23

Первое из уравнений (**) преобразуем к виду

u2 dy + yudu = 0.

Это – уравнение с разделяющимися переменными. Находим интегрирующий множитель μ(y,u)= u12 y . Область единственности решений

Общий интеграл имеет вид

откуда u = Cy1 . Подставляя это выражение во второе из уравнений (*), имеем y′ = Cy1 ,

или C1dx − ydy = 0. Получили уравнение с разделенными переменными, общий интеграл которого есть

x y

∫C1dx − ∫ydy = C2 ,

0 0

откуда y2 = C1 x +C2 .

Контрольные вопросы по теме занятия:

6.Напомните понятие о краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений.

7.Дайте постановку задачи Коши.

В3. спомните, как решаются уравнения допускающие понижение порядка.

Заключение.

На лекции рассмотрены вопросы, связанные с дифференциальными уравнениями, допускающими понижения порядка.

Во втором вопросе рассматривается задача Коши для дифференциальных уравнений высших порядков.

В третьем вопросе рассмотрены дифференциальные уравнения без младших членов, дифференциальные уравнения не содержащие явно искомой функции и ее младших производных, дифференциальные уравнения, не содержащие независимую переменную.

Лекция показывает, что дифференциальные уравнения высших порядков широко применяются в теоретической механике, электронике, физике, различных разделах математики, механики.

К практическому занятию необходимо знать содержание вопросов, изложенных в лекции.

Введение.

Лекция "Интегрирование линейных дифференциальных уравнений высших порядков" относится к разделу математики, в котором изучаются методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Нам уже известно, что к обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка приводят такие задачи, как задача о радиоактивном распаде, задача об охлаждении тела, об истечении жидкости из цилиндра. Многие практические задачи физики, механики,

24

электротехники приводят к решению линейных дифференциальных уравнений второго порядка, в частности это задачи о колебаниях, свободных или вынужденных, механических или в электрической цепи.

В лекции излагаются основные теоретические сведения, необходимые для изучения дифференциальных уравнений высших порядков. Лекция состоит из четырех учебных вопросов:

1.Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков. Свойства решений линейных уравнений,

2.Определитель Вронского. Фундаментальная система решений.

3.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков.

4.Свойства частных решений. Структура общего решения.

По первому учебному вопросу дается определение линейного уравнения n-ого порядка без правой части (однородного), приводятся примеры.

По второму учебному вопросу доказываются теоремы о свойствах линейных однородных уравнений, ограничиваясь доказательствами для уравнений второго порядка. Приводятся определения линейно зависимых и линейно независимых на данном отрезке решений. Дается понятие определителя Вронского, с помощью которого устанавливается линейная зависимость (независимость) функций. Излагается теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, вводится понятие фундаментальной системы решений.

По третьему учебному вопросу дается определение линейного уравнения n- ого порядка с правой частью (неоднородного), приводятся примеры.

По четвертому учебному вопросу доказывается теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, рассматривается метод вариации произвольной постоянной.

1. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков. Свойства решений линейных уравнений.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка:

где ai (x)(i = 0,1,..., n)и r(x) - известные функции, непрерывные при всех допустимых

Заметим, что искомая функция и ее производные входят в уравнение (1) в первой степени, поэтому его и называют линейным.

Определение 1. Линейное дифференциальное уравнение (1) называется однородным (или уравнением без правой части), если r(x)≡ 0 .

Запишем уравнение (1) в другой форме. Разделим все члены этого уравнения

на и обозначим новые коэффициенты через ai (x)= al ((x))(i =1,..., n). . Тогда

a0 x

уравнение (1) запишется в виде

где p(x)и q(x) - функции непрерывные при всех допустимых значениях x. Уравнение

(3) является линейным однородным уравнением вида (2), где n = 2, a1 (x)= p(x), a2 (x)= q(x). Оно имеет очевидное решение y(x)≡ 0 (нулевое решение),

25

для которого y′ = 0, y′′ = 0 и уравнение (3) обращается в тождество. Интерес представляет отыскание ненулевых решений уравнения (3).

Пусть y1 = y1 (x), y2 = y2 (x) - два решения уравнения (3), отличные от нулевого. Определение 2. Два решения уравнения (3) называют линейно зависимыми, если существуют постоянные α1 , α2 , не обращающиеся одновременно в нуль и такие, что при любом значении x справедливо соотношение

невозможно, так как левая часть тождества – переменная величина, зависящая от x, а правая часть --- величина постоянная. Из полученного противоречия следует, что y1 , y2 --- линейно независимы.

2. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений.

.

О линейной зависимости решений можно судить по определителю

определителем Вронского (или вронскианом). Справедливо следующее утверждение.

где W0 - постоянная, равная значению W (y1 , y2 ) при x = x0 , а x0 [a,b] - фиксированное

значение аргумента.

Иногда удается найти или угадать только одно частное решение. И этом случае второе решение можно отыскать, воспользовавшись формулой Лиувилля

26

Замечание. Теоремы 1 и 2 означают, что равенство нулю вронскиана есть необходимое и достаточное условие линейной зависимости решений y1 и y2 .

Докажем теорему, позволяющую находить общее решение уравнения (3),если известны два его линейно независимых решения.

Теорема 3. Если y1 и y2 - два линейно независимых решения уравнения (3), то функция

где C1 и C2 - произвольные постоянные, является общим решением уравнения (3), т.е. дает все решения этого уравнения.

Доказательство. Сначала докажем, что функция (7) действительно является решением уравнения (3) при любых значениях C1 и C2 , а затем докажем, что нет

таких решений уравнения (3), которые нельзя было задать в виде формулы (7). Подставляя функцию (8) в левую часть уравнения (3) и вынося за скобку

соответственно C1 и C2 , получим

y′′+ p(x)y′+ q(x)y = C1 [y′′+ p(x)y′+ q(x)y]+C2 [y′′+ p(x)y′+ q(x)y]= 0.

Так как y1 и y2 - решения уравнения (3), то выражения в квадратных скобках равны нулю. Следовательно, функция (7) обращает уравнение (3) в тождество при любых значениях C1 и C2 , т.е. она является решением уравнения (3).

Для доказательства второго утверждения достаточно показать, что при любых начальных условиях x = x0 , y = y0 , y(x0 )=y0 , y′(x0 )= y0′ (а они, как это вытекает из условия существования и единственности решений, определяют решение (3)

удовлетворять заданным начальным условиям, т.е. все решения (3) могут быть записаны в виде (7). Подставляя начальные условия в соотношение (7), имеем

система (8) имеет единственное решение. Найдя из этой системы C1 и C2 , по

формуле (7) получим решение y, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Что и требовалось доказать.

Пример 2. Найти общее решение уравнения y′′− 6x y′+ 12x2 = 0, если известны его частные решения y1 = x3 , y2 = x4 .

Следовательно решения линейно независимы и общее решение исходного уравнения имеет вид y = C1 x3 +C2 x4 .

Как видно из примера, для нахождения общего решения уравнения (3) необходимо знать два линейно независимых решения уравнения (3). Иногда удается найти или угадать только одно частное решение y1 . В этом случае можно отыскать второе частное решение, воспользовавшись формулой Лиувилля (6).

3. Линейные дифференциальные неоднородные уравнения высших порядков.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка:

4. Свойства частных решений. Структура общего решения.

Общее решение уравнения (10) находится так:

1)Найти одно какое-нибудь его частное решение.

2)Найти общее решение соответствующего однородного уравнения.

Подставляя (16) в формулу общего решения, получаем

y = − ∫ y2Wf (x)dx + c1 y1 + ∫ y1Wf (x)dx + c2 y2

y = c1 y1 + c2 y21 + y2 ∫ y1Wf (x)dx − y1 ∫ y2Wf (x)dx.

Первые два слагаемых в правой части – общее решение однородного уравнения, а последние два слагаемых – частное решение неоднородного уравнения. Обозначая их через Y, получаем формулу частного решения линейного неоднородного уравнения второго порядка

Все величины, входящие в формулу известны.

Замечание. Следует иметь в виду, что формула (17) имеет место, когда коэффициент при старшей производной равен единице.

Метод вариации произвольной постоянной – универсальный. Он позволяет при помощи квадратур определить частное решение линейного неоднородного уравнения , если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

Пример 4. Найти общее решение уравнения

x2 y′′− 4xy′+ 6y = x4 − x2 ,

зная частное решение соответствующего однородного уравнения y1 = x2 . Решение. Приведем уравнение к виду (10). Для этого разделим его на x2 :

y′′− 4x y′+ x62 = x2 −1.

Выпишем соответствующее однородное уравнение:

y′′− 4x y′+ x62 = 0.

Мы знаем одно частное решение. По формуле (6) определим второе:

Общее решение однородного уравнения для нашей задачи запишется так:

y0 = C1 x2 +C2 x3 .

Теперь применим формулу (17) для нахождения частного решения неоднородного уравнения. Определитель Вронского

30

Подставляя в (17) значения интегралов и частные решения y1 и y2 , получим:

Складывая частное решение неоднородного уравнения и общее решение однородного уравнения, получим:

где C = C1 +1.

Контрольные вопросы по теме занятия:

8.Напомните понятие о фундаментальной системе решений.

9.Дайте определение определителя Вронского.

10.Вспомните, как находится общее решение дифференциального уравнения.

Заключение.

В лекции рассмотрены основные определения и теоремы, связанные с линейными однородными и неоднородными дифференциальными уравнениями (на примерах дифференциальных уравнений второго порядка). Найдена структура общего решения для однородных и неоднородных уравнений, введено важное понятие фундаментальной системы решений, с которым мы будем встречаться в дальнейшем. Эта лекция является основой для следующей лекции, в которой будет изложено решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, как однородных, так и неоднородных.

В качестве литературы, предлагаемой на самоподготовку, кроме конспекта лекции, рекомендуется учебное пособие Н.С.Пискунов "Дифференциальное и интегральное исчисления", том 2, глава XIII, параграфы 20,23.

Введение.

В лекции "Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами", рассматриваются следующие учебные вопросы:

1.Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

2.Линейные неоднородные уравнения с правой частью специального вида. 3.Приложения к описанию линейных моделей (линейных электрических цепей). Цель лекции состоит в разработке алгоритмов для решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными

31

коэффициентами на основе теоретических положений, полученных в предыдущей лекции , а также в применении их к решению практически важных задач.

В первом учебном вопросе дается понятие характеристического уравнения и приводятся три случая решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения.

Во втором учебном вопросе рассматривается теорема, позволяющая найти частное решение неоднородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае, когда правая часть представляет собой произведение показательной функции на многочлен или тригонометрический полином.

Найденные алгоритмы решения указанных типов уравнений применяются к исследованию дифференциальных уравнений колебаний, как свободных, так и вынужденных. Исследуется зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты и явление резонанса, которое играет особенно важную роль в колебательных контурах. Подчеркивается, что колебательные процессы, протекающие в электрической цепи, имеющей сопротивление, самоиндукцию и емкость, если в ней действует напряжение, поступающее извне, имеют картину, вполне аналогичную механическим колебаниям.

1. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим уравнение вида:

где p и q – постоянные. Уравнение называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение можно найти всегда.

Будем искать решение в виде: где k – некоторое пока неизвестное число. Тогда y′ = kekx , y′′ = k 2ekx . Подставив эти выражения в уравнение (1) и разделив его на множитель y = ekx , отличный то нуля для всех x, получим

Определение 1. Уравнение (2) называется характеристическим уравнением для уравнения (1).

Его корни находятся по формуле:

В зависимости от характера корней уравнения (3) получаются различные общие решения уравнения (1). Рассмотрим возможные случаи.

А) Корни действительные и различные, т.е. (k1 ≠ k2 ). В этом случае частными решениями являются y1 = ek1x , y2 = ek2 x . Как было показано в предыдущей

лекции эти решения линейно независимы. Следовательно общее решение уравнения

(1) имеет вид

32

В) Корни действительные и равные, т.е. (k1 = k2 = k ).

В этом случае одно частное решение имеет вид y1 = ekx , если взять y2 = ekx , то решения окажутся линейно зависимыми. Поэтому второе решение найдем по

Решение. Это – линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид: k 2 − 4k +3 = 0 . Корни этого уравнения действительны и различны k1 =1, k2 = 3. В силу формулы (4) общее решение имеет вид:

y = C1ex +C2e3x .

Пример 2. Решить уравнение y′′− 4y′+13y = 0.

Решение. Составим характеристическое уравнение: k 2 − 4k +13 = 0 . Корни этого уравнения k1 = 2 +3i, k2 = 2 −3i. В силу формулы (6) общее решение имеет вид:

y= e2 x (C1 cos3x +C2 sin 3x).

2.Линейные неоднородные уравнения с правой частью специального вида.

Рассмотрим уравнение вида:

где p и q – постоянные, а f (x)≠ 0 - заданная непрерывная на всех допустимых

значениях x функция. Уравнение (7) называется линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение можно найти как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Для решения данного уравнения всегда можно использовать метод вариации произвольной постоянной. Однако, когда правая часть уравнения (7) имеет специальный вид, частное решение можно подобрать проще – методом неопределенных коэффициентов. При решении ряда

33

примеров можно было заметить, что частное решение имеет тот же вид, что и правая часть исследуемого уравнения, и отличается от нее коэффициентами.

характеристического уравнения, то r=0. Многочлен нулевой степени с неопределенными коэффициентами имеет вид Q0 (x)= A; значит

y = e2 x A .

Подставляя полученное решение в исходное уравнение, имеем

4e2 x A − 4e2x A + e2x A = e2 x

или

A =1.

Следовательно, y = e2 x - частное решение нашего уравнения, тогда общее решение примет вид:

Y = (C1 +C2 x)ex + e2 x .

Пример 4. Решить уравнение y′′+ 2y′+ y = e−x .

Решение. Характеристическое уравнение k 2 + 2k +1 = 0 имеет корни k1 = k2 = −1. Общее решение однородного уравнения есть y = (C1 +C2 x)e−x . Правая часть f (x)= e−x , причем α = −1 является двукратным корнем характеристического уравнения, т.е. r=2, Q0 (x)= A. Следовательно, y = e−x x2 A . Имеем

и общее решение исходного уравнения имеет вид Y = (C1 +C2 x)e−x + 0,5x2e−x .

Пример 5. Прикладной характер разобранной выше теории решений и исследований линейных дифференциальных уравнений наглядно виден на примере электрических колебаний в цепи.

LRC – цепь. К источнику э.д.с., равной E(t), подключается контур, состоящий из последовательно соединенных катушки индуктивности L, омического сопротивления R и емкости C.

Рис.9

По закону Кирхгофа электродвижущая сила в цепи равна сумме падений напряжений на индуктивности, сопротивлении и емкости:

E(t)=U L (t)+U R (t)+UC (t),

связанных с током J равенствами

Последнее из них получается, если воспользоваться соотношением между током и зарядом конденсатора

Таким образом, ток в цепи в произвольный момент времени связан с индуктивностью, омическим сопротивлением, емкостью и э.д.с. соотношением

E(t)= LJ ′(t)+ RJ (t)+ 1 ∫t J (τ)dτ . C 0

Дифференцируя обе части равенства по t, получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами относительно неизвестной функции J:

Итак, нахождение тока J в цепи сводится к задаче Коши для линейного дифференциального уравнения (9) с начальными условиями (10).

Исследуем данную задачу. Характеристический многочлен уравнения (9)

35

Если R2C − 4L ≥ 0 , то оба корня характеристического многочлена вещественны и потому любое решение уравнения (9) есть непериодическая функция вида

J (t)= C1eλ1t +C2eλ2t .

Соответственно апериодическим будет и ток. Никаких электрических колебаний в цепи не произойдет, так же, как при условии R2C − 4L = 0 .

Если же R2C − 4L < 0 , то

Re λ1 = Re λ2 = − 2RL = −δ,

задачи Коши (9) - (10) определяет электрические колебания в рассматриваемой цепи.

Для отыскания коэффициентов C1 и C2 продифференцируем (11) по t:

J ′(t)= e−δt [−δ(C1 cosω1t +C2 sinω1t)+ω1 (−C1 sinω1t +C2 cosω1t)].

Из начальных условий следует, что

J (0)= C1 = 0,

J ′(0)= −δC1 +ω1C2 = EL C2 = LEω1 ,

и искомое решение

Однородным уравнением, соответствующим данному неоднородному является уравнение, рассмотренное выше (случай 1). Остается отыскать частное решение J0 неоднородного уравнения. Правая часть уравнения (12) функция

специального вида и, поскольку корни характеристического многочлена имеют ненулевую вещественную часть, то частное решение следует искать в виде

J0 (t)= Acosωt + B sinωt.