Модель тренда в виде параболы

4. Логарифмы в модели по данным табл. 7.2

По значениям логарифмов определяются коэффициенты показательной модели

Показательная модель имеет вид.

5. Теоретические значения для рассмотренных трех видов моделей приведены в табл. 7.3.

Таблица 7.3

Теоретические значения уровней ряда

Номер члена ряда динамики	Товарооборот, , млн.р.		Теоретические значения тренда
			линейного	параболического	показательного
1	2	3	4	5	6
1	26,7	10	27,03	27,14	27,12
2	27,3	9	27,18	27,26	27,26
3	27,6	8	27,33	27,38	27,40
4	27,9	7	27,48	27,51	27,53
5	27,4	6	27,64	27,64	27,67
6	28,6	5	27,79	27,77	27,81
7	27,8	4	27,94	27,91	27,95
8	27,7	3	28,09	28,05	28,09
9	27,9	2	28,24	28,19	28,23
10	28,2	1	28,40	28,34	28,37
11	28,4	0	28,55	28,49	28,51
12	29,1	1	28,70	28,64	28,65
13	28,3	2	28,85	28,80	28,80
14	28,7	3	29,00	28,96	28,94
15	28,9	4	29,16	29,12	29,09
16	29,1	5	29,31	29,29	29,23
17	29,5	6	29,46	29,46	29,38
18	30,4	7	29,61	29,64	29,52
19	30,5	8	29,76	29,81	29,67
20	30,2	9	29,92	30,00	29,82
21	29,3	10	30,07	30,18	29,97
Итого	599,5		599,51	599,58	599,01

Результаты расчета табл. 7.3 показаны на графиках (рис. 7.1)

Графический анализ свидетельствует о том, что рассмотренные модели тренда примерно одинаково отражают тенденцию изменения товарооборота.

Рис. 7.1. Аналитическое выравнивание ряда динамики товарооборота

фактические уровни ряда;

линейная модель;

параболическая модель;

показательная модель.

Задача 7.2

В табл.7.4 (графы 1, 2) приведены данные о товарообороте в одном из районов города за 3 недели (21 день).

Выровнять ряд динамики с использованием простых (интервал скольжения = 3; 5; 7) и взвешенных скользящих средних (интервал скольжения = 5).

Решение

1. Простые скользящие средние рассчитываются по формуле

где k  число уровней интервала сглаживания, предшествующих центральному уровню или следующих за ним;

длина интервала сглаживания.

Таблица 7.4

Товарооборот и скользящие средние

Время t	Уровни ряда динамики товарооборота , млн.р.	Простая скользящая средняя товарооборота , млн.р.		5-членная скользящая средняя товарооборота , млн.р.
		3-членная	7-членная	простая	взвешенная
1	2	3	4	5	6
1	26,7				
2	27,3	27,2			
3	27,6	27,6		27,4	27,7
4	27,9	27,6	27,6	27,8	27,6
5	27,4	28,0	27,8	27,9	27,9
6	28,6	27,9	27,8	27,9	28,1
7	27,8	28,0	27,9	27,9	28,1
8	27,7	27,8	28,0	28,0	27,7
9	27,9	27,9	28,2	28,0	27,9
10	28,2	28,2	28,2	28,3	28,1
11	28,4	28,6	28,3	28,4	28,6
12	29,1	28,6	28,5	28,5	28,7
13	28,3	28,7	28,7	28,7	28,7
14	28,7	28,6	28,9	28,8	28,7
15	28,9	28,9	29,1	28,9	28,6
16	29,1	29,2	29,3	29,3	28,9
17	29,5	29,7	29,6	29,7	29,0
18	30,4	30,1	29,7	29,9	30,3
19	30,5	30,4		30,0	30,6
20	30,2	30,0			
21	29,3				

Формулы расчета 3-; 5-; 7-членной скользящей средней имеют следующий вид:

Например, скользящие средние в 3-й и 4-й момент времени при интервале сглаживания (пятичленные скользящие средние) равны

2. Взвешенные скользящие средние рассчитываются с учетом весов членов ряда по формуле взвешенной скользящей средней

где w_i  весовые коэффициенты.

Аналогично рассчитываются остальные взвешенные скользящие средние. Результаты расчета приведены в табл. 7.4.

На основе данных табл. 7.4, построены графики простых и взвешенных скользящих средних (рис. 7.2 и 7.3).

Рис. 7.2. Сглаживание ряда динамики товарооборота с помощью

простых скользящих средних

фактические уровни ряда;

число уровней в интервале сглаживания равно 3;

число уровней в интервале сглаживания равно 7

Рис. 7.3. Сглаживание ряда курса рубля с помощью

простой и взвешенной скользящих средних

фактические уровни ряда;

простая скользящая средняя;

взвешенная скользящая средняя

На рис. 7.2 видно, что чем больше интервал сглаживания, тем больше происходит выравнивание исходных данных, но при этом теряются крайние значения ряда динамики. Потеря последних k данных является существенным недостатком, т. к. они обладают наибольшей информативной ценностью. Существуют приемы, позволяющие восстановить последние потерянные данные. Например, можно вычислить средний абсолютный прирост на последнем интервале сглаживания и получить k сглаженных значений в конце ряда динамики путем прибавления среднего абсолютного прироста к последнему сглаженному значению.

Задача 7.3

В табл.7.5 (графы 1, 2) приведены данные о товарообороте в одном из районов города за 3 недели (21 день).

Рассчитать экспоненциальную среднюю для ряда динамики курса рубля к доллару США для двух значений параметра сглаживания: =0,1; =0,5. В качестве начального значения экспоненциальной средней принять среднее значение из пяти первых уровней ряда.

Таблица 7.5

Экспоненциальные средние товарооборота

Время t	Уровни ряда динамики товарооборота, , млн.р.	Экспоненциальная средняя товарооборота, , млн.р.
		=0,1	=0,5
1	2	3	4
1	26,7	27,31	27,04
2	27,3	27,31	27,17
3	27,6	27,34	27,39
4	27,9	27,40	27,64
5	27,4	27,40	27,52
6	28,6	27,52	28,06
7	27,8	27,55	27,93
8	27,7	27,56	27,82
9	27,9	27,59	27,86
10	28,2	27,66	28,03
11	28,4	27,73	28,21
12	29,1	27,87	28,66
13	28,3	27,91	28,48
14	28,7	27,99	28,59
15	28,9	28,08	28,75
16	29,1	28,18	28,92
17	29,5	28,31	29,21
18	30,4	28,52	29,81
19	30,5	28,72	30,15
20	30,2	28,87	30,18
21	29,3	28,91	29,74