Приведем пример на эту более общую формулировку I = ∫ R2 − x2 dx.

Положим x=Rsinz. Тогда R2 − x2 = R cos z, dx = R cos zdz, откуда I = R2 ∫cos2 zdz.

На основании известной тригонометрической формулы имеем:

Осталось перейти к старой переменной x

z = arcsin Rx , R2 sin 2z = 2(R sin z)(R cos z)= 2x R2 − x2

Используя эти преобразования можно с легкостью выписать решение.

3. Интегрирования по частям.

Широко применяется метод интегрирования, называемый метод интегрирования по частям.

Пусть функции u и v – две функции аргумента x, имеющие производные. Как известно,

(uv)′ = u′v +uv′

Это равенство означает не что иное, как то, что произведение uv будет

Поскольку в состав интеграла ∫vdu.уже входит произвольная постоянная,

то в нее можно включить и слагаемое C и в результате получим формулу интегрирования по частям

∫udv = uv − ∫vdu

(11)

Эта формула представляет собой тождество, справедливое для любой пары функций u и v. В некоторых случаях (разумеется не всегда) интеграл, стоящий в (11) справа проще интеграла, стоящего слева. Тогда применение формулы имеет смысл.

Всмотримся внимательнее в формулу (11). Мы видим, что множитель u, стоящий в левом интеграле при переходе к правому интегралу заменяется на du, т.е. дифференцируется. Другой же сомножитель dv заменяется на v т.е. интегрируется.

Эта необходимость интегрирования не всего выражения, а одного сомножителя и объясняет термин дифференцирования по частям. Рассуждая

абстрактно, можно утверждать, что упрощение интеграла происходит от любой из этих операций.

Однако, в подавляющем большинстве случаев, упрощение происходит именно от дифференцирования множителя u. Таким образом, если в составе подынтегральной функции есть множитель, упрощающийся от дифференцирования, то полезно применять формулу (11), приняв упомянутый множитель за u, а остальное за dv.

ПРИМЕР. I = ∫3 x2 ln xdx.

РЕШЕНИЕ. В состав подынтегральной функции входит lnx, производная от

использовать одну из них. Разумеется, самое простое - взять ту функцию, которая отвечает значению C=0, т.е. положить

v = 53 3 x5

И в общем случае, когда применяют интегрирование по частям, то произвольную постоянную в интеграл по dv не вводят.

Имеем на основании формулы (11)

Рассмотри еще ряд примеров на применение формулы интегрирования по частям.

А) I = ∫ln xdx . Полагаем

Отсюда I = ∫ln xdx = x ln x − ∫x dxx = x ln x − x +C

В) I = ∫arcsin xdx Полагаем

Значит I = ∫arcsin xdx = x arcsin x − 1− x2 +C.

Во всех рассмотренных примерах мы следовали общему указанию: выбирать за u множитель, упрощающийся от дифференцирования. Попробуем отступить от этого указания. Пусть I = ∫xex dx .

Попробуем за u принять множитель ex, хотя он и не упрощается от

Хотя это равенство верное, но оно бесполезно, так как правый интеграл сложнее левого.

Однако иногда бывают ситуации, что правый интеграл в точности равен

Отсюда I = ∫lnxx dx = ln2 x − ∫lnxx dx;

Справа получился исходный интеграл I. Поэтому

I = ln2 x − I, 2I = ln2 x +C,

I = 12 ln2 x +C