Лекции математика / 04 Лекции 13 Теория вероятностей

С одним и тем же пространством элементарных событий могут быть связаны различные случайные величины. Например, при выстреле по мишени можно рассматривать следующие случайные величины: U – количество выбитых очков; Y – ордината точки попадания в мишень; Z – расстояние точки попадания от центра мишени.

Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Определение. Дискретной называется случайная величина X , множество возможных значений которой конечно (x1 , x2 ,K, xn )либо счетно,

то есть перенумерованное бесконечное (x1 , x2 ,K, xk ,K).

Пример. Примерами дискретных случайных величин являются:

1)число дефектных элементов в приборе, состоящем из n элементов (возможные значения случайной величины

x1 = 0, x2 =1,Kxn+1 = n ); 2)число выстрелов до первого попадания в цель

(возможные значения случайной величины

x1 =1, x2 = 2, x3 = 3,K).

Определение. Непрерывной называется случайная величина X ,

возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал числовой оси (конечный или бесконечный), другими словами, если для любого значения х

1)величина износа детали после некоторого периода эксплуатации; 2)отклонение от цели по дальности точки падения снаряда; 3)изменение напряжения в энергосистеме за определенный промежуток

времени.

2.Законы распределения дискретных случайных величин.

Определение. Законом распределения случайной величины называется всякое описание (аналитическое, графическое, табличное), устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения случайной величины определяется её типом. Рассмотрим дискретную случайную величину X , которая принимает в

результате опыта одно из единственно возможных значений x1 , x2 ,K, xn , то есть произойдет одно из полной группы несовместных событий:

вероятностей всех возможных значений случайной величины Х равна единице, поэтому

n

∑ pi =1 (2)

i=1

Определение. Условие (2) называется условием нормировки. Определение. Законом распределения дискретной случайной величины

называется соответствие между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в первой строке которой находятся все возможные значения случайной величины, а во второй – соответствующие им вероятности:

Определение. Табличное представление закона распределения дискретной случайной величины называется рядом распределения.

Для наглядности прибегают к графическому изображению ряда распределения: по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат – соответствующие вероятности. Полученные точки соединяют отрезками прямых. Такая фигура называется

многоугольником распределения.

Многоугольник распределения, так же, как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину. Однако следует помнить, что

значений, а потому вероятности её появления в этих промежутках равны нулю (рис.1):

pi

xi

Рис.1.

Замечание. Сумма ординат вершин многоугольника распределения, представляющая собой сумму вероятностей всех возможных значений случайной величины, всегда равна единице.

Пример. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,6. Построить ряд распределения и многоугольник распределения числа попаданий в цель при трех независимых выстрелах.

Решение. Возможными значениями случайной величины Х (числа попаданий) являются:

x1 = 0 , x2 =1, x3 = 2 , x4 = 3.

Вероятности этих значений находим по формуле Бернулли:

Ряд распределения величины Х имеет вид:

Многоугольник распределения изображен на рис.2.

pi

0,5

0,4

0,3

О1 2 3

Рис.2.

Ряд распределения является исчерпывающей характеристикой дискретной случайной величины, однако для непрерывной случайной величины его построить нельзя. Действительно, множество возможных значений непрерывной случайной величины сплошь заполняют некоторый промежуток, и перечислить их в таблице нельзя. Для непрерывной

случайной величины не существует ряда распределения в том смысле, в каком он существует для дискретной величины.

Общей формой закона распределения случайной величины Х является функция распределения. Функция распределения является универсальной характеристикой, которая существует как для непрерывных случайных величин, так и для дискретных, и полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения.

Определение. Функцией распределения (интегральным законом распределения) случайной величины Х называется функция аргумента х,

Для дискретной случайной величины Х, которая может принимать значения x1 , x2 ,K, xn , функция распределения имеет вид:

F(x)= ∑P(X = xi ) (4)

xi <x

На практике функция распределения непрерывной случайной величины представляет собой непрерывную функцию, так как по мере увеличения числа возможных значений случайной величины и уменьшения интервалов между ними число скачков становится больше, а сами скачки меньше, ступенчатая кривая становится более плавной; случайная величина постепенно приближается к непрерывной величине, а её функция распределения – к непрерывной функции.

Замечание. Можно привести примеры смешанных случайных величин, для которых функция распределения в отдельных точках терпит разрыв.

Со свойствами функции распределения мы познакомимся с вами на следующей лекции.

3. Биномиальное распределение.

Среди законов распределения для дискретных случайных величин наиболее распространенным является биномиальное распределение, которое имеет место в следующих случаях.

Пусть случайная величина Х - это число появлений события А при n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p (вероятность не появления q =1 − p ).

Возможными значениями случайной величины Х являются: x0 = 0, x1 =1,K, xn = n .

Вероятности этих возможных значений вычисляются по формуле Бернулли:

Определение. Распределение дискретной случайной величины, ряд распределения которой задается формулой (5), называется биномиальным.

Пример. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Решение. Обозначим через Х дискретную случайную величину – число отказавших элементов в одном опыте. Возможными значениями Х являются:

элемента).

Отказы элементов независимы один от другого, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что n = 3, p = 0,1, q =1 − 0,1 = 0, 9 , получим:

1.Функцияраспределениявероятностейслучайнойвеличины, еёсвойства

Как было сказано выше, универсальной характеристикой, полностью характеризующей любую случайную величину с вероятностной точки зрения, является функция распределения. Напомним, что функция распределения случайной величины Х - это такая функция аргумента х, которая задает вероятность выполнения неравенства X < x , то есть:

F(x)= P(X < x).

Функция распределения обладает следующими свойствами:

Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0;1], то есть

0 ≤ F(x)≤1.

Замечание. Неравенство 0 ≤ F(x)≤1 означает, что часть графика функции распределения находится на оси Ox , часть – на прямой y =1, а

часть – между ними.

Свойство 2. Функция распределения есть неубывающая функция, то

есть

F(x2 )≥ F(x1 ), если x2 > x1 .

Следствие 1.Вероятность попадания значений случайной величины в данный промежуток равна приращению функции распределения на этом промежутке.

Следствие 2. Вероятность попадания значений непрерывной случайной величины в данную точку равна нулю, то есть

P(x = x1 )= 0.

Следствие 3. P(a ≤ x < b)= P(a < x < b).

Свойство 3. Справедливы следующие предельные соотношения: F(− ∞)= 0 , F(+ ∞)=1 .

Для дискретной случайной величины Х, которая может принимать значения x1 , x2 ,K, xn , функция распределения имеет вид:

F(x)= ∑P(X = xi ) (1)

xi <x

Пример. Производится один выстрел по мишени с вероятностью попадания 0,3. Построить функцию распределения числа попаданий.

Решение. Обозначим число попаданий через Х , тогда ряд распределения для случайной величины Х имеет вид:

График функции приведен на рис.1. Из графика видно, что функция распределения дискретной величины представляет собой разрывную ступенчатую функцию, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины. Сумма всех скачков функции F(x) равна единице.

F(x)

x

O 1 2

Рис.1.

2.Математическое ожидание, его свойства.

Мы уже знаем, что закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Зная закон распределения случайной величины, можно указать, где располагаются возможные значения случайной величины и какова вероятность появления ее в том или ином интервале.

Однако при решении многих практических задач нет необходимости характеризовать случайную величину полностью, а достаточно иметь о случайной величине только некоторое общее представление. Зачастую достаточно бывает указать не весь закон распределения, а только лишь некоторые характерные черты закона распределения.

В теории вероятностей для общей характеристики случайной величины используются некоторые величины, которые носят название числовых характеристик случайной величины. Основное их назначение – в сжатой форме выразить наиболее существенные особенности того или иного распределения.

О каждой случайной величине необходимо прежде всего знать ее некоторое среднее значение, около которого группируются возможные значения случайной величины, а также какое-либо число, характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего. Кроме указанных числовых характеристик, для более полного описания случайной величины используют ряд других числовых характеристик. Все они помогают в той или другой мере уяснить характерные черты распределения случайной величины. Такими характеристиками являются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности.

Обозначается математическое ожидание через М(Х), или mx , или а.

Если дискретная величина принимает конечное число значений х1,х2,…,хn соответственно с вероятностями p1,p2,…,pn, то по определению имеем

приближенно равно среднему арифметическому ее возможных значений. Поэтому математическое ожидание случайной величины называется ее

средним значением или центром распределения.

Из определения математического ожидания легко получить его

2)Среднее значение постоянной величины равно этой постоянной величине:

3)Среднее значение суммы любых случайных величин равно сумме их средних значений:

4)Среднее значение произведения независимых случайных величин равно произведению их средних значений:

успехов в серии из n однотипных испытаний, в каждом из которых вероятность успеха одна и та же и равна p (величина μn распределена по

биномиальному закону).

Решение. Пусть ξk - число успехов в одном, k-м (k = 1, 2, …,n)

n

испытании серии. Так как M(ξk )=0q+1p=p для любого k, а μn = ∑ξk , то,

k =1

n

используя (4), получим ответ: M (μn ) = ∑M (ξk ) = np.

k =1

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х , возможные значения которой принадлежат отрезку [a; b], называется определенный интеграл

M [X ]= ∫b xf (x)dx .

a

Если возможные значения непрерывной случайной величины Х принадлежат всей оси Ox , то математическое ожидание определяется интегралом:

простую механическую интерпретацию. Действительно, распределение вероятностей случайной величины можно интерпретировать механически как распределение масс на прямой. Вся распределенная на прямой масса принимается за единицу. Дискретной случайной величине Х , имеющей

Непрерывной случайной величине соответствует непрерывное распределение масс на прямой с плотностью в каждой точке, равной плотности вероятности в этой точке. Тогда математическое ожидание, определяемое по формуле (5), есть не что иное, как абсцисса центра тяжести

стержня, так как (5) совпадает с выражением для координаты центра тяжести стержня, имеющего массу, равную единице.

3.Дисперсия, её свойства.

Практика показывает, что для более полного описания случайной величины необходимо ввести еще меру рассеивания, разброса значений, принимаемых случайной величиной Х, вокруг её математического ожидания. Введем полезное в дальнейшем понятие.

0

Определение. Случайная величина X = X − M ( X ) называется

центрированной случайной величиной (флюктуацией).

Основными характеристиками разброса случайной величины относительно среднего значения служат дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Определение. Дисперсией D(X) (рассеянием) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата её флюктуации:

k =1

Для непрерывной случайной величины дисперсия выражается формулой:

D(X )= +∞∫(x − mx )2 f (x)dx .

−∞

Из формулы (7) видно, что физическим аналогом дисперсии случайной величины является центральный момент инерции стержня, на котором распределена (дискретно или непрерывно с плотностью равной f(x) ) единичная масса. Чем меньше разброс массы вокруг центра тяжести стержня, тем меньше момент инерции стержня.

Рассмотрим свойства дисперсии. 1)Дисперсия случайной величины неотрицательна.

2)Дисперсия случайной величины Х равна разности среднего значения квадрата случайной величины и квадрата её среднего значения:

3)Дисперсия постоянной величины равна нулю.

4)Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

Таким образом, дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. Отметим, что дисперсия разности двух независимых случайных величин также равна сумме их дисперсий.

Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины. Если нужно получить оценку рассеивания случайной величины в тех же единицах, то используют среднеквадратическое отклонение.

Определение. Среднеквадратическим отклонением σ(X) случайной величины Х называется корень квадратный из её дисперсии:

1.Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Функция распределения непрерывной случайной величины является ее исчерпывающей вероятностной характеристикой. Но она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси. Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины в окрестностях различных точек дается функцией, которая называется плотностью распределения вероятности или дифференциальным законом распределения случайной величины. В этом вопросе мы рассмотрим плотность распределения вероятности и её свойства.

приходится на единицу длины этого участка.

Считая функцию распределения F (х) дифференцируемой, перейдем в

Предел отношения вероятности попадания непрерывной случайной величины на элементарный участок от х до х+∆х к длине этого участка ∆х, когда ∆х стремится к нулю, называется плотностью распределения случайной величины в точке х и обозначается f (x).

В силу равенства (2) плотность распределения f (х) равна производной от функции распределения F (х), т. е.

f (x)= F ′(x).