Заключение.

Введение.

Тема “Неопределенный интеграл” включает в себя три лекции, три практических занятия и одно лабораторное занятие. Данная лекция начинает изучение фундаментального вопроса математического анализа: неопределенного интеграла. Глубокие и остроумные идеи Архимеда (около 287-212 г. до н.э.), связанные с вычислением площадей и объёмов, решением задач механики, по существу, предвосхищают открытие математического анализа, сделанное почти 2000 лет спустя. Символ интеграла введен Г. Лейбницем (1675) и является изменением латинской буквы S (первой буквы латинского слова summa ). Само слово интеграл придумал и использовал Я. Бернулли (1690). Вероятно, оно происходит от латинского integro .

Данная лекция посвящена определению первообразной и неопределенного интеграла, свойствам неопределенного интеграла, таблице основных формул интегрирования, основным методам интегрирования, примерам непосредственного интегрирования.

1. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства.

Основной задачей дифференциального исчисления является задача дифференцирования, т.е. задача нахождения скорости изменения какойнибудь функции. На практике часто бывает важно решить обратную задачу: зная скорость изменения, найти эту функцию. Иными словами нам

надо найти функцию, зная ее производную. Эта операция называется интегрированием.

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если эта последняя является производной от x.

f (x)= F′(x).

Например, x3 есть первообразная для 3x2,ибо (x3 )′ =3x2 . Точно так же lnx

есть первообразная для 1x .

Действие нахождения первообразной для какой-либо функции f(x) называется интегрированием этой функции. Таким образом, выше мы

проинтегрировали 3x2 и 1x .

Замечание. Иногда приходится специально указывать промежуток, где задана функция, которую необходимо проинтегрировать. Например, если мы

будем рассматривать функцию 1x на промежутке (0,+∞), то первообразной функции будет lnx. Однако для той же функции, но рассматриваемой на

промежутке (− ∞,0), первообразная будет уже не lnx (который и не определен для x<0), а ln(-x), ибо

[ln(− x)]′ = −1x (−1)= 1x

Возникает следующий вопрос: у всякой ли функции имеется первообразная, т.е. всякая ли функция является производной какой-либо

другой функции. Ответ дает следующая теорема.

Теорема (без доказательства) Если функция непрерывна на каком-либо промежутке, то она имеет на нем первообразную.

Выше мы сказали, что x3 есть первообразная для 3x2,ибо (x3 )′ = 3x2 . Но

ведь z = x3 + 5 так же будет первообразной для 3x2,ибо (x3 + 5)′ = 3x2 . Вообще

любая функция x3 + C имеет производную 3x2 и потому является для 3x2 первообразной. Вообще мы можем утверждать, что наряду с F(x), являющейся первообразной, для f(x), любая функцияF(x)+C также будет первообразной для f(x), т.к.

[F(x) + C]′ = F′(x)= f (x).

Возникает вопрос: исчерпывается ли множество всех первообразных для данной функции f(x) выражениями вида

где F(x)–одна из них, или же у f(x) имеются первообразные, не получающиеся из (1) ни при каком постоянном значении C.

Теорема Никаких других производных, кроме (1), у f(x) нет.

Доказательство. Действительно, пусть F1 (x)- какая-то первообразная для f(x). Тогда F1′(x)= f (x). Но и F(x), фигурирующая в (1), также является первообразной для f(x), а потому F ′(x)= f (x). Введем в рассмотрение разность

R(x)= F1 (x)− F(x).

Тогда

R′(x)= F1′(x)− F ′(x)= f (x)− f (x)

На основании известного признака постоянства функции из соотношения R′(x)= 0 следует, что R(x)- величина постоянная, или R(x)=const. Тогда R(x)= F1 (x)− F(x)= const и F1 (x)= F(x)+C , что и требовалось доказать.

Таким образом (1) представляет собой общий вид или, как иногда

Слагаемое C, входящее в правую часть (2), называют произвольной постоянной, а f(x)- подынтегральной функцией. Из самого определения неопределенного интеграла вытекает следующее свойство

Теорема Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

требовалось доказать. То есть, чтобы убедиться справедливо ли равенство

∫ f (x)dx = H (x)+C

надо продифференцировать правую часть. Если получится подынтегральная функция левой части, то равенство верно. В противном случае неверно.

x2 + m

2. Интегрирование подстановкой.

В этом разделе мы ознакомимся с чрезвычайно важным способом интегрирования - способом подстановки. Чтобы понять суть дела полезно

рассмотреть несколько примеров.

Пусть требуется вычислить интеграл

Введем новую переменную z, положив sinx=z. Тогда I = ∫ez dz = ez +C. Остается вернуться к старой переменной x, и мы получим I = esin x +C.

одной и той же формулы интегрирования вычислить столь разные интегралы как (3) и (4).

Вот еще один пример применения того же способа подстановки:

Рассмотренные примеры делают понятным следующее правило, чтобы вычислить интеграл I = ∫ f [ϕ(x)]dx,

надо

1)переписать I в виде I = ∫ f [ϕ(x)]dϕ(x),

2)заменить ϕ(x) буквой z, что приводит к равенству I = ∫ f [z]dz,

3)вычислить последний интеграл;

4)в полученном примере произвести обратную замену z на ϕ(x).

Докажем, что это правило действительно приводит к истинному значению I. Для этого допустим, что

Тогда наше правило приводит к равенству

Чтобы убедится в справедливости правила (6), продифференцируем его правую часть. Для этого применим правило цепочки, положив ϕ(x)=z. Тогда

y′x = y′z z′x = y′zϕ′(x).

Но y′z = F ′(z)= f (z), стало быть y′x = f (z)ϕ′(x)= f [ϕ(x)]ϕ′(x).

Поскольку получилась подынтегральная функция левой части равенства (6), то равенство верно.

Примеры.

В простых случаях введение новой переменной z производят в уме. Например

Более общим образом

∫ϕϕ′((xx))dx = ∫dϕϕ((xx)) = lnϕ(x)+C,

т.е. интеграл от дроби, числитель которой равен производной знаменателя, равен логарифму знаменателя.

Возвращаясь к правилу подстановки, выскажем его в более общей форме:

Чтобы вычислить интеграл, в котором независимой переменной служит x, можно перейти к другой переменной z, связанной какимлибо образом с x, выразив через z все подынтегральное выражение. После нахождения вновь полученного интеграла надо возвратиться к старой переменной x.