Введение

Ряд Фурье составляет значительную часть теории тригонометрических рядов. Впервые ряд Фурье появился в работах Ж. Фурье (1807 г.), посвященных исследованию задач теплопроводности. В дальнейшем ряды Фурье получили широкое распространение как в теоретической, так и в прикладной математики. Так, при изучении темы «Уравнения математической физики» ряды Фурье применяются для нахождения решений уравнения теплопроводности, волнового уравнения с различными начальными и краевыми условиями. Значительное распространение получил также интегральное преобразование Фурье, которое применяется к широкому классу функций.

При разделении переменных во многих задачах математической физики, в частности в краевых задачах теории потенциала для цилиндрической области, приходят к решению так называемых уравнений Бесселя.

Первым систематическое изучение решения уравнения уравнений такого типа предпринял Ф. Бессель, но еще раньше они встречались в работах Д. Бернулли, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа.

Частным случаем функциональных рядов являются тригонометрические ряды. К изучению тригонометрических рядов привела известная проблема звучащей струны, над которой работали такие математики как Эйлер, Даламбер, Фурье и другие.

В настоящее время тригонометрические ряды, наряду со степенными рядами, играют важную роль в науке и технике.

1.Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье.

Определение. Последовательность функций

1, cosx, sinx,cos2x, sin2x, … , cosnx, sinnx, …

называется тригонометрической системой функций.

Для тригонометрической системы функций справедливы следующие равенства:

Эти равенства легко доказываются с помощью известных формул тригонометрии:

в котором коэффициенты an ,bn определены формулами (2), называется

тригонометрическим рядом Фурье функции f (x) , а сами коэффициенты –

коэффициентами Фурье.

Тот факт, что ряд (3) является тригонометрическим рядом Фурье функции f (x) , записывается следующим образом:

Каждое слагаемое ряда (4) называется гармоническим колебанием. В ряде прикладных задач требуется представить периодическую функцию в виде ряда (4), то есть в виде суммы гармонических колебаний.

2.Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Определение. Говорят, что функция f(x) кусочно-непрерывна на отрезке

[a,b], если f(x) непрерывна на отрезке [a,b] за исключением, быть может, конечного числа точек, в каждой из которых функция f(x) имеет пределы справа и слева.

Сформулируем теорему, которая дает достаточные условия сходимости тригонометрического ряда.

Теорема Дирихле. Пусть периодическая периода 2π функция f(x) удовлетворяет условиям:

1)f (x) и f ′(x) кусочно-непрерывны на отрезке [-π,π];

2)если х=с – точка разрыва функции f(x), то

f (c) = 12 ( f (c −0) + f (c +0)).

Тогда тригонометрический ряд Фурье функции f(x) сходится к f(x), то есть имеет место равенство

где коэффициенты an ,bn определяются формулами (2).

Доказательство. Пусть имеет место равенство (4) и пусть ряд (4) допускает почленное интегрирование. Найдем коэффициенты в равенстве (4). Для этого умножим обе части равенства (4) на cosnx и проинтегрируем его в пределах от -π до π ; в силу ортогональности тригонометрической системы получим an . Аналогично, умножая на sinnx и интегрируя, получим bn .

3.Ряды Фурье четных и нечетных функций.

Следствие 1 (ряд Фурье для четной функции). Пусть четная функция f(x)

удовлетворяет условиям теоремы Дирихле.

Тогда имеет место следующее разложение в ряд Фурье

Следствие 2 (ряд Фурье для нечетной функции). Пусть нечетная функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле.

Тогда имеет место следующее разложение в ряд Фурье

Для доказательства следствий 1 и 2 воспользуемся следующей леммой, которая геометрически очевидна (интеграл как площадь).

Лемма. Пусть на отрезке [-a,a] заданы две интегрируемые функции: четная функция g(x) и нечетная функция h(x).

Тогда справедливы равенства

Пример1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=x, (x [-π,π].

Так как функция нечетная, то согласно формулам (8) и (7) будем иметь:

В точках х=±π сумма этого ряда равна нулю.

Полагая в ряде (9) х = π2 , получим условно сходящийся ряд

5. Разложить по синусам в промежутке [0,1] функцию

f(x) = x .

6.Найти коэффициенты Фурье функции f (x) тригонометрического ряда

7. Разложить на отрезке [0, π] в тригонометрический ряд Фурье по косинусам функцию

<x ≤π.

8.Разложить на отрезке [0, π] в тригонометрический ряд Фурье по косинусам0 при 2

9. В промежутке [0,1] разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию

f(x) = 2x .

10.В промежутке [−1,1] разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию

f (x) =ex .

Контрольные вопросы по теме занятия:

1.Напомните определение ряда Фурье.

2.Дайте определение сходимости функционального ряда Фурье.

Заключение.

В лекции были рассмотрены ряды Фурье функций периодических на разных интервалах. Рассмотрено преобразование Фурье, а также получено решение уравнения Бесселя, возникающего при разделении переменных во многих задачах математической физики.

Введение.

Ряд Фурье составляет значительную часть теории тригонометрических рядов. Впервые ряд Фурье появился в работах Ж. Фурье (1807 г.), посвященных исследованию задач теплопроводности. В дальнейшем ряды Фурье получили широкое распространение как в теоретической, так и в прикладной математики. Так, при изучении темы «Уравнения математической физики» ряды Фурье применяются для нахождения решений уравнения теплопроводности, волнового уравнения с различными начальными и краевыми условиями. Значительное распространение получил также интегральное преобразование Фурье, которое применяется к широкому классу функций.

При разделении переменных во многих задачах математической физики, в частности в краевых задачах теории потенциала для цилиндрической области, приходят к решению так называемых уравнений Бесселя.

Первым систематическое изучение решения уравнения уравнений такого типа предпринял Ф. Бессель, но еще раньше они встречались в работах Д. Бернулли, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа.

1. Ряды Фурье функций с любым периодом 2L.

В ряд Фурье можно разлагать функции любого периода 2L. Имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть периодическая периода 2L функция f(x) на отрезке [-L,L] удовлеиворяет условиям теоремы Дирихле.

Тогда на отрезке [-L,L] имеет место разложение в ряд Фурье

(n = 0,1,2,...)

Доказательство. Рассмотрим функцию

равенства (10) и (11).

Замечание. Если функция f(x) – четная на отрезке [-L,L], то ее

ряд Фурье будет содержать только свободный член a20 и косинусы, если же

f(x) – нечетная функция, то ее ряд Фурье будет содержать только синусы. Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) с периодом 2, которая на

отрезке [-1,1] задается формулой f(x)=|x|.

Следовательно,

2. Ряды Фурье непериодических функций.

Пусть непериодическая функция f(x) определена на отрезке [-L,L]. Для того, чтобы разложить ее в тригонометрический ряд, на этом отрезке строим

Фурье на интервале ]0,L[. Для этого строим периодическую функцию g(x) периода 2L

f (x),0 < x < L, g(x) = f1( (x),−L < x < 0.

Так как функцию f1 (x) можно выбрать бесчисленным количеством

способов (лишь бы g(x) удовлетворяла условиям теоремы Дирихле), то получаем бесконечное множество рядов Фурье

для функции g(x).

В частности, функцию g(x) можно выбрать четной или нечетной.

Пусть, теперь, непериодическая функция f(x) определена на некотором интервале ]a,b[. Для того, чтобы эту функцию представить

рядом Фурье, строим произвольную периодическую функцию f1 (x) с

периодом 2L≥b-a, совпадающую на интервале ]a,b[ с функцией f(x), и и раскладываем ее в ряд Фурье.

Пример.

3. Комплексная форма ряда Фурье.

Преобразуем ряд (10) и его кэффициенты (11) с помощью формул Эйлера

(ωn = πLn)

В результате получим ряд

который называется тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме

функции f(x) периода 2L.

Принята, особенно в электротехнике и радиотехнике, следующая терминология. Выражения eiωn x называются гармониками,

числа ωn называются волновыми числами функции f(x). Совокупность волновых

чисел называется дискретным спектром. Коэффициенты (16) называют комплексной амплитудой.

Изучением свойств кэффициентов (16) занимается спектральный анализ. Пример 3. Найти тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме

функции f(x)=e ax , (a ≠0), при L=π.

Формулы (15) и (16) дают:

5. Разложить по синусам в промежутке [0,1] функцию

f(x) = x .

6.Найти коэффициенты Фурье функции f (x) тригонометрического ряда

<x ≤π.

8.Разложить на отрезке [0, π] в тригонометрический ряд Фурье по косинусам0 при 2

9. В промежутке [0,1] разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию

f(x) = 2x .

10.В промежутке [−1,1] разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию

f (x) =ex .

Заключение.

В лекции были рассмотрены ряды Фурье функций периодических на разных интервалах. Рассмотрено преобразование Фурье, а также получено решение уравнения Бесселя, возникающего при разделении переменных во многих задачах математической физики.

Введение.

В лекции рассматриваются предельный случай ряда Фурье, приводящий к интегралу Фурье. Записываются формулы интеграла Фурье для четных и нечетных функций. Отмечается, какую роль играет интеграл Фурье в различных приложениях. Интеграл Фурье представляется в комплексной форме, которая аналогична комплексному представлению ряда Фурье.

Будут получены формулы для преобразования и обратного преобразования Фурье, косинус и синус преобразования Фурье. Приводятся сведения о применении преобразования Фурье к задачам математической физики, электротехники.

1.Интеграл Фурье, как предельный случай ряда Фурье

Пусть функция f(x) определена на бесконечном интервале

]-∞,∞[ и абсолютно интегрируема на нем, то есть существует сходящийся интеграл

∞∫ f (x)dx .

−∞

Пусть далее, функция f(x) такова, что она разлагается в любом интервале ]-L.L[ в ряд Фурье

Выражение, стоящее справа в формуле (4), называется интегралом Фурье для функции f(x). Равенство (4) имеет место для всех точек, где функция непрерывна. В точках разрыва f(x) в левой части формулы (4) нужно заменить на