Непосредственное интегрирование. Примеры.

При интегрировании нам придется пользоваться следующими теоремами, которые мы сейчас сформулируем.

Теорема. Интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е.

∫(f (x)+ g(x)− h(x))dx = ∫ f (x)dx + ∫g(x)dx − ∫h(x)dx

Доказательство. Чтобы убедится в справедливости формулы (3), продифференцируем правую часть этого равенства. Но указанная правая часть представляет собой алгебраическую сумму нескольких слагаемых. Поэтому в результате дифференцирования получим

(∫ f (x)dx)′ + (∫g(x)dx)′ − (∫h(x)dx)′

По теореме о дифференцировании интеграла имеем

(∫ f (x)dx)′ = f (x); (∫g(x)dx)′ = g(x); (∫h(x)dx)′ = h(x).

То есть

(∫ f (x)dx)′ + (∫g(x)dx)′ − (∫h(x)dx)′ = f (x)+ g(x)− h(x)

Итак, дифференцирование правой части в (3) приводит к подынтегральной функции этого равенства. Что и требовалось доказать.

Теорема. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

∫af (x)dx = a∫ f (x)dx

Доказательство вполне аналогично предыдущему. Именно, положив

y = a∫ f (x)dx,

имеем последовательно

y′ = (a∫ f (x)dx)′ = a(∫ f (x)dx)′ = af (x)

чем и доказана теорема.

ПРИМЕРЫ.

1) y = ∫(2x2 +9x −5)dx, = 2∫x2 dx +9∫xdx −5∫dx.

Все три интеграла табличные. Значит