4. Аффинные преобразования в пространстве

Аналогично тому, как это было сделано для двумерного случая, заменим координатную тройку (x, y, z), задающую точку в пространстве, на четверку (x, y, z, 1) или в общем виде на (hx, hy, hz, 1),

где h ¹ 0.

Можно показать, что любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может быть представлено в виде комбинации поворотов, растяжений (сжатий), отражений и переносов. Выпишем все матрицы, определяющие эти преобразования:

А. Матрицы поворота в пространстве

Матрица поворота вокруг оси абцисс на угол j:

1 0 0 0

Rx = 0 cos j sin j 0 ( 14 )

0 - sin j cos j 0

0 0 0 1

Матрица поворота вокруг оси ординат на угол y:

cos y 0 - sin y 0

Ry = 0 1 0 0 ( 15 )

sin y 0 cos y 0

0 0 0 1

Матрица поворота вокруг оси аппликат на угол c:

cos c sin c 0 0

Rz = - sin c cos c 0 0 ( 16 )

0 0 1 0

0 0 0 1

Б. Матрица растяжения ( сжатия )

a 0 0 0

D = 0 b 0 0 ( 17 )

0 0 g 0

0 0 0 1

где a,b,g- коэффициенты растяжения ( сжатия ) вдоль осей абсцисс, ординат и аппликат, соответственно.

В. Матрицы отражения:

Матрица отражения относительно плоскости XY:

1 0 0 0

Мz = 0 1 0 0 ( 18 )

0 0 - 1 0

0 0 0 1

Матрица отражения относительно плоскости YZ:

- 1 0 0 0

Мx = 0 1 0 0 ( 19 )

0 0 1 0

0 0 0 1

Матрица отражения относительно плоскости ZX:

1 0 0 0

Мy = 0 - 1 0 0 ( 20 )

0 0 1 0

0 0 0 1

Г. Матрица переноса

1 0 0 0

T = 0 1 0 0 ( 21 )

0 0 1 0

lmn1

где ( l,m,n) - вектор переноса.

Матрицы (14 ¸21) отражают простейшие геометрические преобразования точки в пространстве. Матрица сложного аффинного преобразования получается в результате перемножения такого рода матриц и имеет в общем случае вид:

a1 a2 a3 0

P = b1 b2 b3 0 ( 22 )

g1 g2 g3 0

l m n 1

При помощи указанных матриц можно преобразовывать любые пространственные тела, заданные множеством вершин, соединенных отрезками прямых.

Пусть требуется подвергнуть заданному аффинному преобразованию выпуклый многогранник, имеющий n вершин (рис. 10). Матрица, однозначно описывающая такое тело, имеет вид:

x1 y1 z1 1

x2 y2 z2 1

V0 = . . . . (23)

. . . .

xn yn zn 1

где xi, yi, zi- координатыi- й вершины.

По геометрическому описанию преобразования находим его матрицу P . Тогда новый выпуклый многогранник описывается набором вершин:

x1*y1*z1* 1

x2* y2* z2* 1

V* = V0 * P = . . . . ( 24 )

. . . .

xn* yn* zn* 1