лекция, в частности, связаны с предыдущей темой «Неопределенный интеграл». Основоположниками интегрального исчисления, по праву следует считать Г. Лейбница, И. Ньютона. В 19 веке Г. Риман (1826-1866) создал теорию интеграла, обобщающую результаты, полученные О. Коши. Приложениями определенного интеграла занимались И. Кеплер (1571-1630) в своих исследованиях по астрономии, Б. Кавальери (1598-1647) и Э. Торричелли (1608-1647). Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур были получены К. Жорданов (1838-1922). В дальнейшем обобщения понятия интеграла были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875-1941) и А. Данжуа (1884-1974), советским математиком А. Хинчиным(1894-1959). Лекция тесно связана с тематикой последующих и предыдущих тем.

1.Вычисление площадей плоских фигур.

Как известно, площадь криволинейной трапеции, ограниченной

непрерывной линией y = f (x) и прямыми x = a, x = b, y = 0;

находится по формуле

S = b

f (x)dx ,

(1)

a

 

 

где f (x)0и x [a,b].

Если f (x)0, x [a,b], то определенный интеграл (1) неположителен. Его

абсолютная величина равна площади криволинейной трапеции, расположенной

ниже оси Ox, т.е. S = −b f (x)dx .

a

Если же функция f(x) меняет на отрезке [a,b] знак конечное число раз, то

для вычисления площади фигуры можно разбить отрезок интегрирования на части, где f(x) не меняет знака, а затем найти по формуле (1) площади фигур, полученных таким образом и взять их алгебраическую сумму.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной косинусоидой y = cos x и

прямыми x = 0, x =π, y = 0.

 

Решение. Разобьем отрезок [0,π]

на такие части,

 

где функция y = cos x

сохраняет постоянный знак. Поскольку

y 0

при x 0,

π

 

и y 0 при x π

,π

,

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

π

 

+sin x

 

π

 

(1)= 2.

 

 

 

 

0

 

 

 

 

S = cos xdx cos xdx = sin x

 

π =1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

π

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

S

y=f(x)

 

 

 

 

 

 

 

y =ϕ(x)

 

 

 

y

 

 

y=f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =ϕ(x)

a

 

b

x

 

a

c

 

b x

 

Рис 1.

 

 

 

 

 

Рис.2

 

Найдем площадь фигуры,

заключенной

между

двумя

кривыми

y = f (x)и y = ϕ(x), x [a,b]

 

(рис.1).

Пусть

для

определенности

f (x)>ϕ(x),

x [a,b]. Тогда площадь S равна разности площадей криволинейных

трапеций,

ограниченных

сверху

соответственно графиками

функций

y = f (x)и y =ϕ(x), x [a,b], т.е.

 

 

S = b

f (x)dx b ϕ(x)dx = b [f (x)ϕ(x)]dx .

(2)

a

a

a

 

Если графики функций пересекаются на отрезке конечное число раз (рис.2), то отрезок интегрирования нужно разбить на такие части, где разность f (x)ϕ(x), x [a,b] сохраняет постоянный знак, и найти площади полученных

частей по формуле (2).

Вычисление площади криволинейной трапеции для кривой, заданной параметрически.

Пусть кривая задана параметрическими уравнениями

x =ϕ(t), y =ψ(t), α t β,

(3)

где функция y =ψ(t) непрерывна, а x = ϕ(t) непрерывно

дифференцируема.

Пусть, далее, уравнения (3) определяют интегрируемую функцию y=f(x) на отрезке [a,b], так, что различным t [α, β] соответствуют различные точки кривой y=f(x), которая сама себя не пересекает, причем ϕ(α)= a, ϕ(β)= b. площадь криволинейной трапеции определяется по формуле (1). Выполним в

r r(ϕ)

формуле (1) подстановку x =ϕ(t); имеем y = f (x)=

f (ϕ(t))=ψ(t),

Если

dx =ϕ (t)dt.

x = a, то t =α ; если x = b, то t = β . Тогда формула (1) примет вид

 

 

 

 

β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S = ψ(t)ϕ(t)dt

 

 

 

 

 

 

(4)

 

 

ε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом.

 

Решение.

Параметрические

уравнения

эллипса

 

имеют

вид

x = a cost, y = a sin t .

В силу симметрии эллипса достаточно найти площадь S1

одной его четверти, а затем умножить результат на 4. Если x изменяется в

 

пределах [0, a], то параметр t изменяется t 0,

π

. По формуле (4) получим

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

 

 

 

 

 

 

sin 2t

π

 

 

S = 4S1 = 4(bsin t)(a sin t)dt = 4absin

2

 

 

 

 

 

 

 

 

tdt = 2ab t

 

 

 

02

=πab.

 

 

2

 

 

π

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисление площадей в полярных координатах. Пусть в полярной

системе координат задана функция

r = r(ϕ),

где

r -

полярный радиус,

ϕ -

полярный угол. Пусть, далее, функция r = r(ϕ) непрерывна при изменении угла ϕ в пределах α ϕ β . Фигура, ограниченная частью AB графика функции r = r(ϕ) и прямыми, соединяющими полюс O с точками A и B, называется

криволинейным сектором. B

~rk

(рис.3)

β

 

 

 

~

 

 

 

 

ϕ

. Разобьем угол β α на n

Вычислим площадь криволинейного сектора OABk

O

α

ϕ k

ϕk 1

 

частей лучами, соответствующими значениям полярного угла

ϕ0 =α <ϕ1<ϕ2

< ... <ϕn = β . Обозначим углы между проведенными лучами через

ϕ1 ,...., ϕn . Для k-го угла имеем

ϕk =ϕk ϕk 1 . Ясно, что площадь

криволинейного сектора OAB равна сумме n малых площадей, его

составляющих. Рассмотри криволинейный сектор

ϕk =ϕk ϕk 1 . Выберем

некоторый угол ϕ(k , удовлетворяющий неравенствам ϕk 1 ϕ(k ϕk , и обозначим длину соответствующего этому углу радиуса через r(k . Заменим площадь k-го

криволинейного сектора площадью кругового сектора с радиусом r(k

и

центральным углом ϕk . Его площадь равна

sk

=

1

r(k

2

ϕk . Так как r(k

= r(ϕ(k ), то

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

 

площадь k-го кругового сектора вычисляется по формуле sk =

r 2 (ϕ(k ) ϕk .

 

Сумма площадей n круговых секторов составит

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

n

2

(

 

 

 

 

 

 

sk =

 

r

 

(ϕk )

 

ϕk

(5)

 

 

 

 

2 k =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сумма Sn является интегральной суммой Римана для функции r 2 (ϕ) на

отрезке [α, β]. Переходя в равенстве (5) к пределу при max ϕk

= d 0 , получим

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

1

n

 

 

 

 

 

 

 

lim Sn =

lim r 2 (ϕ(k

) ϕk .

 

 

(6)

 

 

 

d 0

2 d 0 k =1

 

 

 

 

 

 

 

В равенстве (6) левая часть есть площадь S криволинейного сектора OAB, а

 

 

 

 

 

 

1

β

 

 

 

правая часть равна определенному

 

интегралу

r 2 (ϕ)dϕ .

Таким

образом,

 

2

 

 

 

 

 

α

 

 

 

соотношение (6) примет вид

 

 

 

β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

(ϕ)dϕ .

 

 

(7)

 

 

S =

r 2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

ε

 

 

 

 

 

 

Пример 3. Найти площадь круга радиуса R.

 

 

 

 

 

 

Решение. Уравнение окружности в полярных координатах

имеет вид

r = R . В силу симметрии круга достаточно вычислить площадь

S1

четверти

круга, а затем умножить результат на 4. Полярный угол, соответствующий

площади S1

изменяется в пределах 0 ϕ

π

. По формуле (7) находим

 

 

2

 

 

 

 

π

 

 

 

π

 

S = 4S1 = 22 R2 dϕ = 2R2ϕ

 

 

 

2 =πR2 ,

 

0

 

 

 

0

 

 

 

что согласуется с общеизвестной формулой.

2.Длина дуги кривой.

Вычисление длины дуги кривой в декартовых координатах. Введем

понятие длины дуги. Пусть на плоскости введена кривая, являющаяся графиком

непрерывной функции y = f (x) на отрезке [a,b]. Разобьем отрезок

[a,b] точками

на n частей a = x0 < x1 < x2 < ... < xn1 < xn

= b . Из каждой точки xk

восстановим

перпендикуляр к оси Ox; тогда дуга

AB разобьется на n частей

точками

A0 = A, A1 , A2 ,..., An1 , An = B (рис.4). Заменим каждый участок дуги Ak 1 Ak

участком

прямой Ak 1 Ak .

Определение. Длиной дуги называется предел L, к которому стремится длина ломаной A0 A1 A2 ...An1 An , вписанной в дугу AB, при стремлении к нулю

n

наибольшей из ее сторон l = lim Ak 1 Ak , а значит, и при n → ∞, т.е.

l0 k =1

 

 

 

 

n

 

 

 

 

L = lim

Ak 1 Ak

(8)

y

 

 

l0

k =1

y

y=f(x)

 

 

 

y2=x3

 

Ak-1

 

 

 

A2

Ak

 

 

 

 

 

 

 

A1

 

 

An-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

An=B

1

 

 

 

 

 

0

1

 

A=Ao

4/3

 

 

x

 

 

 

Рис. 4

-1 Рис.5

C1 C2

Ck

Cn

x

a=x0 x1

x2

xk-1

xk

xn-1 xn=b

 

 

Пусть функция y = f (x) и ее производная y = f

(x) непрерывны на отрезке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[a,b]. Согласно теореме Пифагора имеем

Ak 1 Ak =

(xk xk 1 )2 + (Ak xk Ak 1 xk 1 )2 .

Обозначим xk = xk

xk 1 . Так как Ak xk = f (xk ) и Ak 1 xk 1 = f (xk 1 ), то на основании

теоремы Лагранжа получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Ak xk Ak 1 xk 1 )= f (xk )f (xk 1 )= f (ck ) xk , ck [xk 1 , xk ].

Тогда Ak 1 Ak =

( xk )2 +[f (ck )]2 (

xk )2

=

1 +

 

f (ck )

 

2

xk . В следствие непрерывности

 

 

производной

y = f

 

предел

(8)

интегральной суммы. Таким

(x) существует

образом,

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L = lim 1+ f (ck )2 xk

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

d 0

k =1

 

 

 

 

 

 

По

 

определению

предел (9)

равен

определенному интегралу от функции

1 +

 

 

2

на отрезке [a,b]:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

dx .

 

(10)

 

 

 

 

 

 

 

 

L =

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + f (x)

 

a

Это и есть формула для вычисления длины дуги.

Пример 4. Найти длину дуги кривой y2 = x3 , отсеченной прямой x = 43

(рис.5).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

Найдем

производную

 

функции

 

y=f(x),

заданной неявно

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

9

 

 

 

 

соотношением

y

 

= x

 

;

 

имеем

2yy

 

= 3x

 

,

откуда (y )

 

=

 

x.

В силу симметрии

 

 

 

 

 

4

достаточно вычислить длину половины кривой L1 . По формуле (10) получим

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L = 2L1 = 23

1 +

 

9

xdx =

16

2 t 2

=

16

t

 

12

=

112

 

, при t =

1 +

9

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

4

 

9

1

 

 

27

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

4

 

Вычисление дуги плоской кривой, заданной в параметрической форме.

Рассмотрим параметрически

заданную

 

кривую

x = ϕ(t), y =ψ(t), α t β, где

ϕ(t), ψ(t) - непрерывные и имеющие непрерывные производные функции,

причем ϕ(t)0 . Пусть

ϕ(α)= a, ϕ(β)= b .

В

интеграле (10)

произведем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

подстановку ϕ(t)= x, dx =ϕ

 

 

y

=

ψ

(t)

, то получим

 

 

 

 

 

 

 

(t)dt ; так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ (t)

 

 

 

 

 

 

β

 

2

 

 

β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L = 1

+

ψ (t)

 

ϕ(t)dt =

 

ϕ(t)

2

+

ψ(t)

2 dt .

(11)

 

α

ϕ(t)

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5. Найти длину окружности радиуса R.

Решение. Уравнения окружности в параметрической форме имеют вид x = R cost, y = R sin t. Найдем четвертую часть длины окружности. По формуле (11) имеем

π

 

 

L = 402

(R sin t)2 + (R cost)2 dt = 4Rt

π

02 = 2πR.

Что согласуется с общеизвестным результатом.

Вычисление длины дуги плоской кривой в полярных координатах. Воспользуемся формулами перехода от полярных координат к декартовым:

x = r(ϕ)cosϕ, y = r(ϕ)sinϕ (учли, что радиус r есть функция полярного угла). Эти уравнения можно рассматривать, как параметрические уравнения кривой при изменении параметра ϕ в пределах α ϕ β . Тогда по формуле (11) находим

β

[r(ϕ)]2 +[r(ϕ)]2 dϕ .

(12)

L =

α

3. Вычисление объемов и площадей поверхностей вращения.

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной функции y=f(x), осью Ox и прямыми x=a, x=b, вращается вокруг оси Ox.

y

 

 

y

 

 

 

o

 

 

 

 

(рис.6)

a

x

 

 

b

 

S(x)

x

Найдем объем V полученного тела вращения. Ясно, что произвольное

поперечное сечение этого тела представляет собой круг. Площадь круга,

образованного при сечении

тела

вращения

плоскостью

x=x, есть

S(x)=πyz2 =πf 2 (x). Тогда используя формулу V = b S(x)dx , получим

 

 

 

 

a

 

 

 

V =πb

f 2 (x)dx

 

(13)

 

 

a

 

 

 

Если криволинейная трапеция,

ограниченная

непрерывной

функцией

x =ϕ(y), осью Oy и прямыми y=a и y=b, вращается вокруг оси Oy, то объем полученного тела вычисляется по формуле

V =πb ϕ2 (y)dy

(14)

a

 

Пример 6. Найти объем конуса с радиусом основания R и высотой h. Решение. Конус можно считать телом, полученным вращением

прямоугольного треугольника с катетами h и R относительно оси Ox. Найдем уравнение гипотенузы этого треугольника. Имеем y=kx, где k = tgϕ = Rh y = Rxh . По формуле (13) получим

h

h

2

 

h

 

V =πy2 dx = π

R

x2 dx =πR2

.

2

 

0

0

h

3

 

Вычисление площади поверхности тела вращения.

Определение. Площадью поверхности тела, полученного при вращении дуги AB вокруг оси Ox называется предел Σ , к которому стремится площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox ломаной A0 A1 A2 ...An1 An ,

вписанной в дугу AB, при стремлении к нулю наибольшей из ее сторон

 

n

1 Ak , а значит, и при n → ∞, т.е. Σ = lim

n

 

l = lim

Ak

σk .

 

l0

k =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l0

k =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула для вычисления площади поверхности вращения вокруг оси Ox

 

 

 

b

 

1 +

 

 

 

2

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Σ = 2πf (x)

 

f (x)

 

 

 

 

(15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если кривая вращается вокруг оси Oy, то формула имеет вид

 

 

 

 

b

 

1+

 

 

 

 

2

dy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Σ = 2πϕ(y)

ϕ (y)

 

 

 

 

(16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Физические приложения определенного интеграла.

 

Пусть

на

плоскости

Oxy

 

дана

 

система материальных

точек

P1 (x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 ),..., Pn (xn , yn ) с массами m1 , m2 ,..., mn .

 

 

Произведения xi mi и yi mi

называются статическими моментами массы mi

относительно осей Ox и Oy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначим xc

и yc координаты центра масс данной системы. Тогда, как

известно из курса механики, координаты центра масс, описанной материальной системы определяются формулами

 

 

n

 

xc =

xi mi

(17)

i=1

n

 

 

mi

 

 

 

i=1

 

 

n

 

yc =

yi mi

(18)

i=1

 

n

 

mi

 

i=1

Мы используем эти формулы для отыскания центров масс различных фигур и тел.

Центр масс плоской линии. Пусть дана кривая AB уравнением y = f (x), a x b , и пусть эта кривая представляет собой материальную линию.

Предположим, что линейная плотность такой материальной кривой равна

γ . Разобьем линию на n частей длины

s1 , s2 ,...,

sn . Массы этих частей будут

равняться произведению их длин на плотность:

mi

= γ si . На каждой части дуги

si возьмем произвольную точку с абсциссой ξi .

Представляя каждую часть

дуги si материальной точкой Pi (ξi , f (ξi

)) с массой γ

si и подставляя в формулы

(17) и (18) вместо xi значение ξi , вместо yi значение

f (ξi ), а вместо mi значение

γ si получим приближенные формулы для определения центра масс дуги

xc

ξiγ

si

,

yc

f (ξi )γ

si

.

γ

si

γ si

 

 

 

 

 

 

Если функция y = f (x) непрерывна и имеет непрерывную производную, то стоящие в числителе и знаменателе каждой дроби суммы при max si 0 имеют пределы, равные пределам соответствующих интегральных сумм. Таким