Текст лекции.

1. Определители второго и третьего порядка, их свойства.

Пусть a1,a2 ,b1,b2 - вещественные числа. Число

В скобках схематически изображено правило, по которому вычисляется определитель второго порядка.

Пример.

2 −3 = −8 +3 = −5 1 − 4

Пусть a1,a2 ,a3 ,b1,b2 ,b3 ,c1,c2 ,c3 - вещественные числа. Составим из этих чисел три определителя второго порядка:

a1,a2 ,a3 ,b1,b2 ,b3 ,c1,c2 ,c3 - его элементами.

Договоримся называть диагональ, образованную элементами a1,b2 ,c3 , главной, а диагональ, образованную элементами a3 ,b2 ,c1 , - побочной.

Формула (3) называется правилом Сарруса и схематически выглядит следующим образом:

Рис. 1 Укажем другое правило составления выражений для определителя, еще

менее требующее напряжения внимания и памяти. Для этого к таблице, из

которой составлен определитель, допишем справа еще раз первый, а затем второй столбец.

Сплошной чертой соединены тройки членов, получаемые параллельным переносом главной диагонали и отвечающие трем слагаемым, входящим в выражение (3) со знаком плюс; пунктиром соединены три другие тройки членов, получаемые параллельным переносом побочной диагонали и отвечающие трем слагаемым, входящим в выражение (3) со знаком минус.

Рис. 2

Пример. Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь: а) определением (2); б) правилом Саррюса (3).

2. Алгебраические дополнения и миноры.

По аналогии с определителем третьего порядка можно определить определители четвертого, пятого и так далее порядков. Понятие определителя n- го порядка введем индуктивно, считая, что нами уже введено понятие определителя n-1-го порядка.

Пусть дано n2 вещественных чисел, для изображения которых используем одну букву с двумя индексами:

Расположим эти числа в n строк, и полученную таблицу заключим в вертикальные черточки:

Решение. Найдем миноры элементов первой строки:

По определению определителя имеем:

=1 16 + 2 24 + (−1) (−6) +5 12 =130.

Текст лекции 1. Системы двух и трех линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными.

Линейным уравнением первой степени с n неизвестными x1, x2 ,..., xn называется уравнение вида

Совокупность m линейных уравнений (1) называется системой m линейных уравнений с n неизвестными (или кратко линейной системой). Линейная система записывается следующим образом:

члены равны нулю и неоднородной, если хотя бы один ее свободный член отличен от нуля.

Решением линейной системы (2) называется такая совокупность (α1,α2 ,...,αn ) из n чисел, которая при x1 =α1, x2 =α2 ,..., xn =αn каждое уравнение системы (2) обращает в тождество.

Не всякая линейная система имеет решение. Так, система

x1 + x2 = 2 2x1 + 2x2 = 6

не имеет ни одного решения.

Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения.

Примером совместной системы является однородная система (она всегда имеет нулевое решение x1 = 0, x2 = 0,..., xn = 0 ).

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение. Если же линейная система имеет более одного решения, то она называется неопределенной.

Две линейные системы называются эквивалентными , если они обе несовместны, или же обе совместны и имеют одни и те же решения.

Теорема. (Об эквивалентности двух систем). Если обе части некоторого уравнения линейной системы (2) умножить на произвольное число и вычесть из соответствующих частей другого уравнения этой системы, то получится система уравнений, эквивалентная данной линейной системе, причем, если в системе (2) появляется уравнение вида

система (2) несовместна.

Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Запишем линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными в следующем виде:

Для решения системы (6) рассмотрим три случая: 1) ≠ 0. Следовательно:

Формулы (7) дают единственное решение линейной системы (3) и носят название формул Крамера для решения системы двух линейных уравнений

система (3) имеет бесчисленное множество решений. Для нахождения этих решений достаточно заметить, что из условий = 1 = 2 = 0 вытекает

пропорциональность соответствующих коэффициентов и свободных членов уравнений системы (3), то есть

Рассмотрим системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Диагональная матрица

называется единичной матрицей и обозначается буквой Е Матрица, все элементы которой равны нулю, называется н у л е в о й

матрицей и обозначается буквой О.

Наряду с записью матрицы в виде (1) будем употреблять и сокращенную запись: (аij ),(1 ≤i ≤ m,1≤ j ≤ n).

Для обозначения матриц будем использовать также прописные буквы латинского алфавита A, B, C, …, X,Y, … .

Сложение матриц и умножение матрицы на число

Определение. Две матрицы А и В называются равными, если они имеют один и тот же размер и все их соответствующие элементы равны, то есть если А= (аij ) и В=( вij ) , (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n), то А=В аij = вij для всех указанных i и j.

Определение. Суммой двух матриц А и В одного и того же размера называется матрица С=А+В того же размера, элементы которой равны суммам соответствующих элементов данных матриц, то есть если

А= (аij ) , В=(вij ) и С=(сij), то сij=аij+вij,(i=1,2,…m, j=1,2,…n).

Операция вычисления суммы матриц называется сложением матриц.

Справедливо очевидное равенство : А+О=А.

Пример. Пусть

Правило сложения двух матриц обобщается на случай любого конечного числа слагаемых матриц.

Из определения сложения матриц непосредственно следует, что эта операция коммутативна и ассоциативна, то есть

А+ В=В+А, (А+В)+С=А+(В+С).

Определение. Произведением матрицы А=(аij) на число α (вещественное или комплексное) называется матрица α А, элементы которой есть элементы матрицы А, умноженные на α , то есть

αА=(αаij ),(1 ≤i ≤ m,1 ≤ j ≤ n).

Пример.

Операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами

α(А+ В) =αА+αВ, (α + β)А=αА+ βА, (αβ)А=α(βА).

Разность двух матриц А и В одного и того размера определяется равенством

А-В=А+(-1)В.

Произведение матриц

Определение. Произведением матрицы А=(аij) размера m×n на матрицу В=(вij) размера n×p называется матрица С=АВ=(сij) размера m×p, где

n

сij= ∑aik bkj = ai1b1 j + ai2b2 j +... + ainbnj k=1

(i=1,2,…,m, j=1,2,…n).

Согласно этому определению, произведение двух матриц имеет смысл только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Отсюда, квадратные матрицы одного и того же порядка всегда можно перемножить.

В общем случае умножение двух матриц зависит от порядка сомножителей, то есть оно некоммутативно: АВ≠ВА, (или даже ВА не имеет смысла).

Произведение трех матриц (если оно имеет смысл) ассоциативно, то есть АВС=А(ВС)=(АВ)С.

Отметим легко проверяемое тождество: АЕ=ЕА=А,