
Лекции математика / 04 Лекции 09 Поверхностные интегралы
.pdf
1
Введение.
На прошлой лекции мы уже отметили, что для функции заданной на некоторой поверхности можно использовать ставший обычным для нас прием введения нового понятия интеграла с помощью соответствующим образом построенных интегральных сумм. Сегодня на типичных задачах, связанных с функциями, определенными на поверхностях – задаче о массе материальной поверхности и задаче о вычислении потока жидкости через поверхность - мы рассмотрим новые понятия – понятия поверхностных интегралов первого и второго рода, укажем на их основные приложения, связь между ними и изучим их основные свойства .
При изучении функций, заданных на поверхности, следует различать односторонние поверхности и ориентируемые (или двусторонние ) поверхности. Основные приложения поверхностных интегралов связаны с теорией поля, с изучением электромагнитных явлений, с гидроаэродинамикой и акустикой.
1. Поверхностные интегралы первого рода, их основные свойства и
вычисление
Возьмем на поверхности П произвольную точку М и проведем через нее вектор n(M ) , нормальный к поверхности П. Вектор нормали является векторфункцией точки М поверхности П. Если при обходе поверхности нормаль возвращается в ту же точку с тем же направлением, то поверхность называется двусторонней. Если же направление нормали меняется на противоположное, то такие поверхности называются односторонними. Примером односторонней поверхности является известный лист Мебиуса.
Выбор одной из сторон двусторонней поверхности называется ориентацией поверхности.
Будем считать положительным направлением обхода линии Λ такое направление, при движении по которому ориентированная поверхность П остается слева по отношению к точке, совершающей обход. При изменении ориентации поверхно-
сти положительное направление линии |
Λ меняется на противоположное. |
|
||||||
Найдем площадь поверхности. Рассмотрим в пространстве |
поверхность |
П, |
||||||
заданную уравнением вида |
z = z(x, y), |
где |
z(x, y) непрерывно дифференцируемая |
|||||
функция. Пусть проекция поверхности |
П на плоскостьx xOy есть |
Ф. Разобьем |
Ф |
|||||
на ячейки |
Фk и выберем в каждой ячейке |
точку N k (xk , yk ). Проведем в точке |
||||||
M k (xk , yk , zk ) |
касательную плоскость Pk |
к поверхности П. Угол между нормалью к |
||||||
Pk и осью Oz обозначим через γk . Известно, что |
|
|
||||||
|
cosγk |
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
1+[z′x (Nk )]2 +[z′y (Nk )]2 |
|
(1) |
|||||
|
|
|
|

2
Обозначим через |
ρk площадь той части плоскости |
Pk , которая проектирует- |
||
ся в Фk . Тогда |
|
|
|
|
ρk = |
Sk |
= 1 +[z′x (Nk )]2 +[z′y (Nk )]2 |
Sk |
(2) |
|
||||
|
cosγk |
|
|
|
где Sk - площадь ячейки Фk . Положим |
|
|
||
|
n |
|
|
|
ωn = ∑ ρk |
|
(3) |
k=1
(3)представляет собой площадь чешуйчатой поверхности, образованной всеми кусками плоскостей. Устремляя диаметр разбиения d к нулю, в пределе получим выражение площади поверхности через двойной интеграл
|
1 + [z′x (x, y)]2 |
+ [z′y (x, y)]2 dS = limd →0 |
n |
|
Σ = ∫∫ |
∑ ρk |
(4) |
||
Ф |
|
|
k =1 |
|
Пусть на поверхности П задана функция f (x, y, z). Рассмотрим разбиение {Πk } поверхности П на части с площадями { σk } и диаметрами {dk }. Наибольший
из диаметров обозначим через d |
и назовем диаметром разбиения. В каждой частич- |
|||||||||||||
ной поверхности Πk |
отметим произвольную точку N k ( |
|
k , |
|
k , |
|
k ), которую назовем |
|||||||
x |
y |
z |
||||||||||||
отмеченной точкой и составим сумму парных произведений |
|
|
|
|||||||||||
|
ωn = ∑n |
f ( |
|
k , |
|
k , |
|
k ) σk |
(5) |
|||||
|
x |
y |
z |
|||||||||||
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 1. |
Предел интегральных сумм (5) при |
d → 0 , если он сущест- |
вует, называется поверхностным интегралом первого рода от функции f (x, y, z) по
поверхности П и обозначается |
∫∫ f (x, y, z)dσ , т.е. |
|
|
|
|
|||||
|
|
Π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ f (x, y, z)dσ = limd →0 ∑n |
f ( |
|
k , |
|
k , |
|
k ) σk |
(6) |
|
|
x |
y |
z |
|||||||
|
Π |
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства поверхностного интеграла первого рода аналогичны соответствую- |
||||||||||
щим свойствам криволинейного интеграла первого рода. |
|
|||||||||
Перейдем к вычислению поверхностного интеграла первого рода. |
|
|||||||||
Пусть функция |
f (x, y, z) непрерывна, а следовательно и интегрируема на П. |
|||||||||
Обозначим через {Πk } |
разбиение поверхности, а через |
{Φk } - проекцию {Πk } |
на |
|||||||
плоскость xOy. Согласно формуле (4), площадь |
σ |
k каждой ячейки есть |

3
σk = ∫∫ 1 + [z′x (x, y)]2 + [z′y (x, y)]2 dxdy |
(7) |
Фk |
|
По теореме о среднем получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σk |
= |
|
1 + [z′x ( |
|
|
k , |
|
k )]2 + [z′y ( |
|
k , |
|
|
|
|
k )]2 |
Sk |
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Составим интегральную сумму для функции |
f (x, y, z) |
по разбиению |
{Πk } |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∑n f ( |
|
|
k , |
|
|
k , |
|
k ) σk |
= ∑n f ( |
|
k , |
|
k , z( |
|
k , |
|
k )) |
1 + [z′x ( |
|
k , |
|
|
|
|
k )]2 + [z′y ( |
|
k , |
|
|
k )]2 Sk (9) |
|||||||||||||||||||||||||
x |
|
y |
z |
x |
y |
x |
y |
x |
|
y |
x |
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Переходя в (9) |
к пределу при |
d → 0 , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
∫∫ f (x, y, z)dσ = ∫∫ f (x, y, z(x, y)) |
|
1 + [z′x (x, y)]2 |
+ [z′y (x, y)]2 dxdy |
(10) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Π |
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 1. Вычислить I = ∫∫(6x + 4 y + 3z)dσ по части плоскости x + 2 y + 3z = 6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
расположенной в 1-ом октанте. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Решение: Поверхность П задана уравнением |
z = |
(6 − x − 2 y), где функция |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z(x, y)= |
1 |
|
(6 − x − 2 y) и ее частные производные |
z′x (x, y)= − |
1 |
, |
z |
′y (x, y)= − |
2 |
. |
По фор- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||
муле (10) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
I = ∫∫(6x + 4 y + 3z)dσ = ∫∫(6x + 4 y + 3(6 − x − 2 y)) 1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ |
− |
|
|
|
|
|
+ − |
|
|
dS = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Π |
|
|
|
|
|
|
Φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
3 6−2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
|
|
|
|
∫∫(5x + 2 y + 6)dS = |
|
|
|
|
∫ |
∫(5x + 2 y + 6)dx dy =54 14 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Φ |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Поверхностные интегралы второго рода, их основные свойства и
вычисление
Пусть П – гладкая ограниченная ориентированная поверхность, на которой задана функция f (x, y, z), а n(x, y, z) - единичная нормаль к П в соответствующей
точке. Произведем разбиение |
{Πk } поверхности П и обозначим площадь ячейки Πk |
|
через |
σk . На каждой ячейке |
Πk выберем произвольную точку N k и обозначим |
через |
αk , βk γ k углы, образуемые с координатными осями нормальным вектором |
n(N k ). Составим суммы вида

4
|
n |
|
|
|
|
ωn(1) = ∑ f (N k )cosγ k |
σk |
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
ωn(2) = ∑ f (N k )cos βk |
σk |
(11) |
|
|
k =1 |
|
|
|
|
n |
|
σk , |
|
|
ωn(3) = ∑ f (N k )cosαk |
|
||
|
k =1 |
|
|
|
которые называются интегральными суммами второго рода, соответствующи- |
||||
ми разбиению {Πk }, с отмеченными точками N k . |
|
|
||
Определение 2. Пределы интегральных сумм (11) при d → 0 (если они су- |
||||
ществуют) называются поверхностными интегралами второго рода от функции |
|
|||
f (x, y, z) по поверхности П и обозначаются соответственно |
|
|||
∫∫ f (x, y, z)cosγdσ , |
∫∫ f (x, y, z)cos βdσ , |
∫∫ f (x, y, z)cosαdσ |
(12) |
|
Π |
Π |
Π |
|
|
Из определения поверхностных интегралов второго рода вытекает, что они зависят от выбора стороны поверхности. После выбора стороны поверхности поверхностные интегралы второго рода можно рассматривать как поверхностные интегра-
лы первого рода |
по поверхности |
|
П |
от функций |
f (x, y, z)cosγ (x, y, z), |
|||||||||||||
f (x, y, z)cos β(x, y, z), |
f (x, y, z)cosα(x, y, z) . |
|
|
(M )= P(M )i +Q(M ) |
|
+ R(M ) |
|
|
|
|||||||||
|
Пусть задана векторная функция |
|
|
|
|
|
и вектор нор- |
|||||||||||
|
a |
j |
k |
|||||||||||||||
мали |
|
|
(M )= cosαi + cos β |
|
+ cosγ |
|
. С |
учетом |
того, что скалярное |
произведение |
||||||||
n |
j |
k |
|
|
(M ) |
|
(M ) является непрерывной скалярной функцией на |
П, и поэтому не зависит |
||||
|
a |
n |
|||||||
от выбора системы координат, можно записать |
|
||||||||
|
|
|
|
∫∫ |
|
(M ) |
|
(M )dσ = ∫∫(P cosα +Q cos β + R cosγ )dσ |
(13) |
|
|
|
|
a |
n |
||||
|
|
|
|
Π |
|
|
|
Π |
|
Интеграл в правой части равенства (13) называется общим поверхностным
интегралом второго рода. |
|
Пусть {Πk } - разбиение П, а {Φk }проекция |
{Πk } на плоскость xOy. В этом |
случае |
|
∫∫R(x, y, z)cosγdσ = ∫∫R(x, y, z(x, y))dxdy |
(14) |
ΠΦ1
где Φ1 - проекция П на плоскость xOy. Если Φ2 проекция П на плоскость xOz, а Φ3 - проекция П на плоскость yOz., то верны и следующие формулы
5 |
|
∫∫P(x, y, z)cos βdσ = ∫∫P(x, y, z(x, y))dxdz |
(15) |
ΠΦ1
∫∫Q(x, y, z)cosαdσ = ∫∫Q(x, y, z(x, y))dydz |
(16) |
ΠΦ1
Формулы (14)-(16) служат для вычисления поверхностных интегралов второго рода, и определяют связь между поверхностными интегралами первого и второго рода.
Объединяя формулы (14)-(16) можно написать
∫∫Pdydz +Qdzdx + Rdxdy = ∫∫(P cosα +Q cos β + R cosγ )dσ |
(17) |
||||||
Π |
|
Π |
|
|
|
|
|
Для параметрически заданной поверхности |
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) |
|
|||||
приведем общую формулу, сводящую поверхностный интеграл второго рода к |
|
||||||
обыкновенному двойному интегралу |
|
|
|
|
|
||
∫∫Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ±∫∫(PA +QB + RC)dσ |
|
(18) |
|||||
Π |
|
Π |
|
|
|
|
|
где А, В, С определители матрицы |
x′ |
y′ |
z′ |
|
|
||
u |
u |
u . |
|
||||
|
|
|
|
yv′ |
|
|
|
|
|
|
xv′ |
zv′ |
|
|
|
Пример 2. Вычислить |
I = ∫∫xdydz + ydzdx + zdxdy , где П – верхняя сторона час- |
||||||
|
|
Π |
|
|
|
|
|
ти плоскости x + z −1 = 0 , отсеченной плоскостями |
y = 0, |
y = 4 и лежащей в 1-ом |
|||||
октанте. |
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Согласно определению, имеем |
|
|
|
|
|||
|
I = ∫∫x(y, z)dydz + ∫∫ydxdz + ∫∫z(y, z)dydx |
|
|||||
|
|
Φ1 |
Π |
|
Φ2 |
|
|
где Φ1 и |
Φ2 - проекции П на плоскости yOz и xOy. Так как П парал- |
||||||
лельна оси Oy, то |
∫∫ydxdz = 0 . Используя формулы (14) |
и (16), соответственно по- |
|||||
|
Π |
|
|
|
|
|
|
лучим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
∫∫zdxdy = ∫∫(1 − x)dydx = ∫dy∫(1 − x)dx = 2, |
|
|||||
|
Π |
Φ1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
|
|
∫∫xdzdy = ∫∫(1 − z)dydz = ∫dy∫(1 − z)dz = 2. |
|
|||||
|
Π |
Φ1 |
0 |
|
0 |
|
|
Итак, I = 2 + 0 + 2 = 4.

6
Пример 3. Вычислить ∫∫z cos γdσ , где П – внешняя сторона полусферы
П
x2 + y 2 + z 2 =1. Расположенной над плоскостью xOy, а γ - острый угол вектора нормали к П с осью Oz.
Решение. Имеем Ι = ∫∫z cosγdσ = ∫∫zdxdy . Проекцией П на плоскость xOy
ПП
является круг |
Φ: x2 + y 2 ≤1. Находим |
Ι = ∫∫ 1 − x2 − y 2 dxdy . Переходя к поляр- |
|||||||||||
ным координатам получим |
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2π |
1 |
2 |
2π (1 − r 2 )2 |
|
1 |
1 2π |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Ι = ∫dϕ∫ |
1 − r |
rdr = ∫ |
− |
|
|
|
|
dϕ = |
|
∫dϕ = |
|
π |
|
3 |
|
|
3 |
3 |
|||||||||
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
3. Приложения поверхностных интегралов
Рассмотрим тело V, ограниченное кусочно-гладкими поверхностями
S1 : z = z0 (x, y)
S2 : z = z1 (x, y)
и цилиндрической поверхностью S3 , образующие которой параллельны оси z. Объем V тела , очевидно равен разности интегралов
V= ∫∫z1 (x, y)dxdy − ∫∫z2 (x, y)dxdy ,
ΦΦ
где Ф проекция поверхностей на плоскость xOy.
Вводя поверхностные интегралы, можно это равенство переписать в виде
V = ∫∫zdxdy + ∫∫zdxdy
S1 S2
причем интегралы берутся по внешней стороне поверхности. Прибавляя к этим интегралам равный нулю интеграл
∫∫zdxdy
S3
распространенный по внешней стороне цилиндрической поверхности, полу-
чим

7
∫∫zdxdy ,
S
где S = S1 + S2 + S3
Можно показать, что эта формула имеет место для тел, ограниченных произвольными кусочно-гладкими поверхностями.
Задание на самоподготовку:
1.Вычислите поверхностные интегралы первого рода ∫∫ f (x, y, z)dσ
|
П |
|
а) П – часть плоскости |
x + y + z = a , лежащая в первом октанте; |
f (x, y, z) =1 |
б) П – полусфера z = |
1 − x2 − y 2 , f (x, y, z) = x . |
|
2.Вычислите поверхностные интегралы второго рода: |
2x + 3y + z = 6 , |
|
а) ∫∫− xdydz + zdzdx + 5dxdy по верхней стороне части плоскости |
П
лежащей в 1-ом октанте.
б) ∫∫ x2 + y 2 dxdy по нижней стороне круга x2 + y 2 ≤ R2 .
П
Контрольные вопросы по теме занятия:
1.Дайте определение поверхностного интеграла.
2.Каков геометрический и физический смысл поверхностного интеграла.
3.Каковы приложения поверхностных интегралов.
Заключение.
Заканчивая процессы определения нового типа интегралов, остановимся на обсуждении основы всякого процесса интегрирования, будь то обыкновенный простой определенный интеграл, или многомерный (двойной или тройной), или криволинейный, или поверхностный.
Прежде всего мы имеем дело с определенной областью некоторого пространства, причем этот термин «пространство» следует понимать в весьма широком значении: это может быть и прямая, и плоскость, и поверхность в пространстве, и наше обычное трехмерное пространство и т.д. При этом важно только, чтобы, во-первых, две любые точки нашего пространства были отделены определенным расстоянием и, во-вторых, область и ее части имела меру (например, площадь для плоской области и поверхности, длину для линии, объем для тела трехмерного).Далее, если в этой области распределена некоторая субстанция ,т.е. нечто такое, чего приходится определенная порция на всякую часть области (это может быть масса, электрический заряд, теплота, количество осадков, выпадающих на ту или иную часть области), то можно использовать процесс определения соответствующего интегрирования – перехода к пределу в построенной интегральной сумме. Вычисление любого интеграла, полученного таким образом, сводится к вычислению простых определенных интегралов.