1. Исчисление высказываний и предикатов

1.1. Гипотеза о физической символьной системе

Ведущим принципом ранней методологии ИИ является сформулированная Ньюэллом и Саймоном в 1976г. гипотеза о физической символьной системе, которая гласит:

• физически ограниченная система ведет себя соответственно своим целям, приспосабливаясь к требованиям окружающей среды, проявляя при этом разумное в широком смысле поведение;

• физическая система проявляет разумное поведение тогда и только тогда, когда она является физической символьной системой;

• достаточность означает, что разумность может быть достигнута каждой правильно организованной физической символьной системой;

• необходимость означает, что каждый объект, проявляющий разумность, должен являться физической символьной системой, т.е. разумное поведение объекта достигается путем физической реализации операций над символьными структурами.

Гипотеза о физической символьной системе привела к использованию символов в качестве средства для описания окружающего мира, разработке механизмов перебора для нахождения решения поставленной задачи и независимости системы ИИ от средств реализации. Возможность формализовать символьные модели в виде языка представления принципиальна для моделирования интеллекта, как выполняемой компьютерной программы. Математика формальных систем позволяет оценить их полноту, непротиворечивость, сложность, а также обсуждать организацию знаний об окружающем мире.

На основании гипотезы о физической символьной системе можно сделать вывод, что интеллектуальная деятельность, как человека, так и машины, осуществляется с использованием: символьных шаблонов, предназначенных для описания области определения задачи, операций над этими шаблонами, позволяющими генерировать возможные решения, поиска решения из числа возможных. Таким образом, уровень интеллекта в значительной мере определяется структурой системы символов, представляющих знания о некоторой предметной области.

Очевидно, схема представления знаний должна адекватно выражать всю необходимую информацию, поддерживать эффективное выполнение конечного программного кода и обеспечивать естественный способ выражения необходимых знаний. Вообще говоря, задачи ИИ связаны скорее с качественными, а не с количественными проблемами, с логической аргументацией, а не с вычислениями, с организацией больших объемов знаний, а не с реализацией отдельного алгоритма.

Как следствие, язык представления знаний в ИИ должен обрабатывать знания, выраженные в качественной форме, получать новые знания из набора фактов и правил, отображать общие принципы и конкретные ситуации. Такими свойствами в значительной степени обладает язык исчисления предикатов, основное преимущество которого заключается в четко сформулированной формальной семантике, обоснованности и полноте правил вывода.

1.2. Исчисление высказываний

Исчисление предикатов и исчисление высказываний являются языками, состоящими из символов и предложений, обладающими определенной семантикой (значением) и синтаксисом, используя которые можно представить свойства и отношения в окружающем мире.

Символы исчисления высказываний – это символы высказываний (P, Q, R, S, …), значения истинности (true, false), логические связки (v, ^, ¬, ≡,→) и скобки, которые используются для группировки символов в подвыражения и управления порядком их оценки и присвоения значений.

Предложения в исчислении высказываний формируются из символов по следующим правилам:

• каждый символ и значение истинности есть предложение;

• отрицание (¬)предложения есть предложение;

• конъюнкция (v) или логическое И двух предложений есть предложение;

• дизъюнкция (^) или логическое ИЛИ двух предложений есть предложение;

• эквивалентность (≡) двух предложений есть предложение;

• импликация (→)двух предложений есть предложение.

Следует отметить, что в импликации P→Q, единственной несимметричной связке, элементы называются предпосылкой (P) и заключением (Q).

Предложение является правильно построенной формулой (ППФ) исчисления высказываний тогда и только тогда, когда оно состоит из некоторой последовательности допустимых символов согласно установленным правилам, например, ((Р^Q)→R)≡¬Pv¬QvR – правильно построенное предложение.

Символы высказываний составляют истинные или ложные утверждения относительно некоторого мира, например, P может означать «идет дождь», а Q – «земля мокрая».

Интерпретация предложения или семантика исчисления высказывания – это утверждение относительно правдивости предложения в некотором мире. Например, утверждение «если идет дождь, то земля мокрая» можно представить в виде импликации P→Q.

Формально, интерпретация набора высказываний – это присвоение значения истинности (T или F) каждому высказыванию, т.е. отображение предложений на множество {T,F}. Символы T и F используются для того, чтобы отличить результат интерпретации от символов true и false, которые могут использоваться в предложении.

Значение истинности предложений определяется таблицами истинности, которые содержат все возможные варианты значения истинности для элементарных суждений или атомарных формул, составленных из символов высказываний или элементов. В таблице 1 приведены значения истинности для логических связок.

Таблица 1

P	Q	P^Q	PvQ	P≡Q	P→Q
T	T	T	T	T	T
T	F	F	T	F	F
F	T	F	T	F	T
F	F	F	F	T	T

Два выражения в исчислении высказываний эквивалентны, если они имеют одни и те же значения при всех возможных значениях элементов, составляющих эти выражения. Эта эквивалентность может быть доказана сопоставлением таблиц истинности для каждого выражения.

Для приведения высказываний к необходимому виду, например, к дизъюнкции конъюнкций, используются известные из булевой алгебры законы отрицания-отрицания, Моргана, коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности для конъюнкций и дизъюнкций, а также отношения эквивалентности для импликаций: (PvQ)≡(¬P→Q), P→Q≡(¬Q→¬P).