Лекции математика / 04 Лекции 16 Теория поля Эктов

различной, вообще говоря, в разных точках); поставив в соответствие каждой точке M из G вектор v(M ) , мы получим векторное поле, называемое полем скоростей.

Если a(M ) - некоторое векторное поле в

пространстве, то взяв в этом пространстве фиксированную прямоугольную декартову систему координат, можно

представить a(M ) как упорядоченную тройку скалярных

функций: a(M ) = (P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)) . Эти

функции будем считать непрерывными и имеющими непрерывные частные производные первого и второго порядка. Кроме того, область G полагаем односвязной.

Если функция U (M ) (или a(M ) ) не зависит от

времени, то скалярное (векторное) поле называется стационарным; поле, которое меняется с течением времени, называется нестационарным. Далее будем рассматривать только стационарные поля.

2. Основные характеристики скалярного и векторного полей

Вектор, координатами которого являются значения частных производных функции U (x, y, z) в точке

M (x, y, z) , называют градиентом функции и обозначают

Известно, что градиент задаёт в точке M направление наибыстрейшего возрастания функции U (x, y, z) . Говорят, что скалярное поле U порождает

векторное поле градиента U .

Линией градиента скалярного поля U (M ) называют

2

всякую кривую, касательная к которой в каждой точке направлена по gradU в этой точке.

Таким образом, линии градиента поля - это те линии, вдоль которых поле меняется быстрее всего.

Чтобы сформулировать ещё одно свойство градиента, напомним определение поверхности уровня.

Поверхностью уровня функции (поля) U = U (x, y, z)

называется поверхность, на которой функция (поле) сохраняет постоянное значение. Уравнение поверхности уровня имеет вид U (x, y, z) = C .

Таким образом, в каждой точке поля градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку.

Потоком Π векторного поля a = (P,Q, R) через

поверхность σ называется поверхностный интеграл

∫∫(P cosα +Q cos β + R cosγ) dS

σ

или, короче, ∫∫a n dS, где через n = (cosα, cos β, cosγ)

σ

обозначили единичный вектор нормали к поверхности σ , определяющий её сторону.

непрерывны, то

3

3. Формулы Стокса и Остроградского-Гаусса

Обозначим через L -- некоторый замкнутый контур, а σ -- поверхность, натянутая на этот контур.

4

Предполагается, что выбор направления на контуре согласован с выбором стороны поверхности (при обходе контура в выбранном направлении выбранная сторона находится слева).

Формула Стокса говорит о том, что циркуляция векторного поля вдоль некоторого контура равна потоку ротора векторного поля через поверхность, натянутую на этот контур.

Пусть теперь Ω - некоторая замкнутая ограниченная область, а σ - граница этой области. Тогда справедлива

σΩ

Напомним, что поверхностный интеграл в левой части формулы (5) берется по внешней стороне поверхности σ .

Формула Остроградского-Гаусса означает, что тройной интеграл по области от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через поверхность, ограничивающую данную область.

4. Оператор Гамильтона. Некоторые виды скалярных и векторных полей

Английским математиком и механиком Гамильтоном был введён векторный дифференциальный оператор

называемый оператором набла.

Следует сразу отметить, что аналогия между символическим вектором и "настоящими" векторами не

5

полная. Именно, формулы, содержащие символический вектор , аналогичны обычным формулам векторной алгебры в том случае, если они не содержат произведений переменных величин (скалярных и векторных), то есть до тех пор, пока не приходится применять входящие в операции дифференцирования к произведению переменных величин.

Используя набла-вектор, градиент скалярного поля

Целесообразность введения символического векторасостоит в том, что с его помощью удобно получать и записывать различные формулы векторного анализа.

Продемонстрируем сказанное на примерах.

Задача 1. Доказать, что ротор градиента скалярного поля U (M ) равен 0 , то есть rot(gradU ) = 0.

Решение.

Докажем сначала это равенство, не используя оператор Гамильтона. Таким образом,

6

поскольку по теореме Шварца непрерывные смешанные производные равны.

Теперь, используя форму записи градиента (7) и ротора (9) через , имеем rot(gradU ) = × U.

Так как вектор U (произведение вектора на скаляр U ) коллинеарен вектору , то их векторное

произведение равно 0 .

Задача 2. Записать дивергенцию градиента скалярного поля div(gradU ) , используя .

Решение.

Образуя дивергенцию от gradU , получим

=∂2U + ∂2U + ∂2U . ∂x2 ∂y2 ∂z2

Лапласа и обозначают символом :

7

= ∂2 + ∂2 + ∂2 . ∂x2 ∂y2 ∂z2

Поскольку скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то = 2 . Таким образом, div(gradU ) = 2U.

Векторное поле a(M ) называется потенциальным,

если его можно представить как градиент некоторого скалярного поля U (M ) :

a = gradU.

Само скалярное поле U называется при этом потенциалом векторного поля a .

Для того, чтобы векторное поле a(M ) было

Необходимость выполнения равенства (10) доказана (см. задачу 1, рассмотренную выше).

Потенциал векторного поля можно найти по формуле

где (x0 , y0 , z0 ) - произвольная точка области G .

Векторное поле a(M ) , дивергенция которого

тождественно равна нулю, называется соленоидальным (трубчатым).

Для того чтобы сформулировать одно из важнейших свойств соленоидального поля, введём понятия векторной линии и векторной трубки.

Линия L , лежащая в G называется векторной

8

линией, если в каждой точке этой линии направление касательной к ней совпадает с направлением векторного поля в этой точке.

Известно, что векторная линия является интегральной кривой системы дифференциальных уравнений

В частности, если векторное поле есть поле скоростей стационарного потока жидкости, то его векторные линии -- это траектории частиц жидкости.

Векторная трубка - это замкнутое множество Φ точек области G , в котором задано векторное поле a(M ) , такое, что всюду на его граничной поверхности вектор нормали n ортогонален a(M ) .

Векторная трубка состоит из векторных линий поля a(M ) . Векторная линия целиком содержится в Φ, если

одна точка линии содержится в Φ.

Интенсивностью трубки Φ в сечении называется поток поля a(M ) через это сечение.

Если поле соленоидальное, то выполняется закон сохранения интенсивности векторной трубки.

Для поля скоростей v(M ) несжимаемой жидкости приsотсутствии стоков и источников (то есть при условии div v(M ) = 0 ) закон сохранения интенсивности векторной

трубки можно сформулировать таким образом: количество жидкости, протекающей за единицу времени через сечение векторной трубки, одно и то же для всех ee сечений.

Ниже приводятся некоторые типичные задачи с решениями.

9

Задача 3. Найти поверхности уровня скалярного поля

U (M ) = x2 + y2 − z .

поверхности уровня представляют собой семейство эллиптических параболоидов, осью симметрии которых является ось Oz .

10