Лекции математика / 04 Лекции 05 Дифференциальное исчисление Ряжских

0 x

0x

Вточке х = 0 функция f(x) = x имеет минимум, но не

имеет производной; в точке х =0 производная функции f(x) = 3 х

не существует, сама же функция не имеет ни максимума, ни минимума в этой точке

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

Теорема (достаточныеусловиясуществованияэкстремума). Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех

точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1). Если при переходе через точку х1 слева направо произ-

водная функции f′(x) меняет знак с «+» на «-», то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с «-» на «+» - то функция имеет минимум.

Пусть в точке х = х1 f′(x1) = 0 и f′′(x1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х1.

Теорема. Если f′(x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум, если f′′(x1) < 0 и минимум, если f′′(x1)>0.

Если f′′(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.

Для нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке необходимо:

1)Найти критические точки функции.

2)Найти значения функции в критических точках.

3)Найти значения функции на концах отрезка.

4)Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

33

4.6.Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба. Асимптоты графика функции

Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – вогнутой.

у

Выпуклость Вогнутость

y = f(x)

Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (просто выпукла); если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) положительна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вниз (вогнукла).

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую (точка (х0; f(x0)) – точка перегиба графика функции).

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f′′(a) = 0 или f′′(a) не существует и при переходе через точку х = а f′′(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

34

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции

−x

y = x + e 3 sin x . Ее асимптота у = х.

y

10

5

-5

-10

-15

-20

Асимптоты могут быть вертикальные и наклонные. Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.

Определение. Если lim f (x) = ∞ или lim f (x) = ∞ или

lim f (x) = ∞ , то прямая х = а вертикальная асимптота кривой

x→a

y = f(x).

Например, для функции f (x) = x 2−5 прямая х = 5 являет-

ся вертикальной асимптотой.

Определение. Наклонная асимптота имеет уравнение y = kx + b,

Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k = 0.

Пример. Найти асимптоты графика функции

35

36

-4

-6

Пример. Найти асимптоты графика функции

Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой. Найдем наклонные асимптоты.

Прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

37

Область значений Е(у) = (−∞; ∞) .

3. Найдем интервалы возрастания (убывания) функции, точки экстремума. Вычислим первую производную

Применяя необходимый признак экстремума: если функция имеет экстремум в некоторой точке, то первая производная в этой точке либо равна нулю либо не существует, найдем, что первая производная равна нулю при x1 = 0, x2, 3 = ± 3; не существует при

x = ± 3 , но последние два значения не входят в область опреде-

ления функции. Точки x1=0; x2, 3= ± 3 разбивают область определения функции на интервалы

(−∞; − 3) ; (−3; − 3) ; (− 3; 0); (0; 3) ; ( 3;3); (3; ∞) .

Чтобы определить, возрастает или убывает функция на каждом из перечисленных интервалов, воспользуемся достаточным признаком возрастания (убывания) функции.

Найдем знак первой производной в каждом из интервалов, для чего необходимо взять любое значение переменой х из соответствующего интервала и, подставив его в выражение для y′, определить знак первой производной при выбранном значении х. Так, в интервале (-∞; -3) y′(x) > 0, значит, функция на этом ин-

тервале возрастает. В интервале (-3; - ция в этом интервале убывает и т. д.

Результаты исследования записаны в табл. 1. Здесь же записаны выводы о том, является ли критическая точка точкой экстремума или нет (используется достаточный признак экстремума функции в критической точке по y′(x)). Из табл. 1 видно, что при x = -3 функция достигает максимума (ymax = y(-3) = -4,5). Точка x = 3 является точкой минимума функции (ymin = y(3) = 4,5 ), так

39

как при переходе через эту критическую точку производная функции y′(x) меняет знак с « - » на « + ».

Очевидно, y′′= 0 при х = 0; y′′ не существует при x = ± 3 .

Так как при x = ± 3 функция не существует, то стационарной

точкой для второй производной является только х = 0. Эта точка разбивает область определения функции на промежутки

(−∞;− 3); (− 3;0); (0, 3); ( 3;+∞) .

40

Таблица 2

Прямая y = x - наклонная асимптота графика функции. 6. Точкой пересечения графика функции с осями коорди-

нат будет точка O(0;0), так как x = 0 и y = 0.

Таким образом, в первом интервале области определения (-∞;- 3 ) функция возрастает, достигая максимума при x = -3

(ymax = y(-3) = -4,5), затем убывает. В этом интервале функция выпукла, расположена ниже асимптоты. Во втором промежутке об-

ласти определения (- 3 ; 3 ) функция всюду убывает, при

- 3 < x < 0 вогнута, при 0 < x < 3 - выпукла; точка О(0,0) - точ-

ка пересечения графика функции с осями координат – является точкой перегиба графика. В третьем промежутке области опреде-

41

ления ( 3 ; ∞) функция при 3 < x <3 убывает, достигая минимума при х = 3 (ymin = у(3) = 4,5), затем возрастает при x >3; при x > 3 функция всюду вогнута, расположена выше асимптоты.

Строим график функции, отметив вначале на плоскости хOу асимптоты графика функции x = ± 3 , y = x; точки экстремума функции (-3; -4,5) и (3; 4,5), точку перегиба О(0;0).

y

у=х

Пример. Методами дифференциального исчисления исследовать функцию y = 3 1− x3 и построить ее график.

1.Областью определения данной функции являются все действительные числа (- ∞; ∞). Область значений Е(у) = (- ∞; ∞).

2.Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3.Точки пересечения с координатными осями:

c осью Оу: x = 0; y = 1.

сосью Ох: y = 0; x = 1.

4.Точки разрыва и асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, т.к. функция не имеет

разрывов.

Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b.

42