Лекции математика / 04 Лекции 05 Дифференциальное исчисление Ряжских

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный университет инженерных технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

, если v ≠ 0.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

02.04.2015

Размер:

513.74 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

3.1.Производная функции. Ее геометрический

ифизический смысл

Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0

называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если предел существует.

f ′(x) = lim

x→0

f(x0 + x) f

f(x0)

f (x + x) − f (x)

	f(x)
	P
M	x
β	x
x0	x0 + x	x

	Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b).
Тогда	tg β =	f	- тангенс угла наклона секущей МР к графику
функции.		x
				f = f ′(x0 ) = tg α,
	lim tg β = lim
	x→0		x→0	x

где α - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке

(x0, f(x0)).

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой-либо точке.

Уравнение касательной к кривой: y − y0 = f ′(x0 )(x − x0 ) .

Уравнение нормали к кривой: y − y0 = − f ′(1x0 ) (x − x0 ) .

Производная функции показывает скорость изменения функции, т.е. как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t - время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения.

Существуют понятия односторонних производных функции в точке.

Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется правое (левое) значение предела отноше-

ния	f	при условии, что это отношение существует.
	x		f			f .
		f+′(x0 ) = lim	f	,	f−′(x0 ) = lim	f .
		x→0+	x		x→0−	x

Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х0, то она имеет в этой точке односторонние производные. Обратное утверждение неверно. Во-первых, функция может иметь разрыв в точке х0, а во-вторых, даже если функция непрерывна в точке х0, она может быть в ней не дифференцируема.

Например: f(x) = x - имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.

Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

Понятно, что это условие не является достаточным.

3.2.Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции

Обозначим u= f(x), v = g(x) - функции, дифференцируемые в точке х.

1) (u ± v)′= u′± v′; 2) (u v)′= u v′+ u′v,

Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Производные основных элементарных функций:

1) С′ = 0;

9) (sin x)′ = cos x ;

2) (xm)′ = mxm-1;

10) (cos x)′ = −sin x ;

3) (

x )′ =

;

11)

(tg x)′ =

;

1 ′

cos2 x

′

= −

;

12)

(ctg x) = −

;

sin 2

5) (e x )′ = e x ;

13)

(arcsin x)′ =

;

1 − x2

6) (a x )′ = a x ln a ;

14)

(arccos x)′ = −

;

1 − x2

′

7) (ln x)

= x

;

15) (arctg x)

;

1 + x 2

(loga x)′ =

;

16)

(arcctg x)′ = −

x ln a

1 + x2

Теорема. Пусть y = f(u), u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.

Тогда y′ = f ′(u) u′.

Пример. Найти производную функции y = x cos x sin x + 12 cos2 x .

Преобразуем данную функцию: y = 12 x sin 2x + 12 cos2 x .

Находим производную:

y′

sin 2x +

x2 cos 2x +

2 cos x(−sin x) =

sin 2x + x cos 2x −

− sin x cos x = x cos 2x.

Пример. Найти производную функции y =

x2ex2

x2 +1

y′ =

(2xe x2 + x2 2xe x2

)(x2 +1) − (2x)x 2 e x2

2 +1)2

2x3e x2

+ 2x5e x2 + 2xe x2 + 2x3e x2 − 2x3e x2

2xe x2 (x

4 +1

+ x2 )

(x2 +1)2

(x 2

+1)2

Пример. Найти производную функции y = ln tg

−

sin x

′

sin x − x cos x

−

cos

sin 2 x

2 sin

cos

sin 2

sin x − sin x + x cos x

x cos x

sin 2 x

3.3. Логарифмическое дифференцирование

Рассмотрим функцию y = ln

ln x, при

x > 0

ln(−x), при x < 0

′

(−x)

′

Тогда (ln x )′= х

, т.к. (ln x)

= x

; (ln(−x))

= x .

Учитывая полученный результат, можно записать

(ln

f (x)

)′ =

f ′(x)

f (x)

f ′(x)

Отношение

называется логарифмической произ-

f (x)

водной функции f(x).

Способ логарифмического дифференцирования состо-

ит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

f ′(x) = (ln f (x) )′ f (x) .

Логарифмическое дифференцирование удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательностепенных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.

Определение. Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно-степенной.

Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x) > 0. Найдем производную функции y = uv.

Логарифмируя, получим:

y′

u′

ln y = v ln u,

= v′ln u + v

y′ =u

+ v′ln u ,

(u v )′ = vu v−1u′+ u v v′ln u .

Пример. Найти производную функции

f (x) = (x 2

+ 3x) x cos x .

По формуле (uv )′

= v uv−1u′+ uv ln u v′ получаем:

u = x2 +3x;

v = x cos x;

Производные этих функций: u′ = 2x + 3;

v′ = cos x − x sin x;

Окончательно:

′

+ 3x)

x cos x−1

(2x

+ 3) +

f (x) = x cos x

+ (x2 + 3x) x cos x (cos x − x sin x) ln(x 2

+ 3x).

Пример. Найти производную функции

y = (x 2 + cos2 ln x) lnsin x .

Используя формулу (uv )′

= v uv−1u′+ uv ln u v′ , найдем

−1

lnsin x

y′ =

+ cos

ln x)

+ cos

ln x)′ + (x

+ cos

ln x)

lnsin x

′

×ln(x

+ cos

ln x)

ln sin x

−1

lnsin x

′

+ cos

ln x)

(2x + 2 cos ln x (−sin ln x) (ln x) )

ln sin x

(ln sin

x) ′

ln x) ln sin x

+ (x 2 + cos 2

ln(x 2

+ cos 2

ln x) −

ln 2

sin x

−1

(x 2

+cos2 ln x)

lnsin x

(2x

−

sin(2 ln x)) − (x2

+ cos2 ln x)lnsin x ×

ln sin x

ctg x

×ln(x2 +cos2 ln x)

ln2 sin x

Рассмотрим примеры нахождения производных функций.

	Пример. Найти производную функции										y = arctg		2x4			.
	Пример. Найти производную функции										y = arctg	1		− x	8	.
								8x3	(1 − x8 ) − (−8x7 )2x4			1		− x	8
y′ =			1					8x3	(1 − x8 ) − (−8x7 )2x4	=
y′ =			4x	8					(1 − x8 )2	=
	1	+	4x
	1	+			8		2
			(1 − x		8	)	2
			(1 − x			)

(1 − x8 )2

(8x3 −8x11

+16x11 )

8x3

+8x11

8x3 (1 + x8 )

8x3

(1 + x8 )2 (1 − x8 )2

+ x8 )2

(1 + x8 )2

+ x8

Пример. Найти производную функции y = x 2 e x2

ln x .

′

2 x2 ′

2 x2

= (x e

)ln x + x e

x = (2xe + x e 2x)ln x + xe

= 2xe x2 (1 + x 2 ) ln x + xe x2 = xe x2 (1 + 2 ln x + 2x2 ln x).

Пример. Найти производную функции y = ln x e 5x sin 42x.

Находим производную от произведения функций.

y′ = ( ln x )′ e 5x sin 4 2x +

ln x

( e 5x sin 4 2x)′ =

= (

ln x )′ e 5x sin 42x +

ln x

(e 5x)′ sin 42x +

ln x e 5x(sin 4 2x)′=

(ln x)′ e 5x sin 4 2x +

ln x e 5x (5x)′ sin 4 2x +

2 ln x

ln x

e 5x 4 sin 3 2x (sin 2x)′

e 5x sin 4 2x +

ln x

5e 5x sin 4 2x +

ln x e 5x 4 sin 3 2x 2 соs 2x =

= e 5x sin 3 2x (

sin 2x

ln x 5 sin 2x + 8

ln x соs 2x).

ln x

Пример. Найти производную функции

1 + ln4 x

1/ 5

у =

1 − tg

′

1 + ln 4 x

−4 / 5

1 + ln 4 x

y′ =

1 − tg

− tg

−4

(1 + ln

′

5x)

− (1 + ln

x)(1 − tg

5x)

′

x) (1 − tg

1 + ln

(1 − tg

5x)

−4

′

1 − tg2 5x

4 ln

x x (1 − tg 5x) + (1 + ln x) 2tg5x (tg5x)

1 + ln

(1 − tg

5x)

1 − tg

−4

ln3 x(1 − tg 2 5x) +10(1 + ln 4

tg5x

cos

1 + ln

(1 − tg

5x)

Пример. Найти производную функции у = (arctg 3 sin ln x )4. y′ = 4(arctg 3 sin ln x )3 (arctg 3 sin ln x )′= 4(arctg 3 sin ln x )3×

		((sin ln x)1/ 3 )′		3	sin ln x )		3 1/ 3(sin ln x)−2 / 3			(sin ln x)′
×			=4(arctg								=
×			=4(arctg					1+3 sin 2 ln x			=
	1 + 3 sin 2 ln x							1+3 sin 2 ln x
		= 4(arctg 3 sin ln x )3		(sin ln x)−2 / 3 cos ln x					.
		= 4(arctg 3 sin ln x )3							.
					3x(1+3	sin 2 ln x )

3.4. Дифференциал функции. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

	lim	y	=	′
		x		f (x) .
	x→0
Тогда можно записать:		y	=	′	+ α , где α→0, при х→0.
		x		f (x)
Следовательно,	′		x + α		x .
	y = f (x)
Величина αΔx- бесконечно малая более высокого порядка,
чем f′(x) x; f′(x)	x- главная часть приращения						у.
Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х
называется главная линейная относительно						x часть приращения
функции.
Обозначается дифференциал dy или df(x).
Из определения следует, что dy = f′(x)						x	или dy = f′(x)dx.
Еще одно обозначение производной:						′		dy

						f (x) = dx .

Если u = f(x) и v = g(x) функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

d(u ± v) = (u ± v)′dx = u′dx ± v′dx = du ± dv, d(uv) = (u v)′dx = (u′v + v′u) dx = v du + u dv,

f(x)

Для изучения геометрического смысла дифференциала рассмотрим MKL.. Из соотношения элементов в прямоугольном треугольнике получим KL = dy = tgα x = y′ x.

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

y dy

M L

x + x

Пусть y = f(x), x = g(t), т.е. у =f(g(t)) - сложная функция.

Тогда dy = f′(x)g′(t)dt = f′(x)dx.

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой-то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется

инвариантной формой записи дифференциала.

Однако, если х - независимая переменная, то dx = x, но если х зависит от t, то х ≠ dx.

Таким образом, форма записи dy = f′(x) x не является инвариантной.

Дифференциал функции y = f(x) зависит от х и является главной частью приращения функции у. Во многих задачах приращение функции в данной точке приближенно заменяют дифференциалом функции в этой точке: у ≈ dy. Абсолютная погрешность при такой замене равна y − dy и является при х→0 бес-

конечно малой более высокого порядка , чем х. Итак, для малых dx

y = f (x0 + x) − f (x0 ) ≈ f ′(x0 )dx = dy

c малой относительной погрешностью	y − dy	.
	dy

Получаем формулу, которая практически используется прежде всего при приближенных вычислениях значений функции

f (x0 + x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 ) x .

Рассмотрим следующие примеры приближенных вычислений с помощью дифференциала,, обозначив х0 через х.

Функция y = n x .

Дифференциал функции равен

1 n x

и, значит,

x +

x ≈ n

1 n

x .

В частности, при х = 1

получим n 1 +

x ≈1 +

Пример.

Вычислить значение

4,001 .

х = 4; х = 0,001;

n = 2.

Получим

4 + 0,001 ≈ 4 +

0,001 = 2 + 0,00025 = 2,00025 .

Функция

y = sin x.

Дифференциал равен dy = cos x

х и, значит,

sin(x + х)≈sin x + cos x

х.

В частности, при х = 0 получим формулу sin

х ≈

х.

Пример. Вычислить значение sin 29°.

Положим х = π/6 (= 30°),

х = -

(= -1°). Найдем

180

sin 29

≈ sin

+ cos

−

≈ 0,5 −

0,01745 ≈ 0,48488 .

180

В четырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого угла указано значение 0,4848.

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции математика

#
02.04.2015231.62 Кб6004 Лекции 01 Определители матрицы.pdf
#
02.04.2015282.23 Кб9404 Лекции 02 Векторная алгебра.pdf
#
02.04.2015228.29 Кб6104 Лекции 03 Аналитическая геометрия.pdf
#
02.04.2015263.97 Кб5904 Лекции 04 Математический анализ.pdf
#
02.04.2015381.01 Кб5504 Лекции 04 Математический анализ Ряжских.pdf
#
02.04.2015513.74 Кб5804 Лекции 05 Дифференциальное исчисление Ряжских.pdf
#
02.04.2015248.1 Кб6004 Лекции 06 Функции многих переменных. Градиент.pdf
#
02.04.2015518.3 Кб6104 Лекции 07 Интегральное исчисление.pdf
#
02.04.2015427.07 Кб7604 Лекции 08 Кратные и криволинейные интегралы.pdf
#
02.04.2015214.06 Кб6804 Лекции 09 Поверхностные интегралы.pdf
#
02.04.2015627.84 Кб8604 Лекции 10 Дифференциальные уравнения.pdf