1
Введение.
Мы начинаем изучение одного из основных разделов высшей математики – теории дифференциальных уравнений. Эта теория возникла в конце 17 века одновременно с дифференциальным и интегральным исчислением под влиянием потребностей механики, физики и развивалась в тесной связи с этими науками, а также с техникой. Простейшие дифференциальные уравнения встречались уже в работах И. Ньютона и Г. Лейбница (последний предложил термин «дифференциальные уравнения»). Задача неопределенного интегрирования, т.е. отыскания неизвестной функции по заданной производной – это простейшее дифференциальное уравнение. В трудах Д. Бернулли, Даламбера, Эйлера теория дифференциальных уравнений оформилась в самостоятельную научную дисциплину. Важность этой теории вытекает из того, что основные законы природы, математические закономерности различных процессов выражаются в форме дифференциальных уравнений, а расчет течения этих процессов сводится к отысканию решений этих дифференциальных уравнений. Так обстоит дело в механике (вторая основная задача механики), так обстоит дело и в метеорологии, в теории электроцепей, электродинамике и т.д. В теме «Дифференциальные уравнения» мы рассмотрим основные понятия теории и методы решения простейших дифференциальных уравнений.
1. Задачи физического характера, приводящие к дифференциальным уравнениям.
Рассмотрим некоторые задачи механики и физики, приводящие к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
Задача о свободном падении тела.
Пусть с некоторой высоты H сброшено тела массы m. Требуется установить, за какое время тело достигнет земной поверхности.
Из условия ясно, что тело движется под действием силы тяжести F = mgr .
Направим ось s отсчета перемещения тела вертикально вниз так, чтобы ее начало совпадало с начальным положением тела. Согласно второму закону Ньютона, имеем
|
|
m |
d 2 s |
= mg , |
(1) |
|
|
d 2 s |
dt 2 |
||||
|
|
|
|
|||
где m – масса тела, |
- ускорение движущегося тела |
(вторая производная от |
||||
dt 2 |
||||||
|
|
|
|
|
||
перемещения по времени), g – ускорение свободного падения. Уравнение (1) является дифференциальным уравнением второго порядка. Сокращая на m, получим s′′ = g . Интегрируя это уравнение, получим
|
′ |
|
gt 2 |
|
(2) |
|
s |
= gt +C1 |
; s = 2 |
+C1t +C2 |
|||
|
Если в начальный момент времени t=0 скорость и перемещение были соответственно равны s0 и v0 , то из уравнений (2) получим v0 =C1 , s0=C2 . Тогда закон движения тела примет вид
2
s = |
gt 2 |
+ v0t + s0 |
(3) |
|
|||
2 |
|
|
|
Подставляя теперь в равенство (3) значения s=H, v0 =0, s0 =0, получим формулу для
определения времени свободного падения тела: t = |
2H |
. |
|
||
|
g |
|
Задача о переходном процессе в электрической цепи.
В электрической цепи, содержащей активное сопротивление R, индуктивность L и электродвижущую силу E, в момент времени t=0 замыкается рубильник P. Найти закон, по которому изменяется ток i в данной цепи.
Согласно закону Ома для участка цепи, падение напряжения на активном сопротивлении составит R. При замыкании цепи в катушке L возникает э.д.с. самоиндукции, направленная противоположно току i и пропорциональная
производной dtdi , причем коэффициент пропорциональности равен L. По второму
закону Кирхгофа для RLцепи при t>0 имеем Ri = E − L |
di |
, откуда |
|||
dt |
|||||
|
di |
|
|
||
E = Ri + L |
|
(4) |
|||
dt |
|||||
|
|
||||
Уравнение (4) является линейным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами. Непосредственной подстановкой можно проверить, что общим решением уравнения будет функция
|
E |
|
1 |
|
R |
|
|
|
|
|
− |
|
t |
(5) |
|||
|
|
|
||||||
i = |
+ |
e |
L |
, |
||||
R |
CR |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
где С – произвольная постоянная. Учитывая, что при t=0 в цепи нет электрического
тока (i=0), имеем |
0 = |
E |
+ |
1 |
, |
откуда C = − |
1 |
|
. Подставляя значение C в равенство (5), |
||||||||
R |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
CR |
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|||||
получим закон изменения тока в RL – цепи |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
− |
R |
|
t |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
i = |
1−e L |
|
, |
(6) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В формуле |
(6) |
член |
− |
|
t |
убывает |
|
с возрастанием t. Таким |
образом, |
||||||||
e |
L |
|
|||||||||||||||
установившееся значение тока по истечении достаточно большого промежутка времени с момента замыкания RL– цепи определяется величиной ER . Заметим, что
вычисление токов и напряжений в электрических цепях с помощью дифференциальных уравнений является классическим методом расчета цепей в электротехнике.
2. Понятие общего решения
3
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее
независимую переменную x , искомую |
функцию y = y(x) и ее |
производные |
||
y′, y′′,..., y (n) , то есть уравнение вида |
|
(n ) |
)= 0 |
(7) |
′ ′′ |
|
|||
F (x, y, y , y ,..., y |
|
|||
Если искомая функция y = y(x) есть функция одной независимой переменной x, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Иногда дифференциальное уравнение (7) удается разрешить относительно производной, т.е. привести его к виду
y′ = f (x, y) |
(8) |
Определение 1. Решением дифференциального уравнения (8) называется дифференцируемая на интервале I функция y=y(x), график которой принадлежит G ( G – открытое множество, в котором f (x, y) определена и непрерывна ) и которая обращает уравнение (8) в тождество.
Определение 2. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Процесс отыскания решений дифференциальных уравнений называется их решением или интегрированием.
Пример 1. Найти интегральные кривые уравнения dydx = xy
Решение: В каждой точке, отличной от (0,0), угловой коэффициент касательной к искомой интегральной кривой равен xy , т.е. совпадает с угловым
коэффициентом прямой, направленной из начала координат в ту же точку (x,y). Очевидно, что интегральными кривыми в данном случае будут прямые y=cx, так как направление этих прямых всюду совпадает с направлением поля (рис.1).
y
x
Общим решением дифференциального уравнения (7) называется функция y= y(x,c1 ,c2 ,...,cn ), зависящая от x и n произвольных постоянных c1, c2 ,..., cn ,
обращающих это уравнение в тождество.
4
Общим решением дифференциального уравнения (8), разрешенного относительно производной, называется непрерывная и имеющая непрерывную частную производную по x функция
y = y(x,c), |
(9) |
зависящая от одной произвольной постоянной и обращающая это уравнение в тождество.
Частным решением уравнения (8) называется решение, получаемое из общего решения (9) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной С.
Определение 3. Соотношение ψ(x, y)= C называется общим решением или
общим интегралом уравнение (8).
Теорема (о существовании общего решения). (без доказательства).
Пусть f и f ′ определены и непрерывны на открытом множестве D G R2 . Тогда для каждой точки (x0 , y0 ) D можно указать окрестность, в которой
существует общее решение уравнения (8). |
|
Рассмотрим частный случай уравнения (8), а именно |
|
y′ = f (x) |
(10) |
где f (x) - заданная непрерывная функция. Как известно, все первообразные для f (x) задаются формулой
y = ∫x |
f (t)dt +C |
(11) |
x0 |
|
|
Каждая первообразная, определяемая равенством (11) является решением уравнения (10) и по теореме о единственности решения других решений быть не может. В этом случае решение (11), содержащее одну произвольную постоянную C, называется общим решением уравнения (10). Каждое решение, получающееся из общего решения при конкретных значениях произвольной постоянной C, называют частным решением уравнения (10).
Пример 2. Показать, что функция |
y = c1e3x +c2ex + |
1 x + |
1 |
является общим |
|
|
3 |
9 |
|
решением уравнения y′′−4 y′+3y = x −1 .
Решение. Данная функция содержит две произвольные постоянные, если функция удовлетворяет уравнению, то это и будет означать, что она является общим решением искомого уравнения. Найдем y′ и y′′
y′ = 3C1e3x +C2ex + 13 , y′′ = 9C1e3x +C2ex ,
подставляя эти выражения в условия, получаем тождество
|
3x |
|
|
x |
|
|
|
3x |
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3x |
|
|
x |
|
1 |
|
1 |
|
|
||
9C e |
|
+C |
e |
|
− 4 |
3C e |
|
+C |
e |
|
+ |
|
|
+ |
3 C e |
|
+C |
e |
|
+ |
|
x + |
|
|
|
= |
|||||
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
9 |
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
= 9C e3x + +C |
ex −12C e3x − 4C |
ex |
− |
|
4 |
+3C e3x +3C |
ex + x + |
1 |
≡ x −1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Основная |
|
|
задача |
теории |
|
дифференциальных |
|
|
уравнений состоит в |
||||||||||||||||||||||
отыскании всех решений данного дифференциального уравнения и изучении
5
свойств этих решений. Процесс отыскания решений дифференциального уравнения, названный нами интегрированием дифференциального уравнения, в общем случае весьма трудоемкий и не имеет для большинства типов дифференциальных уравнений конечного алгоритма. Сегодня мы изучим основные свойства дифференциальных уравнений первого порядка и научимся находить общие и частные решения простейших дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах. Последние слова означают, что решение дифференциального уравнения представлено в конечном виде в аналитической форме. Мы рассмотрим геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка и укажем возможности построения различных алгоритмов приближенного решения дифференциального уравнения на основе этих геометрических рассуждений.
3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Постановка задачи Коши.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка. |
|
Общий вид уравнения первого порядка |
|
F (x, y, y′)= 0. |
|
Если это уравнение разрешить относительно y′, то есть |
|
y′ = f (x, y), |
(12) |
то уравнение называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.
Определение 4. Общим решением дифференциального уравнения (12) называется дифференцируемая функция
y = y(x,C), |
(13) |
которая зависит от одной произвольной постоянной С и обращает это уравнение в тождество.
Определение 5. Частным решением уравнения (12) называется решение, получаемое из общего решения (13) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной С.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка в симметричной относительно x и y форме:
|
|
|
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 |
(14) |
|||||
При некоторых условиях уравнение (3) эквивалентно, по крайней мере, |
|||||||||
одному из дифференциальных уравнений вида: |
|
|
|
|
|
||||
|
dy |
= − |
M (x, y) |
= f (x, y)или |
dx |
= − |
N(x, y) |
|
=ψ(x, y) |
|
dx |
|
dy |
M (x, y) |
|||||
|
|
N(x, y) |
|
|
|||||
|
|
6 |
|
|
|
Дифференциальное уравнение |
dx |
= f (x, y) |
определяет |
в каждой точке (x,y), |
|
dy |
|||||
|
|
|
|
||
где существует функция f(x,y), значение y′, |
то есть |
угловой коэффициент |
|||
касательной к интегральной кривой в этой точке. Таким образом, дифференциальное уравнение (12) определяет поле направлений.
Задачи интегрирования дифференциального уравнения заключаются в том, чтобы найти интегральные кривые, направления касательных к которым в каждой точке совпадают с направлением поля. Для построения интегральных кривых используют метод изоклин.
Определение 6. Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные к искомым интегральным кривым сохраняют постоянное направление.
Семейство изоклин дифференциального уравнения (12) определяется
уравнением |
|
f (x, y)= K , |
(15) |
где K-параметр.
Постановка задачи Коши.
Задача о нахождении частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, часто встречается в приложениях. Если эти условия относятся к одному и тому же значению аргумента искомой функции, то их называют начальными. В том случае, когда начальные условия для дифференциального уравнения состоят в задании фиксированных значений функции и ее производных, их называют условиями Коши, а задачу – задачей Коши.
Задачей Коши для дифференциального уравнения (12) называют задачу нахождения решения y(x)= y уравнения y′ = f (x, y), удовлетворяющего начальному условию y(x0 )= y0 .(где x0 , y0 - заданные числа, называемые начальными значениями
или данными).
Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку M 0 (x0 , y0 ) плоскости XOY.
Теорема. (о существовании и единственности решений задачи Коши.)
|
f (x, y) |
|
(без доказательства) |
|
|
|
|
|
|
Пусть функция |
|
и ее производные определены |
|
и непрерывны |
на |
||||
открытом множестве |
D R2 . |
Тогда в некоторой окрестности |
|
x − x0 |
|
< δ точки |
x0 |
||
|
|
||||||||
существует непрерывное решение y(x) задачи Коши: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
dy |
= f (x, y), y(x0 )= y0 , (x0 , y0 ) D. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||
Замечание. Это решение единственно, т.е. если y1 (x)и y2 (x) |
|
- два непрерывных |
|||||||
решения задачи Коши, то y1 (x)= y2 (x) для всех значений, при которых эти решения определены.
Как известно, общее решение уравнения (12) задается следующим равенством
7
y(x)= ∫x |
f (t)dt +C |
(16) |
x0 |
|
|
Чтобы выделить частное решение уравнения (12), достаточно знать значение первообразной y(x)в какой – либо точке. Пусть, например, y(x0 )= y0 . Тогда из
соотношения (16) имеем y(x0 )= C или C = y0 , т. е. решение единственно и равно
y(x)= ∫x |
f (t)dt + y0 |
(17) |
x0 |
|
|
Уравнение (17) называется частным решением задачи Коши.
Пример 3. Решить задачу Коши.
y′−sin x = 0, y(0)= 3.
Решение. Согласно формуле (17) частное решение имеет вид
y = ∫x sin ydy +3 = −(cos x −1)+3 = 4 −cos x.
0
Классы дифференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах.
Определение 7. Дифференциальное уравнение первого порядка называется интегрируемым в квадратурах (или просто интегрируемым), если его общее решение может быть получено с помощью конечного числа алгебраических операций и квадратур.
Рассмотрим уравнение (14).
Определение 8. Уравнение (14) называется точным уравнением или уравнением в полных дифференциалах, если существует дифференцируемая функция Q(x, y), для которой левая часть уравнения (14) является полным дифференциалом, т.е.
dQ = ∂∂Qx dx + ∂∂Qy dy = M (x, y)dx + N(x, y)dy.
Пример 4. |
Для уравнения xdx + ydy = 0 общий интеграл записывается в виде |
x2 + y2 = C (это |
легко проверить непосредственным дифференцированием). |
Очевидно, что интегральные линии, определяемые общим интегралом, являются концентрическими окружностями с центром в начале координат.
Теорема. Пусть функции M (x, y) и N(x, y) непрерывно дифференцируемы на открытом множестве D. Для того чтобы уравнение (14) было точным необходимо, чтобы выполнялось условие
∂M |
= |
∂N |
(18) |
|
∂y |
∂x |
|||
|
|
Доказательство. Пусть уравнение (14) является точным. Тогда из определения точного уравнения и понятия полного дифференциала вытекает, что
∂Q |
= M (x, y), |
∂Q |
= N(x, y) |
(19) |
|
∂x |
∂y |
||||
|
|
|
Дифференцируя первое равенство по y, а второе – по x, имеем
∂2Q |
= |
∂M |
, |
∂2Q |
= |
∂N . |
|
∂x∂y |
∂y |
∂y∂x |
|||||
|
|
|
∂x |
8
Так как смешанные производные непрерывны, то они равны и, значит, справедливо условие (18). Что и требовалось доказать.
Пусть D – односвязная область. Покажем, что в этом случае условие (18) является достаточным. Проинтегрируем первое из равенств (19) по x, считая y постоянным:
Q(x, y)= ∫x M (x, y)dx +ϕ(y), |
(20) |
x0
где ϕ(y) - постоянная интегрирования, зависящая от y, а x0 - абсцисса любой точки из области единственности D. Подберем функцию ϕ(y) так, чтобы выполнялось
второе из равенств (19). Для этого продифференцируем равенство (20) по y, считая x постоянным:
|
∂Q |
|
∂ |
|
x |
|
|
x |
|
∂M |
|
|
|
|
= |
|
∫M (x, y)dx |
+ϕ′(y)= ∫ |
|
dx +ϕ′(y)= N(x, y). |
|
|
|||||
|
∂y |
∂y |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x0 |
|
∂y |
|
|
||||
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда получим ∫ |
∂N |
′ |
|
|
|
′ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
∂x |
dx +ϕ |
(y) |
= N (x, y) N(x, y)− N(x0 , y0 )+ϕ |
(y)= N(x, y). |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ϕ |
(y)= N(x, y), т.е. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(y)= ∫N |
(x0 , y0 )dy, |
|
(21) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
|
|
|
где y0 - ордината |
произвольной |
точки из |
области единственности |
D, а |
|||||||||
произвольную постоянную считаем равной нулю. Из соотношений (20) и (21) получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Q(x, y) |
= ∫M (x, y)dx + ∫N(x0 , y)dy. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
|
||||
Итак, если в области D, не содержащей особых точек уравнения (12), |
|||||||||||||||||||||||||
выполнено условие (18), то общий интеграл уравнения выражается формулой |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
C = ∫M (x, y)dx + ∫N(x0 , y)dy, |
|
(22) |
||||||||||||||||
где C – произвольная постоянная. |
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
2y |
dy = 0 . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 5. Решить уравнение |
x |
|
dx + |
x |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
Обозначим |
M (x, y)= 4 − |
y2 |
, N(x, y)= |
2y |
|
и |
проверим |
выполнение |
||||||||||||||||
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||
|
∂M |
|
2y |
|
∂N |
|
2y |
|
|
|
|
x2 |
|
∂M |
|
|
∂N |
|
|
|
|||||
условия (18): |
= − |
, |
= − |
, |
т.е. |
|
= |
. |
Это |
уравнение |
в полных |
||||||||||||||
∂y |
|
|
|
|
∂y |
|
|||||||||||||||||||
|
|
x2 |
∂x |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|||||||||
дифференциалах и его общий интеграл имеет вид (22), где (x0 , y0 ) - любая точка из области D = {(x, y): x ≠ 0}. Положим, например, x0 =1, y0 = 0 , тогда
x |
|
|
y |
2 |
|
y |
2y |
dx = C . |
|
|
|
||||||
|
4 |
− |
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|||||
∫ |
x |
dx + ∫ |
x |
|||||
1 |
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
9 |
Интегрируя, находим |
4c − 4 + |
y2 |
− y2 + y2 = C. Обозначив через C1 = C + 4, |
|
|||
|
2 |
|
|
получим общий интеграл исходного уравнения.
Интегрирующий множитель.
В том случае, когда условие (18) не выполняется, уравнение (14) не является уравнением в полных дифференциалах. Однако его можно проинтегрировать, если найти такую функцию μ(x, y), при умножении на которую всех членов уравнения оно становится точным:
μ(x, y)M (x, y)dx + μ(x, y)N(x, y)dy = 0 |
(23) |
Такая функция называется интегрирующим множителем уравнения (14). Общее решение уравнения (23) совпадает с общим решением уравнения (14).
Докажем, что для всякого уравнения (14), где M и N – непрерывно дифференцируемые функции, существует интегрирующий множитель. Пусть уравнение (14) не является точным. В силу теоремы существования и единственности решения, оно имеет общее решение в неявном виде.
Дифференцируя это равенство по x, получим ∂∂ux + ∂∂uy ∂∂yx = 0. Так как из уравнения
(14) следует |
dy |
= − |
M (x, y) |
|
, то |
∂u |
|
M (x, y)= ∂u |
|
N(x, y). Обозначим через μ(x, y) общую |
|||
|
|
|
|||||||||||
|
N(x, y) |
|
|||||||||||
|
dx |
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
величину этих двух равных отношений; тогда |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂u |
|
= μ(x, y)M (x, y); |
∂u |
= μ(x, y)N(x, y) |
(24) |
||
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
∂y |
|
|
Поскольку u(x, y)= C. есть общий интеграл уравнения (14), имеем |
|
∂u dx + |
∂u dy = 0. Отсюда с учетом соотношения (24) получим уравнение вида (23), |
∂x |
∂y |
которое является точным. Следовательно, μ(x, y) - интегрирующий множитель
уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 6. Решить уравнение (y + xy2 )dx − xdy = 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Проверим выполнение условия (18): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
∂M |
=1+ 2xy, |
∂N |
= −1 |
∂M |
≠ |
|
∂N |
|
, следовательно, |
это не уравнение в полных |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
∂y |
∂x |
∂y |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
дифференциалах. Составим отношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂M |
|
− |
∂N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
∂x |
= |
1+ 2xy +1 |
= |
2 |
= p(y). |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y + xy2 |
y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Найдем интегрирующий множитель |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
μ(y)= exp |
− |
∫ |
dy = e−2 ln y |
= y−2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда соответствующее точное уравнение будет иметь вид: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
∂M |
|
|
∂N |
|
|
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
+ x dx − |
|
dy = 0 |
= |
|
= − |
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
∂x |
|
y |
|
|||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
Область единственности этого уравнения есть |
|
D = {(x, y): y ≠ 0}. Пусть x0 = 0, y0 =1. |
|||||||||
Находим общий интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dy = C, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
|
|
∫ |
y |
+ x dx − ∫ |
y |
|||||
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
||||
откуда, интегрируя, получим |
x |
+ |
x2 |
|
= C. |
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. Уравнения с разделяющимися переменными.
Рассмотрим два частных случая уравнения (14) наиболее часто встречающихся на практике.
Определение 9. Пусть в уравнении (14) функции M и N зависят только от одного аргумента, т.е. M = m(x), N = n(y). Уравнение вида
m(x)dx + n(y)dy = 0 |
(25) |
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Уравнение (14) является уравнением в полных дифференциалах. Действительно, ∂∂my = ∂∂nx = 0, т. е. Условие (19) выполнено. Согласно формуле (22),
общий интеграл уравнения имеет вид
x |
y |
C = ∫m(x)dx + ∫n(y)dy. |
|
x0 |
y0 |
Определение 10 . Пусть в уравнении (14) функции M и N представлены в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одного
аргумента, т.е. M = m1 (x)n1 (y), .N = m2 (x)n2 (y) Уравнение вида |
|
m1 (x)n1 (y)dx + m2 (x)n2 (y)dy = 0 |
(26) |
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Замечание: в формуле общего решения каждый интеграл зависит только от одного аргумента, т. е. переменные как бы разделены, отсюда и происходит название уравнений.
В общем случае уравнение (25) не является точным. Однако его можно свести к точному уравнению, если в качестве интегрирующего множителя взять
1 |
|
|
|
|
μ(x, y)= |
|
|
|
(27) |
n (y)m |
2 |
(x) |
||
1 |
|
|
||
Действительно, при умножении уравнения (25) на интегрирующий множитель (27) получим
m (x) n (y)
1 ( )dx + 1 ( )dy = 0.
m2 x n2 y