∫arctg 3x −1dx

Контрольные вопросы по теме занятия:

16.Напомните определение первообразной.

17.Дайте определение определенного интеграла.

18.Вспомните формулу Ньютона-Лейбница.

Заключение

На лекции рассмотрены основные методы интегрирования. В первом вопросе рассмотрена производная интеграла по верхнему пределу. Во

втором вопросе рассмотрена основная формула интегрального исчисления

– формула Ньютона-Лейбница. Два общих метода вычисления определенного интеграла – метод замены переменной и метод интегрирования по частям изложены в третьем вопросе. К практическому занятию необходимо изучить вопросы, изложенные на лекции.

Введение.

Лекция продолжает изучение темы «Определенный интеграл», включающей в себя четыре лекции, три практических занятия, одно лабораторное занятие. Тема «Определенный интеграл» и данная лекция, в частности, связаны с предыдущей темой «Неопределенный интеграл». Основоположниками интегрального исчисления, по праву следует считать Г. Лейбница, И. Ньютона. В 19 веке Г. Риман (1826-1866) создал теорию интеграла, обобщающую результаты, полученные О. Коши. Приложениями определенного интеграла занимались И. Кеплер (1571-1630) в своих исследованиях по астрономии, Б. Кавальери (1598-1647) и Э. Торричелли (1608-1647). Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур были получены К. Жорданов (1838-1922). В дальнейшем обобщения понятия интеграла были предложены французскими математиками А. Лебегом (1875-1941) и А. Данжуа (1884-1974), советским математиком А. Хинчиным(1894-1959). Лекция тесно связана с тематикой последующих и предыдущих тем.

1.Вычисление площадей плоских фигур.

Как известно, площадь криволинейной трапеции, ограниченной

где f (x)≥ 0и x [a,b].

Если f (x)≤ 0, x [a,b], то определенный интеграл (1) неположителен. Его

абсолютная величина равна площади криволинейной трапеции, расположенной

ниже оси Ox, т.е. S = −∫b f (x)dx .

a

Если же функция f(x) меняет на отрезке [a,b] знак конечное число раз, то

для вычисления площади фигуры можно разбить отрезок интегрирования на части, где f(x) не меняет знака, а затем найти по формуле (1) площади фигур, полученных таким образом и взять их алгебраическую сумму.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной косинусоидой y = cos x и

прямыми x = 0, x =π, y = 0.

y =ϕ(x)

Если графики функций пересекаются на отрезке конечное число раз (рис.2), то отрезок интегрирования нужно разбить на такие части, где разность f (x)−ϕ(x), x [a,b] сохраняет постоянный знак, и найти площади полученных

частей по формуле (2).

Вычисление площади криволинейной трапеции для кривой, заданной параметрически.

Пусть кривая задана параметрическими уравнениями

Пусть, далее, уравнения (3) определяют интегрируемую функцию y=f(x) на отрезке [a,b], так, что различным t [α, β] соответствуют различные точки кривой y=f(x), которая сама себя не пересекает, причем ϕ(α)= a, ϕ(β)= b. площадь криволинейной трапеции определяется по формуле (1). Выполним в

полярный угол. Пусть, далее, функция r = r(ϕ) непрерывна при изменении угла ϕ в пределах α ≤ϕ ≤ β . Фигура, ограниченная частью AB графика функции r = r(ϕ) и прямыми, соединяющими полюс O с точками A и B, называется

криволинейным сектором. B

~rk

(рис.3)

β

некоторый угол ϕ(k , удовлетворяющий неравенствам ϕk −1 ≤ϕ(k ≤ϕk , и обозначим длину соответствующего этому углу радиуса через r(k . Заменим площадь k-го

x = r(ϕ)cosϕ, y = r(ϕ)sinϕ (учли, что радиус r есть функция полярного угла). Эти уравнения можно рассматривать, как параметрические уравнения кривой при изменении параметра ϕ в пределах α ≤ϕ ≤ β . Тогда по формуле (11) находим

α

3. Вычисление объемов и площадей поверхностей вращения.

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной функции y=f(x), осью Ox и прямыми x=a, x=b, вращается вокруг оси Ox.

y

x =ϕ(y), осью Oy и прямыми y=a и y=b, вращается вокруг оси Oy, то объем полученного тела вычисляется по формуле

Пример 6. Найти объем конуса с радиусом основания R и высотой h. Решение. Конус можно считать телом, полученным вращением

прямоугольного треугольника с катетами h и R относительно оси Ox. Найдем уравнение гипотенузы этого треугольника. Имеем y=kx, где k = tgϕ = Rh y = Rxh . По формуле (13) получим

Вычисление площади поверхности тела вращения.

Определение. Площадью поверхности тела, полученного при вращении дуги AB вокруг оси Ox называется предел Σ , к которому стремится площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox ломаной A0 A1 A2 ...An−1 An ,

вписанной в дугу AB, при стремлении к нулю наибольшей из ее сторон

известно из курса механики, координаты центра масс, описанной материальной системы определяются формулами

i=1

Мы используем эти формулы для отыскания центров масс различных фигур и тел.

Центр масс плоской линии. Пусть дана кривая AB уравнением y = f (x), a ≤ x ≤ b , и пусть эта кривая представляет собой материальную линию.

Предположим, что линейная плотность такой материальной кривой равна

Если функция y = f (x) непрерывна и имеет непрерывную производную, то стоящие в числителе и знаменателе каждой дроби суммы при max si → 0 имеют пределы, равные пределам соответствующих интегральных сумм. Таким