3.2.3. Анализ оптимального решения

Жизнь, как правило, не стоит на месте. Как говорится, все течет, все изменяется. В том числе и исходные данные, для которых находилось оптимальное решение. Изменится ли при этом полученное оптимальное решение? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к нашей модели (3.1.8). Посмотрим, как влияет на оптимальное решение изменение двух элементов математической модели:

с_j — прибыли, получаемой при продаже единицы продукции x_j;

b_i — количества располагаемого ресурса.

Анализ влияния изменения cj

В математической модели (3.1.8) целевая функция равна

F = 60x₁+70x₂+120x₃+130x₄max.

Допустим, прибыль от продажи Прод1 с₁ = 60 изменится на величину с₁ и станет

с₁ = 60 + с_1. (3.2.11)

Рис. 3.2.6

При этом строка целевой функции в исходной симплекс-таблице (рис. 3.1.7) примет такой вид, как на рис. 3.2.6.

В результате поиска оптимального решения фраг­мент последней симплекс-таблицы будет иметь вид, представленный на рис. 3.2.7. Отсюда можно сделать вывод, что к величинам, находящимся в таблице рис. 3.1.8, добавляются величины в строке x_j (ячейки B3:F3), умноженные на с₁.

Рис. 3.2.7

Согласно признаку 2а, сформулированному в 3.1.3, при максимизации целевой функции решение будет оптимальным в том случае, когда в строке целевой функции все элементы, кроме свободного члена, будут неотрицательны.

Значит, решение будет оптимальным при условии

(3.2.12)

Преобразуя (3.2.12), запишем:

и окончательно

12 с₁ 40.

Условие (3.2.12) определяет пределы изменения с₁ при которых сохраняется структура оптимального плана, т. е. будет выгодно по-прежнему выпускать продукцию х₁.

В отчетах Excel нижний предел (в примере равный 12) называется допустимое уменьшение; верхний предел, равный 40, — допустимое увеличение.

Если от пределов приращений c₁ перейти к пределам значения величины с₁, то можно записать

(3.2.13)

Таким образом, при изменении с₁ в пределах

minc₁ c₁ maxc₁ (3.2.14)

48 с₁ 100

будет по-прежнему выгодно выпускать продукцию х₁. При этом значение целевой функции будет

F = 1320 +10c_1.

Если выполнить аналогичные преобразования с с₂, с₃, с₄, то получим

(3.2.15)

И далее по зависимостям, аналогичным (3.2.13), не трудно перейти к пределам значений с₂, с₃, с₄.

Анализ влияния изменения bi

Рассмотрим влияние изменения ресурсов на примере изменения имеющегося количества сырья. При изменении трудовых ресурсов на b₁ ограничение для них будет иметь вид:

x₁+x₂+x₃+x₄ 16b₁,

что запишем в виде

y₁ = (16+b₁) (x₁+x₂+x₃+x₄).

При этом столбец свободных членов в симплекс-таблице будет иметь вид, показанный на рис. 3.2.8, а фрагмент симплекс-таблицы с оптимальным решением на рис. 3.2.9, из которого видно правило формирования свободных членов, аналогичное правилу формирования строки целевой функции.

Рис. 3.2.8

Рис. 3.2.9

В соответствии с признаком 1 решение будет допустимым в том случае, если все элементы в столбце свободных членов будут неотрицательными. Значит, из рис. 3.2.9 следует

откуда

Тогда для сохранения структуры оптимального плана изменение трудовых ресурсов должно быть в пределах

6 b₁ 3,55.

Аналогично можно получить значения для b₂, b₃ и записать

(3.2.16)

Переход от b_i к пределам b_i производится по зависимостям

(3.2.17)

и в результате получим

minb₁ = 16 6 = 10

maxb₁ = 16 +3,55 = 19,55

(3.2.18)

Найденные пределы показывают границы, в которых могут изменяться ресурсы, чтобы структура оптимального решения, т. е. номенклатура выпускаемой продукции, остались без изменений. А это означает, что при изменении трудовых ресурсов в найденных пределах оптимальным, т. е. обеспечивающим наибольшую прибыль, является выпуск той же продукции х₁ и х_3, но в других количествах. При этом необходимо будет выпускать

х₁ = 10 + 1,67b_1,

x₃ = 6 0,67b_1.

При этом целевая функция будет

F = 1320 + 20b_{1 .}

Аналогично полученные зависимости для финансов будут иметь вид:

Поясним эти зависимости на следующем примере. Пусть увеличение финансов составляет

b₃ = 10.

При этом получим

х₁ = 10 0,17 10 = 8,3,

х₃ = 6 + 0,17 10 = 7,7.

В данном случае целевая функция будет

F = 1320 +10 10 = 1420.

Видимо, было трудно представить, что при увеличении финансов для обеспечения максимизации прибыли выпуск продукции х₁ целесообразно уменьшить, а выпуск продукции х₃ — увеличить. Такое решение объясняется следующим. Как видно из условий задачи (рис. 3.1.6), прибыль с единицы продукции с₃ = 120, т. е. единица продукции Прод3 в 120/60 = 2 раза дает большую прибыль по сравнению с единицей продукции вида Прод1. В связи с этим оказалось целесообразным такое перераспределение выпуска продукции.

Мы полагаем, что приведенных примеров достаточно, чтобы показать, на какие важные вопросы можно получить ответы с помощью математической модели. Следует подчеркнуть, что все эти ответы могут быть получены без дополнительного решения задачи, а только используя симплекс-таблицу основной задачи (рис. 3.1.8).

И еще один важный вопрос. Говоря о двойственных и дополнительных двойственных переменных, мы оставили без ответа поставленные вопросы о пределах, в которых справедливы полученные значения этих переменных. Пришла пора дать ответ на эти вопросы. Оказывается, что пределы изменения b_i — это и есть пределы справедливости двойственных оценок z_i. А пределы изменения c_j — это пределы справедливости дополнительных двойственных оценок v_j.

На этом мы заканчиваем рассмотрение тех некоторых теоретических положений, без знания которых было бы не ясно, откуда в отчетах Excel появляются соответствующие представляемые величины.

Читатель, который не поленился внимательно разобраться в симплекс-методе и анализе оптимальных решений, надеемся, согласится с известным положением, что нет ничего практичнее хорошей теории.