
- •Заключение.
- •Важнейшим классом элементарных функций является класс рациональных функций, т.е. дробей вида
- •Остановимся на интегралах вида
- •Из алгебры известно, что условие мнимости корней выражения
- •Заключение.
- •Тогда
- •Полагая
- •Широко применяется метод интегрирования, называемый метод интегрирования по частям.
- •По теореме о дифференцировании интеграла имеем
- •Заключение.
- •Итак, по определению имеем
- •Заключение.
- •Заключение
- •Заключение.
- •Заключение.

13. ∫e−3x (2 − 9x )dx |
14. ∫arctg 2x −1dx |
15. |
∫arctg 3x −1dx
Контрольные вопросы по теме занятия:
16.Напомните определение первообразной.
17.Дайте определение определенного интеграла.
18.Вспомните формулу Ньютона-Лейбница.
Заключение
На лекции рассмотрены основные методы интегрирования. В первом вопросе рассмотрена производная интеграла по верхнему пределу. Во
втором вопросе рассмотрена основная формула интегрального исчисления
– формула Ньютона-Лейбница. Два общих метода вычисления определенного интеграла – метод замены переменной и метод интегрирования по частям изложены в третьем вопросе. К практическому занятию необходимо изучить вопросы, изложенные на лекции.
Введение.
Лекция продолжает изучение темы «Определенный интеграл», включающей в себя четыре лекции, три практических занятия, одно лабораторное занятие. Тема «Определенный интеграл» и данная лекция, в частности, связаны с предыдущей темой «Неопределенный интеграл». Основоположниками интегрального исчисления, по праву следует считать Г. Лейбница, И. Ньютона. В 19 веке Г. Риман (1826-1866) создал теорию интеграла, обобщающую результаты, полученные О. Коши. Приложениями определенного интеграла занимались И. Кеплер (1571-1630) в своих исследованиях по астрономии, Б. Кавальери (1598-1647) и Э. Торричелли (1608-1647). Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур были получены К. Жорданов (1838-1922). В дальнейшем обобщения понятия интеграла были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875-1941) и А. Данжуа (1884-1974), советским математиком А. Хинчиным(1894-1959). Лекция тесно связана с тематикой последующих и предыдущих тем.
1.Вычисление площадей плоских фигур.
Как известно, площадь криволинейной трапеции, ограниченной
непрерывной линией y = f (x) и прямыми x = a, x = b, y = 0; |
находится по формуле |
|
S = ∫b |
f (x)dx , |
(1) |
a |
|
|
где f (x)≥ 0и x [a,b].
Если f (x)≤ 0, x [a,b], то определенный интеграл (1) неположителен. Его
абсолютная величина равна площади криволинейной трапеции, расположенной
ниже оси Ox, т.е. S = −∫b f (x)dx .
a
Если же функция f(x) меняет на отрезке [a,b] знак конечное число раз, то
для вычисления площади фигуры можно разбить отрезок интегрирования на части, где f(x) не меняет знака, а затем найти по формуле (1) площади фигур, полученных таким образом и взять их алгебраическую сумму.
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной косинусоидой y = cos x и
прямыми x = 0, x =π, y = 0.

|
Решение. Разобьем отрезок [0,π] |
на такие части, |
|
где функция y = cos x |
||||||||
сохраняет постоянный знак. Поскольку |
y ≥ 0 |
при x 0, |
π |
|
и y ≤ 0 при x π |
,π |
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
π |
|
+sin x |
|
π |
|
(−1)= 2. |
|
|
||
|
|
0 |
|
− |
|
|
||||||
|
S = ∫cos xdx − ∫cos xdx = sin x |
|
π =1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
π |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
S |
y=f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
y =ϕ(x) |
|
|
|
y |
|
|
y=f(x) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y =ϕ(x)
a |
|
b |
x |
|
a |
c |
|
b x |
|
Рис 1. |
|
|
|
|
|
Рис.2 |
|
Найдем площадь фигуры, |
заключенной |
между |
двумя |
кривыми |
||||
y = f (x)и y = ϕ(x), x [a,b] |
|
(рис.1). |
Пусть |
для |
определенности |
|||
f (x)>ϕ(x), |
x [a,b]. Тогда площадь S равна разности площадей криволинейных |
|||||||
трапеций, |
ограниченных |
сверху |
соответственно графиками |
функций |
y = f (x)и y =ϕ(x), x [a,b], т.е. |
|
|
|
S = ∫b |
f (x)dx − ∫b ϕ(x)dx = ∫b [f (x)−ϕ(x)]dx . |
(2) |
|
a |
a |
a |
|
Если графики функций пересекаются на отрезке конечное число раз (рис.2), то отрезок интегрирования нужно разбить на такие части, где разность f (x)−ϕ(x), x [a,b] сохраняет постоянный знак, и найти площади полученных
частей по формуле (2).
Вычисление площади криволинейной трапеции для кривой, заданной параметрически.
Пусть кривая задана параметрическими уравнениями
x =ϕ(t), y =ψ(t), α ≤ t ≤ β, |
(3) |
где функция y =ψ(t) непрерывна, а x = ϕ(t) непрерывно |
дифференцируема. |
Пусть, далее, уравнения (3) определяют интегрируемую функцию y=f(x) на отрезке [a,b], так, что различным t [α, β] соответствуют различные точки кривой y=f(x), которая сама себя не пересекает, причем ϕ(α)= a, ϕ(β)= b. площадь криволинейной трапеции определяется по формуле (1). Выполним в

формуле (1) подстановку x =ϕ(t); имеем y = f (x)= |
f (ϕ(t))=ψ(t), |
′ |
Если |
||||||||||
dx =ϕ (t)dt. |
|||||||||||||
x = a, то t =α ; если x = b, то t = β . Тогда формула (1) примет вид |
|
|
|||||||||||
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = ∫ψ(t)ϕ′(t)dt |
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||||
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом. |
|
||||||||||||
Решение. |
Параметрические |
уравнения |
эллипса |
|
имеют |
вид |
|||||||
x = a cost, y = a sin t . |
В силу симметрии эллипса достаточно найти площадь S1 |
||||||||||||
одной его четверти, а затем умножить результат на 4. Если x изменяется в |
|
||||||||||||
пределах [0, a], то параметр t изменяется t 0, |
π |
. По формуле (4) получим |
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
sin 2t |
π |
|
|
|
S = 4S1 = 4∫(bsin t)(− a sin t)dt = 4ab∫sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
tdt = 2ab t − |
|
|
|
02 |
=πab. |
|
||||||
|
2 |
|
|||||||||||
|
π |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление площадей в полярных координатах. Пусть в полярной |
|||||||||||||
системе координат задана функция |
r = r(ϕ), |
где |
r - |
полярный радиус, |
ϕ - |
полярный угол. Пусть, далее, функция r = r(ϕ) непрерывна при изменении угла ϕ в пределах α ≤ϕ ≤ β . Фигура, ограниченная частью AB графика функции r = r(ϕ) и прямыми, соединяющими полюс O с точками A и B, называется
криволинейным сектором. B
~rk
(рис.3)
β
|
|
|
~ |
|
|
|
|
ϕ |
. Разобьем угол β −α на n |
Вычислим площадь криволинейного сектора OABk |
||||
O |
α |
ϕ k |
ϕk −1 |
|
частей лучами, соответствующими значениям полярного угла |
||||
ϕ0 =α <ϕ1<ϕ2 |
< ... <ϕn = β . Обозначим углы между проведенными лучами через |
|||
ϕ1 ,...., ϕn . Для k-го угла имеем |
ϕk =ϕk −ϕk −1 . Ясно, что площадь |
|||
криволинейного сектора OAB равна сумме n малых площадей, его |
||||
составляющих. Рассмотри криволинейный сектор |
ϕk =ϕk −ϕk −1 . Выберем |
некоторый угол ϕ(k , удовлетворяющий неравенствам ϕk −1 ≤ϕ(k ≤ϕk , и обозначим длину соответствующего этому углу радиуса через r(k . Заменим площадь k-го
криволинейного сектора площадью кругового сектора с радиусом r(k |
и |
|||||||||||
центральным углом ϕk . Его площадь равна |
sk |
= |
1 |
r(k |
2 |
ϕk . Так как r(k |
= r(ϕ(k ), то |
|||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
||
площадь k-го кругового сектора вычисляется по формуле sk = |
r 2 (ϕ(k ) ϕk . |
|||||||||||
|
||||||||||||
Сумма площадей n круговых секторов составит |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
n |
2 |
( |
|
|
|
|
|
|
||
sk = |
|
∑r |
|
(ϕk ) |
|
ϕk |
(5) |
|||||
|
|
|
||||||||||
|
2 k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|

Сумма Sn является интегральной суммой Римана для функции r 2 (ϕ) на |
||||||||||
отрезке [α, β]. Переходя в равенстве (5) к пределу при max ϕk |
= d → 0 , получим |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim Sn = |
lim ∑r 2 (ϕ(k |
) ϕk . |
|
|
(6) |
|||||
|
|
|
||||||||
d →0 |
2 d →0 k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
В равенстве (6) левая часть есть площадь S криволинейного сектора OAB, а |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
β |
|
|
|
правая часть равна определенному |
|
интегралу |
∫r 2 (ϕ)dϕ . |
Таким |
образом, |
|||||
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
||
соотношение (6) примет вид |
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(ϕ)dϕ . |
|
|
(7) |
|||
|
|
S = |
∫r 2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
ε |
|
|
|
|
|
|
||
Пример 3. Найти площадь круга радиуса R. |
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Уравнение окружности в полярных координатах |
имеет вид |
|||||||||
r = R . В силу симметрии круга достаточно вычислить площадь |
S1 |
четверти |
круга, а затем умножить результат на 4. Полярный угол, соответствующий
площади S1 |
изменяется в пределах 0 ≤ϕ ≤ |
π |
. По формуле (7) находим |
||
|
|
2 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
S = 4S1 = 2∫2 R2 dϕ = 2R2ϕ |
|
|||
|
|
2 =πR2 , |
|||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
что согласуется с общеизвестной формулой.
2.Длина дуги кривой.
Вычисление длины дуги кривой в декартовых координатах. Введем
понятие длины дуги. Пусть на плоскости введена кривая, являющаяся графиком |
|||
непрерывной функции y = f (x) на отрезке [a,b]. Разобьем отрезок |
[a,b] точками |
||
на n частей a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn |
= b . Из каждой точки xk |
восстановим |
|
перпендикуляр к оси Ox; тогда дуга |
AB разобьется на n частей |
точками |
|
A0 = A, A1 , A2 ,..., An−1 , An = B (рис.4). Заменим каждый участок дуги Ak −1 Ak |
участком |
прямой Ak −1 Ak .
Определение. Длиной дуги называется предел L, к которому стремится длина ломаной A0 A1 A2 ...An−1 An , вписанной в дугу AB, при стремлении к нулю
n
наибольшей из ее сторон l = lim ∑Ak −1 Ak , а значит, и при n → ∞, т.е.
l→0 k =1
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
L = lim |
∑Ak −1 Ak |
(8) |
y |
|
|
l→0 |
k =1 |
y |
y=f(x) |
|
|
|
y2=x3 |
|
|
Ak-1 |
|
|
||
|
A2 |
Ak |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A1 |
|
|
An-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
An=B |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
A=Ao |
4/3 |
|
|
x |
|
|
|
|
Рис. 4 |
-1 Рис.5 |
C1 C2 |
Ck |
Cn |
x
a=x0 x1 |
x2 |
xk-1 |
xk |
xn-1 xn=b |

|
|
Пусть функция y = f (x) и ее производная y = f |
(x) непрерывны на отрезке |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
[a,b]. Согласно теореме Пифагора имеем |
Ak −1 Ak = |
(xk − xk −1 )2 + (Ak xk − Ak −1 xk −1 )2 . |
|||||||||||||||
Обозначим xk = xk |
− xk −1 . Так как Ak xk = f (xk ) и Ak −1 xk −1 = f (xk −1 ), то на основании |
||||||||||||||||
теоремы Лагранжа получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
(Ak xk − Ak −1 xk −1 )= f (xk )− f (xk −1 )= f ′(ck ) xk , ck [xk −1 , xk ]. |
|||||||||||
Тогда Ak −1 Ak = |
( xk )2 +[f ′(ck )]2 ( |
xk )2 |
= |
1 + |
|
f ′(ck ) |
|
2 |
xk . В следствие непрерывности |
||||||||
|
|
||||||||||||||||
производной |
y = f |
′ |
|
предел |
(8) |
интегральной суммы. Таким |
|||||||||||
(x) существует |
|||||||||||||||||
образом, |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
L = lim ∑ 1+ f ′(ck )2 xk |
(9) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d →0 |
k =1 |
|
|
|
|
|
|
||
По |
|
определению |
предел (9) |
равен |
определенному интегралу от функции |
||||||||||||
1 + |
|
′ |
|
2 |
на отрезке [a,b]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
dx . |
|
(10) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
L = ∫ |
|
′ |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + f (x) |
|
a
Это и есть формула для вычисления длины дуги.
Пример 4. Найти длину дуги кривой y2 = x3 , отсеченной прямой x = 43
(рис.5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
Найдем |
производную |
|
функции |
|
y=f(x), |
заданной неявно |
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
2 |
|
9 |
|
|
|
|
соотношением |
y |
|
= x |
|
; |
|
имеем |
2yy |
|
= 3x |
|
, |
откуда (y ) |
|
= |
|
x. |
В силу симметрии |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||
достаточно вычислить длину половины кривой L1 . По формуле (10) получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = 2L1 = 2∫3 |
1 + |
|
9 |
xdx = |
16 |
∫2 t 2 |
= |
16 |
t |
|
12 |
= |
112 |
|
, при t = |
1 + |
9 |
x . |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
4 |
|
9 |
1 |
|
|
27 |
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||
Вычисление дуги плоской кривой, заданной в параметрической форме. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим параметрически |
заданную |
|
кривую |
x = ϕ(t), y =ψ(t), α ≤ t ≤ β, где |
ϕ(t), ψ(t) - непрерывные и имеющие непрерывные производные функции,
причем ϕ(t)≠ 0 . Пусть |
ϕ(α)= a, ϕ(β)= b . |
В |
интеграле (10) |
произведем |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
||
подстановку ϕ(t)= x, dx =ϕ |
′ |
|
|
y |
′ |
= |
ψ |
(t) |
, то получим |
|
|||||||
|
|
|
′ |
|
|
|
|||||||||||
(t)dt ; так как |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ (t) |
|
|
|
|
|
|
|||
β |
′ |
|
2 |
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = ∫ 1 |
+ |
ψ (t) |
|
ϕ′(t)dt = ∫ |
|
ϕ′(t) |
2 |
+ |
ψ′(t) |
2 dt . |
(11) |
||||||
|
|||||||||||||||||
α |
ϕ′(t) |
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5. Найти длину окружности радиуса R.
Решение. Уравнения окружности в параметрической форме имеют вид x = R cost, y = R sin t. Найдем четвертую часть длины окружности. По формуле (11) имеем
π |
|
|
L = 40∫2 |
(− R sin t)2 + (R cost)2 dt = 4Rt |
π |
02 = 2πR. |
Что согласуется с общеизвестным результатом.
Вычисление длины дуги плоской кривой в полярных координатах. Воспользуемся формулами перехода от полярных координат к декартовым:

x = r(ϕ)cosϕ, y = r(ϕ)sinϕ (учли, что радиус r есть функция полярного угла). Эти уравнения можно рассматривать, как параметрические уравнения кривой при изменении параметра ϕ в пределах α ≤ϕ ≤ β . Тогда по формуле (11) находим
β |
[r′(ϕ)]2 +[r(ϕ)]2 dϕ . |
(12) |
L = ∫ |
α
3. Вычисление объемов и площадей поверхностей вращения.
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной функции y=f(x), осью Ox и прямыми x=a, x=b, вращается вокруг оси Ox.
y
|
|
y |
|
|
|
o |
|
|
|
|
(рис.6) |
a |
x |
|
|
b |
|
|
S(x) |
x |
|||
Найдем объем V полученного тела вращения. Ясно, что произвольное |
|||||
поперечное сечение этого тела представляет собой круг. Площадь круга, |
|||||
образованного при сечении |
тела |
вращения |
плоскостью |
x=x, есть |
|
S(x)=πyz2 =πf 2 (x). Тогда используя формулу V = ∫b S(x)dx , получим |
|
||||
|
|
|
a |
|
|
|
V =π∫b |
f 2 (x)dx |
|
(13) |
|
|
|
a |
|
|
|
Если криволинейная трапеция, |
ограниченная |
непрерывной |
функцией |
x =ϕ(y), осью Oy и прямыми y=a и y=b, вращается вокруг оси Oy, то объем полученного тела вычисляется по формуле
V =π∫b ϕ2 (y)dy |
(14) |
a |
|
Пример 6. Найти объем конуса с радиусом основания R и высотой h. Решение. Конус можно считать телом, полученным вращением
прямоугольного треугольника с катетами h и R относительно оси Ox. Найдем уравнение гипотенузы этого треугольника. Имеем y=kx, где k = tgϕ = Rh y = Rxh . По формуле (13) получим
h |
h |
2 |
|
h |
|
V =π∫y2 dx = π∫ |
R |
x2 dx =πR2 |
. |
||
2 |
|
||||
0 |
0 |
h |
3 |
|
Вычисление площади поверхности тела вращения.
Определение. Площадью поверхности тела, полученного при вращении дуги AB вокруг оси Ox называется предел Σ , к которому стремится площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox ломаной A0 A1 A2 ...An−1 An ,

вписанной в дугу AB, при стремлении к нулю наибольшей из ее сторон
|
n |
−1 Ak , а значит, и при n → ∞, т.е. Σ = lim |
n |
|
||||||||||
l = lim |
∑Ak |
∑ σk . |
|
|||||||||||
l→0 |
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l→0 |
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Формула для вычисления площади поверхности вращения вокруг оси Ox |
||||||||||||||
|
|
|
b |
|
1 + |
|
′ |
|
|
2 |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Σ = 2π∫ f (x) |
|
f (x) |
|
|
|
|
(15) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если кривая вращается вокруг оси Oy, то формула имеет вид |
|
|||||||||||||
|
|
|
b |
|
1+ |
|
′ |
|
|
|
2 |
dy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Σ = 2π∫ϕ(y) |
ϕ (y) |
|
|
|
|
(16) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Физические приложения определенного интеграла. |
|
||||||||||||
Пусть |
на |
плоскости |
Oxy |
|
дана |
|
система материальных |
точек |
||||||
P1 (x1 , y1 ), P2 (x2 , y2 ),..., Pn (xn , yn ) с массами m1 , m2 ,..., mn . |
|
|
||||||||||||
Произведения xi mi и yi mi |
называются статическими моментами массы mi |
|||||||||||||
относительно осей Ox и Oy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Обозначим xc |
и yc координаты центра масс данной системы. Тогда, как |
известно из курса механики, координаты центра масс, описанной материальной системы определяются формулами
|
|
n |
|
|
xc = |
∑xi mi |
(17) |
||
i=1 |
||||
n |
||||
|
|
∑mi |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
n |
|
||
yc = |
∑yi mi |
(18) |
||
i=1 |
|
|||
n |
||||
|
∑mi |
|
i=1
Мы используем эти формулы для отыскания центров масс различных фигур и тел.
Центр масс плоской линии. Пусть дана кривая AB уравнением y = f (x), a ≤ x ≤ b , и пусть эта кривая представляет собой материальную линию.
Предположим, что линейная плотность такой материальной кривой равна
γ . Разобьем линию на n частей длины |
s1 , s2 ,..., |
sn . Массы этих частей будут |
|
равняться произведению их длин на плотность: |
mi |
= γ si . На каждой части дуги |
|
si возьмем произвольную точку с абсциссой ξi . |
Представляя каждую часть |
||
дуги si материальной точкой Pi (ξi , f (ξi |
)) с массой γ |
si и подставляя в формулы |
(17) и (18) вместо xi значение ξi , вместо yi значение |
f (ξi ), а вместо mi значение |
||||||
γ si получим приближенные формулы для определения центра масс дуги |
|||||||
xc ≈ |
∑ξiγ |
si |
, |
yc ≈ |
∑ f (ξi )γ |
si |
. |
∑γ |
si |
∑γ si |
|
||||
|
|
|
|
|
Если функция y = f (x) непрерывна и имеет непрерывную производную, то стоящие в числителе и знаменателе каждой дроби суммы при max si → 0 имеют пределы, равные пределам соответствующих интегральных сумм. Таким