Лекции математика / 04 Лекции 05 Дифференциальное исчисление Ряжских

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы..

Замечание. Следует отметить, что правило Лопиталя всего лишь один из способов вычисления пределов. Так, в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой-либо другой метод нахождения предела (замена переменных, домножение и др.).

23

Неопределенности вида 00 ; 1∞ ; ∞0 можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встреча-

24

ются при нахождении пределов функций вида y = [f (x)]g ( x) , если

при х→а f(x) стремится соответственно к 0, 1, ∞, g(x) – соответственно к 0, ∞, 0. Эти неопределенности с помощью тождества

[f (x)]g ( x) = e g ( x) ln f ( x) сводятся к неопределенности 0 ∞ , т.е для

нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции ln y = g(x) ln f(x).

4.3. Формула Тейлора

Теорема (Тейлора). 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные до (n +1)-го порядка включительно. 2) Пусть х любое значение из этой окрестности, но х ≠ а. Тогда между точками х и а найдется такая точка ξ, что справедлива формула:

+f (n+1) (ξ) (x − a)n+1. (n +1)!

Это выражение называется формулой Тейлора. Послед-

25

ний член в формуле Тейлора называется остаточным членом в

Если функция f (n+1) (x) ограничена в окрестности точки а, то остаточный член Rn+1(x) является бесконечно малой более высокого порядка, чем (х – а)n при х→а: Rn+1 (x) = O([x − a]n ) при х→а. Последнее соотношение называют остаточным членом в форме Пеано.

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при

а = 0:

Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, т.к. вычисление значений производных в нуле проще, чем в какой-либо другой точке, естественно, при условии, что эти производные существуют.

Выбор числа а очень важен для практического использования, так как при вычислении значения функции в точке, расположенной относительно близко к точке а, значение, полученное по формуле Тейлора, даже при ограничении тремя – четырьмя первыми слагаемыми, совпадает с точным значением функции практически абсолютно. При удалении же рассматриваемой точки от точки а для получения точного значения надо брать все большее количество слагаемых формулы Тейлора, что неудобно, т.е. чем больше по модулю значение разности (х – а), тем более точное значение функции отличается от найденного по формуле Тейлора.

26

4.4.Представление некоторых элементарных функций по формуле Маклорена

Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление значений некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 - 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.

Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.

Получим разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003…

27

Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451… Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553…

Как видно, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 6-7 - ю членами ряда.

Функция f(x) = cos x.

Для функции cos x, применив аналогичные преобразования, получим

Функция f(x) = (1 + x)α. (α - действительное число)

…………………………………………………..

28

Если в полученной формуле принять α = n, где n - натуральное число и f(n+1)(x)=0, то Rn+1 = 0, тогда

(1+ x)n =1+ n x + n(n −1) x2 +... + xn 1! 2!

Получилась формула, известная как бином Ньютона. Чтобы получить наиболее точное значение функции при

наименьшем количестве членов разложения надо в формуле Тейлора в качестве параметра а выбрать такое число, которое достаточно близко к значению х, и значение функции от этого числа легко вычисляется.

Пример. Вычислить значение sin 20°.

Предварительно переведем угол 20° в радианы: 20° = π/9. Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись

тремя первыми членами разложения:

+0,000043 = 0,341854.

Вчетырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого угла указано значение 0,3420.

Выше отмечалось, что при х→0 функция sin x является бесконечно малой и может при вычислении быть заменена на эквивалентную ей бесконечно малую функцию х. Теперь видно, что при х, близких к нулю, можно практически без потери в точности ограничиться первым членом разложения, т.е. sin x x.

Пример. Вычислить sin 28°13′15′′.

29

Для того, чтобы представить заданный угол в радианах, воспользуемся соотношениями: