Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет инженерных технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекции математика / 04 Лекции 10 Дифференциальные уравнения.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.04.2015

Размер:

627.84 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Производя необходимые вычисления и, делая обозначения

X = Lω −	1	, Y = Lω +	1	, Z = X 2 + R2 ,
	Cω		Cω

в результате получаем решение неоднородного уравнения (12)-(13) в виде

J (t)= −	Ee−δt	sin(ω1t −γ1 )+	E	sin(ωt −γ ),
	Zω1 LC
			Z

где tgγ1 =	Xω	,	tgγ =	X	.
	Yδ
				R

Контрольные вопросы по теме занятия:

11.Напомните понятие о фундаментальной системе решений.

12.Дайте определение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

13.Вспомните, как находится общее решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Заключение.

Влекции приведены алгоритмы решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, однородных и неоднородных. Рассмотрена задача о колебательном процессе в электрической цепи с сопротивлением, самоиндукцией и емкостью, если в ней действует напряжение, поступающее извне. Показано, что аналогичным образом решаются дифференциальные уравнения механических колебаний, как свободных, так и вынужденных.

Вкачестве литературы, предлагаемой на самоподготовку, кроме конспекта лекции, можно рекомендовать учебное пособие Н.С.Пискунов "Дифференциальное

иинтегральное исчисления", том 2, глава XIII, параграфы 21, 24, 26 - 28.

При изучении параграфа 21 следует обратить особое внимание на частный случай решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, когда корни характеристического уравнения чисто мнимые.

В параграфе 23 рассмотреть все случаи доказательства теоремы о частном решении линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Параграфы 26-28 посвящены задаче прикладной механики - колебаниям груза на упругой рессоре. Колебательные процессы в электрической цепи подробно освещаются в дополнительной литературе: А.Ф.Бермант, И.Г.Араманович "Краткий курс математического анализа", глава X, параграф 3, п. 175.

Введение.

В лекции рассматриваются основные понятия теории систем дифференциальных уравнений на примере нормальных систем, формулируется

задача Коши, приводится метод исключения для ее решения. Рассматривается нормальная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и ее решение в случае простых корней характеристического уравнения. Решение записывается с использованием теоремы о структуре общего решения, доказательство которой проводится аналогично теореме для обыкновенных дифференциальных уравнений.

1. Нормальная система дифференциальных уравнений

При изучении многих реальных процессов, явлений, описание которых с помощью одной функции невозможно, необходимо использовать системы дифференциальных уравнений. Отыскание векторных линий электрического и магнитного полей, решение задач динамики материальной точки, решение задач электротехники для нескольких электрических цепей, находящихся в электромагнитной связи, и многие другие задачи науки и техники приводят к исследованию свойств систем дифференциальных уравнений и их решений.

Мы рассмотрим основные понятия теории систем дифференциальных уравнений на примере нормальных систем, сформулируем задачу Коши для системы дифференциальных уравнений и приведем один из основных методов ее решения – метод исключения неизвестных функций. Для исследования систем дифференциальных уравнений привлекается удобный и компактный способ представления системы в векторно-матричной форме записи. Приводится алгоритм Эйлера для получения фундаментальной системы решений в случае простых корней характеристического уравнения. Решение записывается с помощью теоремы о структуре общего решения, имеющей аналог для обыкновенных дифференциальных уравнений.

На практике часто встречаются задачи, приводящие к таким дифференциальным уравнениям, которые содержат несколько искомых функций одного аргумента. Во многих случаях эти уравнения можно представить в специальной форме, называемой нормальной.

Определение 1. Нормальной системой обыкновенных дифференциальных уравнений порядка n называется совокупность n дифференциальных уравнений первого порядка вида

y / = f	i	(x, y , y	2	,..., y	n	) (i =1,2,..., n),			(1)
i	i	1	2		n
где х – независимая переменная;	y1, y2,…,yn – искомые функции от х; y /						, y /	,..., y / −
						1	2		n
их первые производные; а функции fi - заданные непрерывные функции от									(n+1)-
ой переменной.

Отметим две особенности, характерные для записи системы дифференциальных уравнений в виде (1).

1)В нормальной системе все уравнения разрешены относительно производных искомых функций.

2)В нормальной системе производные искомых функций имеют первый порядок.

Кнормальному виду удается привести многие системы дифференциальных уравнений, встречающиеся в приложениях.

Определение 2. Решением нормальной системы дифференциальных уравнений

(1)называется совокупность n дифференцируемых функций y1 (x), y2 (x),..., yn (x) ,

такая, что для нее каждое уравнение системы (1) превращается в тождество.

x2	( y / )2 − z = 0
Пример 1. Рассмотрим систему	− 2y = 0
z /	− 2y = 0

Две функции y = x, z = x2 , являются решением этой системы.

Действительно, подставляя их в нашу систему, получаем тождества для всех вещественных чисел х

x2 1 − x2 ≡ 0 2x − 2 x ≡ 0

Решение системы (1) может быть получено в неявной	форме как
совокупность n соотношений
Φi (x, y1 , y2 ,..., yn ) = 0 (i =1,2,..., n) ,	(2)

которые определяют набор n неявных функций y1 (x), y2 (x),..., yn (x) , являющийся

решением системы (1). Подобные наборы функций вида (2) называют общим
интегралом системы дифференциальных уравнений.
Пример 2. Пусть дана система
y /	=		z			,
y /	=		(z − y)2			,
			(z − y)2
z /	=		y		.

		(z − y)2
		(z − y)2
Легко видеть, что соотношения
y 2 − z 2 = C , ( y − z)				2 + 2x = C			2
1							2
определяют решение нашей системы – ее общий интеграл.
Задача Коши для системы дифференциальных уравнений (1) формулируется

так: найти решение y1 (x), y2 (x),..., yn (x) этой системы, удовлетворяющее условиям

yi (x0 ) = yi0 (i =1,2,..., n) ,

(3)

где x0 , y10 ,..., yn0 - заданные числа, называемые начальными условиями (данными).

Решение задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений (1) существует не всегда.

Теорема (о существовании и единственности решения задачи Коши).

Пусть правые части нормальной системы (1) и их частные производные по переменным y1,y2,…,yn определены и непрерывны в некоторой области R n+1 переменных x, y1 ,..., yn . Тогда в окрестности точки x0 , y10 ,..., yn0 существует единственное решение задачи Коши (1), (3).

Определение 3 Совокупность n функций
yi = yi (x, C1 , C2 ,..., Cn ), (i =1,..., n),	(4)
зависящих от n параметров С1,С2,…,Сn и имеющих непрерывные	частные
производные по х, называется общим решением системы (1), если:

1.соотношения (4) можно разрешить относительно произвольных постоянных С1,

С2 ,…, Сn;

2.совокупность (4) является решением системы (1) при всех значениях произвольных постоянных из области справедливости теоремы о существовании

и единственности.

Если известно общее решение системы (1), то задача Коши (1), (3) всегда однозначно разрешима.

Определение 4. Решение системы (1), во всех точках которого выполняется свойство единственности решения задачи Коши, называется частным решением системы (1). Решение системы (1), во всех точках которой нарушено свойство единственности, называется особым решением системы (1).

При решении задачи Коши поступают следующим образом. В Rn+1 находят область единственности решения системы (1), используя теорему единственности, а затем проверяют, принадлежит ли точка (x0,y10,…,yn0) этой области. Если принадлежит, то сначала ищут общее решение, а затем, используя начальные условия (3), составляют систему n уравнений для определения постоянных С1, С2

,…,Сn.

Нормальная система дифференциальных уравнений имеет ясное механическое истолкование, которое приведем для простейшего случая двух неизвестных

функций. Рассмотрим нормальную систему вида

dx1

= X

(t, x

, x

(5)

dx2

= X

(t, x , x

где t –время;

x1(t), x2(t) – искомые функции, которые будем считать точками

фазового пространства (в данном случае фазовой плоскости). Всякое решение

x1 = x1 (t), x2

= x2 (t) системы (5) представляет собой закон движения точки в

фазовом пространстве.

Пример 3. Рассмотрим систему

41 dxdt = y dydt = −x

Проинтегрируем эту систему. Желая исключить одну неизвестную функцию, например у, найдем производные по независимой переменной t от обеих частей

первого уравнения этой системы и заменим

ее значением из второго уравнения.

Получим

d 2 x

= −x

или

d 2 x

+ x = 0.

dt 2

Последнее уравнение (уравнение колебаний) имеет общее решение x = C1 cos t + C2 sin t.

Так как y = dxdt , то y = −C1 sin t + C2 cos t.

Таким образом, все решения системы даются формулой

x = C1 cos t + C2 sin t, y = −C1 sin t + C2 cos t.

Исключив из полученных уравнений движения время t, найдем траекторию движений:

x2 + y 2 = C 2	+ C 2 .
1	2
Это окружности с центром в начале координат (в точке покоя системы).
Найдем движение, удовлетворяющее начальным условиям
х=x0 , y=y0 при t=0.
Подставляя в уравнения движений эти	данные, получим	x0 = C1 , y0 = C2 .

Траекторией движения, проходящего при t=0 через начальную точку (x0,y0), является окружность

x2 + y 2 = x02 + yo2 .

Решение задачи Коши единственно и имеет вид

x = x0 cos t + y0 sin t,

y= −x0 sin t + y0 cos t.

2.Метод исключения для решения нормальной системы дифференциальных

уравнений.

Метод исключения позволяет свести решение нормальной системы (1) к решению одного дифференциального уравнения n-го порядка. Сущность этого метода заключается в последовательном исключении искомых функций у1, у2,…,уn из уравнений системы (1).

Сначала продифференцируем по независимой переменной первое уравнение нормальной системы (1):

y //

∂f1

+... +

∂f1

y / .

∂x

∂y

Учитывая остальные уравнения системы, перепишем это выражение в виде

y //

∂f1

+... +

∂f1

∂y1

∂y2

∂yn

∂x

Так как правая часть представляет собой функцию от x, y1 ,..., yn , то полученное

соотношение можно записать следующим образом:

y //

= F (x, y

, y

,..., y

Последнее равенство вновь

продифференцируем

по

х, учитывая остальные

уравнения системы. Тогда получим

y /// =

∂F1

+... +

∂F1

∂y1

∂y2

∂x

∂yn

По аналогии с предыдущим запишем

y ///

= F (x, y , y

,..., y

Этот процесс продолжаем до тех пор, пока не найдем n -ю производную у1(n) . Таким образом, получим систему n дифференциальных уравнений

		y /	= f	1	(x,		y	1		, y			2		,...,			y	n		),
		1		1				1					2						n
		y //	= F		(x, y				1		,	y		2		,..., y				n		),
		1		1					1					2						n									(6)
		......																											(6)
		......
		y(n) = F				−1	(x, y						1		, y		2	,..., y						n		).
		1			n	−1							1				2							n
В системе (6) выделим первые					(n-1)						уравнений.															Из		них	найдем выражения
переменных	у2,у3,…,уn через			переменные														x, y					1		, y /		, y	// ,..., y (n−1) .Подставляя эти
																							1			1	1		1
выражения	вместо	у2,у3,…,уn			в последнее уравнение системы (6), получим
обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка
		y(n) = F				(x,				y		, y / , y //									,...,					y (n−1)		).	(7)
		1			n						1					1		1								1
Таким	образом,	задача	решения								нормальной системы																		дифференциальных

уравнений сведена к решению одного или нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений с одной неизвестной функцией. Метод исключения неизвестных функций является основным методом интегрирования нормальной системы.

3. Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Частным случаем нормальной системы является нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

yi/ = ai1 y1 + ai2 y2 +... + ain yn (i =1,2,..., n),

(8)

где аij- заданные постоянные; у1,у2,…уn – искомые функции аргумента х, по которому производится дифференцирование. Правые части системы (8) являются линейными функциями относительно искомых функций у1,у2,…,уn . Кроме того, правые части системы (8) не содержат явно аргумента х или заданных функций этого аргумента. Такие линейные системы называются однородными.

Приведем пример линейной однородной системы с постоянными коэффициентами:

dy1

= 2y1 + y2 ,

dy2

= 3y

+ 4 y

Здесь a

= 2, a

=1, a

= 3, a

= 4 , то есть матрица

A =

Для сокращения записи линейную систему с постоянными коэффициентами

записывают в векторно-матричной форме.

Обозначим матрицу коэффициентов системы

(8) через

A = (aij ), i, j =1,..., n,

а искомую вектор-функцию и ее производную соответственно через

y	1	(x)
	1
y2		(x)
yr(x) = .		,

.

yn		(x)

Тогда систему (8) можно записать в виде

y1/y / yr/ (x) = . 2

.yn/

(x)

(x) .

(x)

yr/ (x) = Ayr(x)								(9)
В случае n=2 система (9) имеет вид
y /	= a	y	1	+a	y	2	,
1	11		1		12	2		(10)
y2/ = a21 y1 + a22 y2.								(10)
y2/ = a21 y1 + a22 y2.

Рассмотрим свойства решений нормальной линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Определение 5.Фундаментальной системой решений	(9) называется
совокупность n линейно независимых решений y1 (x), y2 (x),..., yrn (x)	этой системы.

Теорема. Если совокупность вектор-функций y1 (x), y2 (x),..., yrn (x) является фундаментальной системой решений для системы (9), то общее решение системы (9) записывается в виде

y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) +... + Cn yn (x),

(11)

где С1,С2,…,Сn – произвольные постоянные.

Таким образом, зная фундаментальную систему решений для системы (8), всегда можно записать ее общее решение в виде (11).

Можно доказать, что для того чтобы решения

	y						y	21				y	n1
		11						21					n1
	y12						y	22				yn2

r	.			r		(x) =	.		r		(x) =	.
y (x) =	.		,	y		(x) =	.		,...y	n	(x) =	.
1	.				2		.			n		.

	.						.					.
	y						y					y	nn
		1n						2n					nn

составляли фундаментальную систему решений, необходимо и достаточно, чтобы определитель n –го порядка

W (x) =

yij

(12)

называемый определителем Вронского, не обращался в нуль ни в одной точке интервала интегрирования.

Далее, не ограничивая общности, положим n=2 и рассмотрим, как можно найти фундаментальную систему двух решений системы (10)

r	y	11		(x)			r			y			21	(x)
y1		11					y2						21
y1	(x) = y	12		(x) ,			y2	(x) = y					22	(x) .
		12											22
Будем искать решение системы (10), следуя Эйлеру, в виде
	y		=γ		1	eλx ,		y	2	=γ	2	eλx ,			(13)
	1				1				2		2

где λ – некоторое число, а множители γ1, γ2 не равны нулю одновременно.

Подставляя (13) в (10), сокращая на еλх и группируя члены, получим

алгебраическую систему уравнений для нахождения чисел γ1 , γ2:

(a11 − λ)γ1 + a12γ 2	= 0	(14)
a21γ1 + (a22 − λ)γ 2 = 0.		(14)
a21γ1 + (a22 − λ)γ 2 = 0.

Эта система имеет интересующее нас ненулевое решение только в том случае, если ее определитель равен нулю, то есть число λ является корнем уравнения

a11 − λ	a12		(15)
		= 0
a21	a22 − λ

Уравнение (15) называется характеристическим уравнением, а его корни –

характеристическими числами системы (10).

Рассмотрим сначала случай, когда корни λ1 , λ2 характеристического уравнения (15) действительны и различны. Тогда, подставляя поочередно в (14) вместо λ каждый из этих корней, получим ненулевые значения постоянных γ1, γ2 для обоих корней – γ11,γ12 для корня λ1 и γ21, γ22 для корня λ2. Общее решение системы (10) тогда имеет вид:

y	= C γ		11	eλ1x + C		2		γ		21	eλ2 x ,
	1	1											(16)
y		= C γ			eλ1x + C				γ			eλ2 x
	2		12				2			22
		1

Если корни характеристического уравнения комплексные, то можно показать, что действительные и мнимые части всякого комплексного решения однородной системы образуют действительные решения этой системы.

Контрольные вопросы по теме занятия:

14.Напомните понятие о нормальной системе дифференциальных уравнений.

15.Дайте определение нормальной системе дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами.

Заключение.

На лекции рассмотрены основные понятия теории систем дифференциальных уравнений на примере нормальных систем. Подробно изучен класс нормальных линейных однородных систем дифференциальных уравнений, сформулирована

задача Коши, введено понятие фундаментальной системы решений, даны два метода решения: метод исключения неизвестных функций и метод Эйлера.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в папке Лекции математика

#
02.04.2015513.74 Кб5804 Лекции 05 Дифференциальное исчисление Ряжских.pdf
#
02.04.2015248.1 Кб6004 Лекции 06 Функции многих переменных. Градиент.pdf
#
02.04.2015518.3 Кб6104 Лекции 07 Интегральное исчисление.pdf
#
02.04.2015427.07 Кб7604 Лекции 08 Кратные и криволинейные интегралы.pdf
#
02.04.2015214.06 Кб6804 Лекции 09 Поверхностные интегралы.pdf
#
02.04.2015627.84 Кб8604 Лекции 10 Дифференциальные уравнения.pdf
#
02.04.2015403.75 Кб9804 Лекции 11 Ряды.pdf
#
02.04.2015253.26 Кб32804 Лекции 12 Ряды Фурье.pdf
#
02.04.2015590.07 Кб7604 Лекции 13 Теория вероятностей.pdf
#
02.04.2015198.37 Кб9004 Лекции 14 Операционное исчисление.pdf
#
02.04.2015444.44 Кб6404 Лекции 15 Функции комплексного переменного.pdf