Лекции математика / 04 Лекции 05 Дифференциальное исчисление Ряжских

Прямая у = -х – наклонная асимптота.

5. Промежутки возрастание и убывание функции, точки экстремума.

Находим производную: y′ = 13 (1− x3 )2 / 3 (−3x2 ).

Очевидно, что у′< 0 при любом х ≠ 0. Следовательно, функция убывает на всей области определения и не имеет экстремумов. В точке х = 0 первая производная функции равна нулю, однако в этой точке убывание не меняется на возрастание.

6. Интервалы выпуклости(вогнутости), точки перегиба. Для нахождения точек перегиба найдем вторую производ-

Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба. 7. Построим график функции.

43

график.

1.Область определения функции: x (−∞; 0) U (0; ∞) . Область значений Е(у) = (−∞;∞) .

2.Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3.Точки пересечения с координатными осями:

c осью Ох: y = 0; x = − 3 4 ;

сосью Оу: x = 0; y – не существует.

4.Точка х = 0 является точкой разрыва, т.к. lim y = ∞ .

x→0

Следовательно, прямая х = 0 является вертикальной асимптотой. Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.

44

5. Для определения точек экстремума функции находим

при х (0; 2) функция убывает (y′ < 0); при х (2; ∞) функция возрастает (у′ > 0). Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума; в нуле же функция не определена.

6. Для определения характера выпуклости (вогнутости)

функции находим вторую производную: y′′ = 24x4 .

При любом х ≠ 0 y′′ > 0. Следовательно, функция вогну-

тая на всей области определения. 7. График функции.

y

8

6

4

2

x

-

-

Пример. Исследовать функцию y = x(x −1)3 и построить

ееграфик.

1.Областью определения и значений данной функции яв-

ляется промежуток (-∞; ∞).

2.В смысле четности и нечетности функция является функцией общего вида.

3.Точки пересечения с осями координат:

сосью Оу: x = 0, y = 0; с осью Ох: y = 0, x = 0, x = 1.

45

4. Асимптоты кривой.

Вертикальных асимптот нет, т.к. функция непрерывна на всей области определения.

Наклонные асимптоты ищем в виде y = kx + b.

k = lim f (x) = lim x(x −1)3 = ∞ .

x→∞ x x→∞ x

Следовательно, наклонных асимптот не существует. 5. Находим точки экстремума:

y′ = [x(x3 −3x2 + 3x −1]′ = [x4 −3x3 +3x2 − x]′ = 4x3 −9x2 + 6x −1.

Для нахождения критических точек следует решить урав-

нение 4х3 – 9х2 +6х –1 = 0.

Разложим данный многочлен третьей степени на множители. Подбором можно определить, что одним из корней этого уравнения является число х = 1. Разделим многочлен на много-

x - 1x - 1

0 Получим 4х3 – 9х2 +6х –1 = (х – 1)(4х2 – 5х + 1) = 0. Имеем-

две критические точки: x = 1 и x = ¼.

Примечание. Операции деления многочленов можно было избежать, если при нахождении производной воспользоваться формулой производной произведения:

y′ =[x(x −1)3 ]′ = (x −1)3 + 3x(x −1)2 = (x −1)2 (x −1 + 3x) = = (x −1)2 (4x −1).

46

6. Найдем вторую производную функции: 12x2 – 18x + 6. Приравнивая к нулю, находим: x = 1, x = ½.

Точки (1/2; -1/16), (1; 0) – точки перегиба. 7. График функции.

y

-

4.8.Исследование параметрически заданных функций

47

ная функции у по х имеет вид dydx = ψϕ′′((tt)) . Далее находятся значе-

ния параметра t, при которых хотя бы одна из производных ϕ′(t) или ψ′(t) равна нулю или не существует. Такие значения параметра t называются критическими.

Для каждого интервала (t1, t2), (t2, t3), … , (tk-1, tk) находим соответствующий интервал (x1, x2), (x2, x3), … , (xk-1, xk) и опреде-

ляем знак производной dydx на каждом из полученных интерва-

лов, тем самым определяя промежутки возрастания и убывания функции.

Далее находим вторую производную функции на каждом из интервалов и, определяя ее знак, находим направление выпуклости кривой в каждой точке.

Для нахождения асимптот находим такие значения t, при приближении к которым или х или у стремится к бесконечности,

итакие значения t, при приближении к которым и х и у стремится

кбесконечности.

Востальном исследование производится аналогичным также, как и исследование функции, заданной непосредственно.

На практике исследование параметрически заданных функций осуществляется, например, при нахождении траектории движущегося объекта, где роль параметра t выполняет время.

4.9.Построение некоторых кривых, заданных в параметрической форме

Рассмотрим построение некоторых известных параметрически заданных кривых.

Уравнение окружности с центром в начале координат и радиуса r имеет вид: x 2 + y 2 = r 2 . Координаты любой ее точки

48

у

b В

C M(x, y) t

Построим кроме эллипса две вспомогательные окружности радиусов a и b. Для произвольной точки эллипса М(х, у) из

Угол t называется эксцентрическим углом.

49

Определение. Циклоидой называется кривая, которую описывает некоторая точка, лежащая на окружности, катящаяся без скольжения по прямой.

у

Пусть окружность радиуса а перемещается без скольжения вдоль оси Ох. Предположим, что фиксированная точка при начальном положении окружности находилась в начале координат, а после того как окружность повернулась на угол t, заняла положение М(х,у). Из геометрических соображений можно запи-

сать: OB = МВ = at; PB = MK = a sin t; MCB = t. Тогда y = MP = KB = CB – CK = a – a cost = a(1 – cost).

x = at – a sin t = a(t – sin t).

Это параметрические уравнения циклоиды. Если исключить параметр, то получаем:

Как видно, параметрическое уравнение циклоиды намного удобнее в использовании, чем уравнение, непосредственно выражающее одну координату через другую.

50

Астроида представляет собой траекторию точки окружности радиуса R/4, вращающейся без скольжения по внутренней стороне окружности радиуса R.

у

R/4

R х

Параметрические уравнения, задающие указанную кри-

Преобразуя, получим x2/3 + y2/3 = a2/3(cos2t + sin2t), т.е. следующее уравнение x2/3 + y2/3 = a2/3.

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.

51

4) y = e 2−x . 5) у = ln (x2 + 1). 6) y = (2 + x2) e−x2 .

52