1

Введение.

На прошлой лекции мы уже отметили, что для функции заданной на некоторой поверхности можно использовать ставший обычным для нас прием введения нового понятия интеграла с помощью соответствующим образом построенных интегральных сумм. Сегодня на типичных задачах, связанных с функциями, определенными на поверхностях – задаче о массе материальной поверхности и задаче о вычислении потока жидкости через поверхность - мы рассмотрим новые понятия – понятия поверхностных интегралов первого и второго рода, укажем на их основные приложения, связь между ними и изучим их основные свойства .

При изучении функций, заданных на поверхности, следует различать односторонние поверхности и ориентируемые (или двусторонние ) поверхности. Основные приложения поверхностных интегралов связаны с теорией поля, с изучением электромагнитных явлений, с гидроаэродинамикой и акустикой.

1. Поверхностные интегралы первого рода, их основные свойства и

вычисление

Возьмем на поверхности П произвольную точку М и проведем через нее вектор n(M ) , нормальный к поверхности П. Вектор нормали является векторфункцией точки М поверхности П. Если при обходе поверхности нормаль возвращается в ту же точку с тем же направлением, то поверхность называется двусторонней. Если же направление нормали меняется на противоположное, то такие поверхности называются односторонними. Примером односторонней поверхности является известный лист Мебиуса.

Выбор одной из сторон двусторонней поверхности называется ориентацией поверхности.

Будем считать положительным направлением обхода линии Λ такое направление, при движении по которому ориентированная поверхность П остается слева по отношению к точке, совершающей обход. При изменении ориентации поверхно-

2

k=1

(3)представляет собой площадь чешуйчатой поверхности, образованной всеми кусками плоскостей. Устремляя диаметр разбиения d к нулю, в пределе получим выражение площади поверхности через двойной интеграл

Пусть на поверхности П задана функция f (x, y, z). Рассмотрим разбиение {Πk } поверхности П на части с площадями { σk } и диаметрами {dk }. Наибольший

вует, называется поверхностным интегралом первого рода от функции f (x, y, z) по

3

По теореме о среднем получаем

2. Поверхностные интегралы второго рода, их основные свойства и

вычисление

Пусть П – гладкая ограниченная ориентированная поверхность, на которой задана функция f (x, y, z), а n(x, y, z) - единичная нормаль к П в соответствующей

n(N k ). Составим суммы вида

4

Из определения поверхностных интегралов второго рода вытекает, что они зависят от выбора стороны поверхности. После выбора стороны поверхности поверхностные интегралы второго рода можно рассматривать как поверхностные интегра-

Интеграл в правой части равенства (13) называется общим поверхностным

ΠΦ1

где Φ1 - проекция П на плоскость xOy. Если Φ2 проекция П на плоскость xOz, а Φ3 - проекция П на плоскость yOz., то верны и следующие формулы

6

Пример 3. Вычислить ∫∫z cos γdσ , где П – внешняя сторона полусферы

П

x2 + y 2 + z 2 =1. Расположенной над плоскостью xOy, а γ - острый угол вектора нормали к П с осью Oz.

Решение. Имеем Ι = ∫∫z cosγdσ = ∫∫zdxdy . Проекцией П на плоскость xOy

ПП

3. Приложения поверхностных интегралов

Рассмотрим тело V, ограниченное кусочно-гладкими поверхностями

S1 : z = z0 (x, y)

S2 : z = z1 (x, y)

и цилиндрической поверхностью S3 , образующие которой параллельны оси z. Объем V тела , очевидно равен разности интегралов

V= ∫∫z1 (x, y)dxdy − ∫∫z2 (x, y)dxdy ,

ΦΦ

где Ф проекция поверхностей на плоскость xOy.

Вводя поверхностные интегралы, можно это равенство переписать в виде

V = ∫∫zdxdy + ∫∫zdxdy

S1 S2

причем интегралы берутся по внешней стороне поверхности. Прибавляя к этим интегралам равный нулю интеграл

∫∫zdxdy

S3

распространенный по внешней стороне цилиндрической поверхности, полу-

чим

7

∫∫zdxdy ,

S

где S = S1 + S2 + S3

Можно показать, что эта формула имеет место для тел, ограниченных произвольными кусочно-гладкими поверхностями.

Задание на самоподготовку:

1.Вычислите поверхностные интегралы первого рода ∫∫ f (x, y, z)dσ

П

лежащей в 1-ом октанте.

б) ∫∫ x2 + y 2 dxdy по нижней стороне круга x2 + y 2 ≤ R2 .

П

Контрольные вопросы по теме занятия:

1.Дайте определение поверхностного интеграла.

2.Каков геометрический и физический смысл поверхностного интеграла.

3.Каковы приложения поверхностных интегралов.

Заключение.

Заканчивая процессы определения нового типа интегралов, остановимся на обсуждении основы всякого процесса интегрирования, будь то обыкновенный простой определенный интеграл, или многомерный (двойной или тройной), или криволинейный, или поверхностный.

Прежде всего мы имеем дело с определенной областью некоторого пространства, причем этот термин «пространство» следует понимать в весьма широком значении: это может быть и прямая, и плоскость, и поверхность в пространстве, и наше обычное трехмерное пространство и т.д. При этом важно только, чтобы, во-первых, две любые точки нашего пространства были отделены определенным расстоянием и, во-вторых, область и ее части имела меру (например, площадь для плоской области и поверхности, длину для линии, объем для тела трехмерного).Далее, если в этой области распределена некоторая субстанция ,т.е. нечто такое, чего приходится определенная порция на всякую часть области (это может быть масса, электрический заряд, теплота, количество осадков, выпадающих на ту или иную часть области), то можно использовать процесс определения соответствующего интегрирования – перехода к пределу в построенной интегральной сумме. Вычисление любого интеграла, полученного таким образом, сводится к вычислению простых определенных интегралов.