Контрольные вопросы по теме занятия:
13.Напомните определение первообразной.
14.Дайте определение определенного интеграла.
15.Вспомните формулу Ньютона-Лейбница.
Заключение.
На лекции рассмотрено понятие определенного интеграла. В первом вопросе изложены задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Во втором вопросе введено понятие определенного интеграла как предела интегральных сумм. Затем было дано аналитическое определение определенного интеграла, выяснен его геометрический и физический смысл. К практическому занятию необходимо изучить вопросы, изложенные на лекции.
Введение
Лекция продолжает изучение темы «Определенный интеграл», включающей в себя четыре лекции, три практических занятия, одну лабораторную работу. Тема «Определенный интеграл» и данная лекция, в частности, связаны с предыдущей темой «Неопределенный интеграл». Г. Лейбниц и И. Ньютон открыли независимо друг от друга факт, известный под названием формулы Ньютона-Лейбница. Тем самым оформился метод для нахождения первообразных функций. С именами Г. Лейбница, И. Ньютона, О. Коши и многих других великих математиков связаны труды по интегральному исчислению. Лекция тесно связана с тематикой предыдущих и последующих лекций.
1. Производная интеграла по верхнему пределу.
Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b]. Тогда она интегрируема на любом отрезке [a, x], где a ≤ x ≤ b , т.е. для любого x [a,b] существует интеграл
F(x)= ∫x |
f (t)dt |
(1) |
a |
|
|
Функция F(x), определенная соотношением (1) на отрезке [a,b], называется
интегралом с переменным верхним пределом. Эта функция непрерывна и дифференцируема на отрезке [a,b]. А именно имеет место следующая
фундаментальная теорема.
Теорема 1 Ньютона – Лейбница. Производная определенного интеграла от непрерывной на отрезке [a,b] функции f, рассматриваемого как функция его верхнего предела, существует и равна значению подынтегральной функции в точке дифференцирования:
′ |
x |
′ |
= f (x), x [a,b] |
(2) |
|
|
|||
F (x)= ∫ f (t)dt x |
||||
|
a |
|
|
|
Доказательство. Пусть x [a,b], |
|
x + |
x [a,b], тогда в |
силу |
свойства |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x+ |
x |
x |
x+ x |
|
|
определенного интеграла получим |
F(x + |
x)= |
∫ |
f (t)dt = ∫ f (t)dt + |
∫ f (t)dt. |
Найдем |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
a |
x |
|
соответствующее |
приращение |
|
F |
|
|
функции |
F. Используя |
свойства |
||||
определенного интеграла имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+ |
x |
|
|
|
|
|
c [x, x + x]. |
|
|
F = F(x + x)− F(x)= ∫ |
f |
(t)dt = f (c) x, |
|
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим производную функции (1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
′ |
F |
= lim |
f (c) |
x |
= lim f (c). |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
F (x)= lim |
x |
x |
|
|
|||||||
|
x→0 |
|
x |
→0 |
|
x→0 |
|
|
|
|||
Если x → 0 , то |
x + x → x,и c → x , |
|
так |
как |
с [x, x + x]. |
Тогда |
в силу |
|||||
непрерывности f получим |
′ |
F (x)= lim f (c)= f (x), что и требовалось установить. |
|
|
c→x |
Эта теорема выражает одну из фундаментальных теорем математического анализа. Она вскрывает глубокую связь между двумя понятиями – производной и определенного интеграла. Теорему Ньютона – Лейбница можно сформулировать так: определенный интеграл от непрерывной функции, рассматриваемый как функция своего верхнего предела, является первообразной функцией для подынтегральной функции.
Отсюда легко вытекает следующее утверждение: всякая непрерывная на отрезке [a,b] функция имеет на этом отрезке первообразную, при этом одной из первообразных является интеграл (1).
2. Формула Ньютона – Лейбница.
Теорема 2 (основная теорема интегрального исчисления). Если Ф - первообразная функция для непрерывной на [a,b] функции f, то определенный интеграл от функции f вычисляется по формуле
∫b |
f (x)dx = Φ(b)−Φ(a) |
(3) |
a |
|
|
Другими словами, определенный интеграл от непрерывной функции равен приращению какой – либо первообразной для этой функции на промежутке интегрирования. Формула (3) называется формулой Ньютона – Лейбница.
Доказательство. Пусть Ф – некоторая первообразная для функции f. В силу теоремы 1, изложенной на прошлой лекции, функция (1) тоже является первообразной для функции f. Поскольку две первообразные Ф и F отличаются друг от друга на некоторую постоянную имеем
∫x |
f (t)dt = Φ(x)+C |
|
(4) |
a |
|
|
|
Положим в последнем равенстве x=a. Так как |
∫a |
f (t)dt = 0 , то |
|
|
|
a |
|
0 = Φ(a)+C C = −Φ(a). Подставляя найденное значение C в соотношение (4),
имеем ∫x f (t)dt = Φ(x)−Φ(a). Полагая в последнем соотношении x=b и обозначая
a
переменную t через x, окончательно получаем равенство (3).
Формулу Ньютона – Лейбница в сокращенном виде принято записывать
так:
b
∫ f (x)dx = Φ(x)ba = Φ(b)−Φ(a).
a
Символ ba называется знаком двойной подстановки пределов интегрирования и
означает, что определенный интеграл равен разности значений первообразной
функции Ф соответственно |
при |
верхнем b |
и нижнем a пределах |
|||||||||||||
интегрирования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. ∫3 |
x2 dx = |
x3 |
|
|
32 |
= |
33 |
− |
23 |
= 9 − |
8 |
= |
|
19 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
||
3. Вычисление определенного интеграла интегрированием по частям
и подстановкой.
Интегрирование подстановкой. Пусть в определенном интеграле ∫b f (x)dx ,
a
где f(x) непрерывна на [a,b], требуется найти новую переменную t, связанную с прежней переменной соотношением
x =ϕ(t) |
t [α, β], x [a,b] |
(5) |
где ϕ(t) - непрерывно дифференцируемая на [α, β] функция и ϕ(α)= a, ϕ(β)= b. |
||
Если функция f(x) имеет |
первообразную F(x), |
то ∫ f (x)dx = F(x)+C . |
|
′ |
′ |
Применяя подстановку (5), получим dx = ϕ (t)dt , откуда ∫ |
f (ϕ(t))ϕ (t)dt = F(ϕ(t))+C . |
|
Воспользуемся формулой Ньютона – Лейбница и вычислим следующие определенные интегралы:
∫b |
f (x)dx = F(x) |
|
ba = F(b)− F(a), |
(6) |
|||
|
|||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
= F(ϕ(β))− F(ϕ(α))= F(b)− F(a). |
(7) |
||
∫ f (ϕ(t))ϕ (t)dt = F(ϕ(t))α |
|||||||
′ |
|
|
β |
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
Так как правые части соотношений (6) и (7) равны, то справедлива формула |
|
||||||
|
b |
|
|
β |
(8) |
||
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t))ϕ (t)dt |
||||||
|
a |
|
|
α |
|
||
Таким образом доказано следующее утверждение.
Теорема 3. Определенный интеграл от непрерывной на [a,b] функции f(x)
может быть вычислен по формуле (8) с помощью подстановки (5), если
выполнены условия: 1) |
ϕ(t)иϕ (t) |
- |
непрерывные |
на [α, β] |
функции; |
2) |
|||||||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ϕ(α)= a, ϕ(β)= b; a ≤ϕ(t)≤ b; |
3) функция |
f (ϕ(t)) |
определена и непрерывна |
на |
|||||||||
[α, β]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Вычислить I = ∫e |
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Воспользуемся |
|
|
подстановкой |
t = |
x |
, |
откуда |
x = 3t, dx = 3dt. |
||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Найдем новые |
пределы |
интегрирования: если x = 0, то t = 0; |
x = 3, то t =1; |
||||||||||
полагая в формуле (8) α = 0, β =1, |
находим |
|
|
|
|
|
|
||||||
1 1
I = ∫et 3dt = 3∫et dt = 3et 10 = 3(e −1).
0 0
Интегрирование по частям. Пусть u(x) и v(x) – две непрерывно дифференцируемые на [a,b] функции. Для краткости аргумент в скобках будем опускать. Дифференцируя произведение uv, имеем (uv)′ = u′v +uv′, откуда uv′ = (uv)′ −u′v . Интегрируя обе части последнего равенства в пределах от a до b,
находим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫b udv = uv |
|
ba − ∫b vdu . |
(9) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
||
|
|
|
Пример 3. Вычислить I = π∫x cos xdx . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Положим |
|
u = x, dv = cos xdx; тогда du = dx, v = sin x. |
Используя |
||||||||||||||||||
соотношение (9), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = x sin x |
|
π0 − π∫sin xdx = cos x |
|
π0 = −2. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разберем ряд смешанных задач по вопросам лекции: |
|
|||||||||||||
Пример 4. ∫ |
|
|
|
sin x cos xdx = ? Сделаем подстановку t = sin x ; тогда |
|
||||||||||||||||||||
dt = cos xdx |
и, следовательно ∫ |
sin x cos xdx = ∫ tdt = ∫t1/2dt = |
|
||||||||||||||||||||||
= |
|
2t3/2 |
|
+C = |
2 |
sin3/2 x +C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 5. ∫ |
|
|
xdx |
|
|
= ? Полагаем t =1+ x 2 ; тогда dt = 2xdx и |
|
||||||||||||||||||
|
|
1+ x |
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫ |
|
xdx |
|
= |
1 |
∫ |
dt |
= |
1 |
lnt +C = |
1 |
ln(1+ x 2 ) +C |
|
||||||||||||
1+ x |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 6. ∫x sin xdx = ? Положим u = x, dv = sinxdx; тогда |
|
||||||||||||||||||||||||
du = dx, v = -cosx. Следовательно, |
|
||||||||||||||||||||||||
∫x sin xdx = -x cosx + ∫cos xdx |
= -x cosx + sinx + C |
|
|||||||||||||||||||||||
Пример 7. Требуется вычислить ∫arctgxdx Положим u = arctg x, dv = dx, тогда
du = 1 +dxx 2 , v = x . Следовательно,
∫arctgxdx = xarctgx − ∫ |
xdx |
|
= xarctgx − |
1 ln1 |
+ x 2 |
|
+C |
|
|
|
|||||||
1 + x |
2 |
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельной подготовки курсантов к практическому занятию: Вычислить интегралы методом подстановки:
1. ∫sin |
|
x |
|
|
dx |
|
|
2. ∫ |
|
x 3dx |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
1− x |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫ |
|
2x + 3 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x 2 + 3x +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4. ∫ |
|
|
|
ln xdx |
|
|
|
|
5. ∫ |
|
ex dx |
|
|
|
|
|
|
6. ∫ |
|
xdx |
|
|
||||||||||||||
|
x 1+ ln x |
|
4 |
1+ 2e |
x |
|
|
2 |
) |
3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+3x |
|
||||||||||||||||||||||
7. ∫ |
|
|
x 2dx |
|
|
dx |
|
8. ∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
9. ∫ |
|
|
xdx |
|
|
|
|||||||||||
|
25 − x |
3 |
|
x ln |
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
−2x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
10. ∫ |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
11. ∫ |
|
arctgxdx |
12. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
(1 |
+ x |
2 |
) |
2 |
|
|
|
|
|
1+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∫x 3 |
|
1+ x 2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
13. ∫ |
|
|
|
x 2dx |
|
14. ∫ |
|
xdx |
|
|
|
|
|
15. ∫x 2e−x |
3 |
dx |
||||||||||||||||||||
|
(8x |
3 |
+ |
27) |
2/3 |
1− 4x |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Вычислить интегралы, используя метод интегрирования по частям:
1. |
∫(4 − 3x )e−3x dx |
2. |
∫arctg 4x −1dx |
3. |
∫(3x + 4)e3x dx |
|
|
|
|
4. |
∫(4x − 2) cos2xdx |
5. |
∫(4 −16x ) sin 4xdx |
6. |
∫(5x − 2)e3x dx |
|
|
|
|
7. |
∫(1− 6x )e2x dx |
8. |
∫ln(x 2 + 4)dx |
9. |
∫ln(4x 2 +1)dx |
|
|
|
|
10. ∫(2 −4x ) sin 2xdx |
11. ∫arctg 6x −1dx |
12. |
||
∫e−2x (4x − 3)dx |
|
|
|
|