17

3y2 y′+ y3 =1.

Используя замену, получим линейное уравнение dxdz + z =1.

Общее решение этого уравнения

z =1+Ce−x y3 =1+Ce−x .

Контрольные вопросы по теме занятия:

4.Напомните понятие общего решения.

5.Дайте постановку задачи Коши.

3. Вспомните, как решаются однородные уравнения первого порядка

Заключение.

Наиболее важными из основных понятий и определений, рассмотренных нами в теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения», являются понятие о задаче Коши (постановка задачи, достаточные условия существования и единственности решения, свойства решения задачи Коши как функции независимой переменной и начальных данных) и связанные с ним определения частного, общего и особого решений. Затем мы изучили методы решения простейших типов дифференциальных уравнений первого порядка.

Следует отметить, что во многих случаях различные явления, процессы описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями. Поэтому мы отвлеклись от конкретного смысла искомой функции, входящей в дифференциальное уравнение, и основное внимание уделили формальной технике интегрирования. Решение задачи Коши стараются найти в элементарных функциях или в квадратурах от элементарных функций. В тех случаях, когда это не удается, приходится искать решение в другом виде или прибегать к приближенным методам интегрирования. Этим вопросам будут посвящены следующие лекции.

Введение.

Лекция продолжает изучение темы «Дифференциальные уравнения» и посвящена дифференциальным уравнениям, допускающим понижение порядка.

Дифференциальные уравнения высших порядков применяются в теоретической механике, электротехнике, физике, различных разделах математики, механики.

1. Задача Коши.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка:

Сформулируем задачу Коши для уравнения (2): найти решение y = y(x) уравнения

(2), удовлетворяющее следующим начальным условиям y(x0 )= y0 , y′(x0 )= y0′,..., y0(n−1)(x0 )= y0(n−1),

где x0 , y0 , y0′,..., y0(n−1) - заданные числа(называемые начальными значениями).

Ответ на вопрос об однозначной разрешимости задачи Коши дают следующие теоремы существования и единственности задачи Коши.

Теорема 1. Пусть в уравнении (2) функция f и ее частные производные

при том единственное решение задачи Коши, называется областью единственности для соответствующего уравнения.

Определение 2. Пусть D Rn+1 есть единственности уравнения (2). Функция

дифференцируемая n раз по x, называется общим решением (в явном виде) уравнения (2) в D, если:

1) система n уравнений

C1 ,C2 ,...,Cn , удовлетворяющих системе (6), когда (x0 , y0 , y0′,..., y0(n−1)) D .

Определение 3. Решение уравнения (2), во всех точках которого имеет место свойство единственности решения задачи Коши называется частным решением этого уравнения.

19

Пример 1. Решить задачу Коши для уравнения y′′′− x = 0 с начальными условиями y(0)= 5, y′(0)= −2, y′′(0)= 7.

Решение. Это – уравнение третьего порядка вида (2), где f=x. Найдем область единственности. Имеем

∂∂fy = 0, ∂∂yf ′ = 0, ∂∂yf′′ = 0.

Эти функции непрерывны в пространстве R4 ; следовательно, D = R4 и для любой точки из D задача Коши однозначно разрешима. Можно убедится, что общее решение данного уравнения имеет вид

y = 241 x4 + 72 x2 − 2x +5

является решением задачи Коши.

2. Понятие о краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений.

интервале (a,b). Тогда каждое решение y(x) уравнения (7) будет определено во

всем этом интервале. В дальнейшем вместо уравнения (7) будем рассматривать уравнение вида

Уравнения (1) и (2) могут быть преобразованы одно в другое. Уравнения вида

(2) называются самосопряженными. Решение дифференциального уравнения

[ p(x) y' ]' + q(x) y = 0

полностью определяется начальными условиями y(x0 ) = y0 , y' (x0 ) = y0' .

Однако во многих физических задачах приходится искать решения, заданные явным способом. Например, может быть поставлена задача: найти решение уравнения (8), принимающие в точках a и b заданные значения y(a) и y(b).

Таким образом, заданные значения y(a) и y(b) находятся на концах интервала,

поэтому задачи такого рода называются краевыми (граничными) задачами. В дальнейшем положим в основу интервал (0,π) (основной интервал), что не

уменьшает общности рассуждений.

20

Весьма общий вид краевых условий для уравнения второго порядка следующий:

h0 y(0) + h1 y' (0) = A, k0 y(π) + k1 y' (π) = B,

где h0 ,h1, k0 ,k1 , A, B --- заданные постоянные, причем h0 ,h1, k0 ,k1 не равны

одновременно нулю.

Если A = B = 0, то краевые условия называются однородными, например:

1)y(0) = y(π) = 0 ,

2)h0 y(0) = y' (0) , y' (π) = −h1 y(π) , h0 ,h1 > 0,

3)y' (0) = y' (π) = 0 ,

4)y(0) = y(π) , y' (0) = y' (π) .

При решении краевых задач (для линейных однородных дифференциальных уравнений) поступают так: находят общее решение данного дифференциального уравнения

y =C1 y1(x) + C2 y2 (x) +... + Cn yn (x),

где y1(x),..., y2 (x) --- линейно независимые решения. Затем требуют, чтобы это решение y(t) удовлетворяло заданным граничным условиям. В результате будет получена система линейных уравнений для определения C1,C2 ,...,Cn .

Разрешая эту систему, если возможно, находят решение данной краевой задачи. Пример 2. Решить краевую задачу

y'' − y = 0, y' (0) = 0, y(1) =1.

Решение.

Составим соответствующее характеристическое уравнение

с учетом краевых условий, систему линейных уравнений для нахождения значения постоянных C1 и C2

Определитель этой системы

=1 −−1 = e−1 + e ≠ 0, ee 1

следовательно, она имеет единственное решение

C1 = e−11+ e , C1 = e−11+ e .

22

сводится к двум уравнениям

каждое из которых является уравнением первого порядка, в то время как исходное уравнение имеет второй порядок.

Пример 4. Решить уравнение x3 y′′+ x2 y′ =1.

Решение. Данное уравнение не содержит y в явной форме. С помощью

Первое из них представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого

Первое из уравнений (15) является дифференциальным уравнением первого порядка относительно u как неизвестной функции от y, второе – дифференциальным уравнением первого порядка относительно y как неизвестной функции от x.

Пример 5. Решить уравнение yy′′+ (y′)2 = 0.

Решение. Данное уравнение не содержит x в данной форме. С помощью подстановки

y′ = u, y′′ = u dudy

сведем его к двум дифференциальным уравнениям первого порядка: