Теория_КГ / Параллельная Проекция_КГ

ОСНОВНЫЕ ВИДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ В КОМПЬЮТЕРНОЙ ГРАФИКЕ

(Параллельные проекции)

Так как экран дисплея представляет собой двумерную плоскость, мы можем изобразить только проекции трехмерных объектов, а не сами объекты. Задача состоит в том, чтобы определить проекцию каждой точки объекта, расположенного в произвольном месте трехмерного пространства, на некоторую плоскость в этом пространстве, называемую картинной плоскостью.

Изображение объектов на картинной плоскости связано с еще одной геометрической операцией - проецированием с помощью пучка прямых. В компьютерной графике используется несколько видов проецирования. Наиболее часто встречается проецирование центральное (перспективное) и параллельное.

Для получения проекции объекта на картинную плоскость необходимо провести через каждую его точку прямую из заданного проектирующего пучка и затем найти координаты точки пересечения этой прямой с картинной плоскостью. В случае центрального проецирования все прямые исходят из одной точки - центра пучка (рис. 1). При параллельном проецировании центр пучка считается лежащим в бесконечности (рис. 2).

Рис.1 Рис.2

Каждый из этих двух основных классов разбивается на несколько подклассов в зависимости от взаимного расположения картинной плоскости и координатных осей. Классификация параллельных проекций приведена на рис.3

ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ

Как видно из рисунка 3, среди параллельных проекций различают ортографическую, аксонометрическую и косоугольную.

При ортографической проекции картинная плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей (рис.4) или параллельна ей (рис.5). Проецирующие прямые перпендикулярны картинной плоскости.

Рис. 3 –Классификация параллельных проекций

Рис.4 Рис. 5

Так как проецирование можно рассматривать как вид геометрических преобразований, для его описания в задачах компьютерной графики используются однородные координаты и матрицы четвертого порядка. В частности, для ортографической проекции матрица проецирования вдоль оси X на плоскость YZ имеет вид:

0 0 0 0

Px = 0 1 0 0 (1)

0 0 1 0

0 0 0 1

Если картинная плоскость параллельна координатной плоскости и перенос составляет величину  ( рис.5), необходимо умножить матрицу Px на матрицу переноса , учитывая при этом, что  = 0 и  = 0.

1 0 0 0 0 0 0 0

Px = Px  0 1 0 0 = 0 1 0 0 (2)

0 0 1 0 0 0 1 0

 0 0 1  0 0 1

Аналогично для матриц проецирования вдоль двух других координатных осей:

1 0 0 0

Py = 0 0 0 0 ( 3 )

0 0 1 0

0  0 1

1 0 0 0

Pz = 0 1 0 0 ( 4 )

0 0 0 0

0 0  1

При аксонометрической проекции проецирующие прямые перпендикулярны картинной плоскости, а сама картинная плоскость образует с осями координат ненулевые углы.

Если все три угла различны между собой - проекция триметрическая; если два угла из трех равны - проекция диметрическая;

если равны все три угла - проекция изометрическая.

Каждый из трех видов указанных проекций получается комбинацией поворотов, за которой следует параллельное проецирование.

Так, например, при повороте на угол  относительно оси ординат Y, на угол  вокруг оси абсцисс X и при последующем проецировании вдоль оси аппликат Z необходимо построить матрицу:

cos  0 - sin  0 1 0 0 0 1 0 0 0

М = 0 1 0 0  0 cos  sin  0  0 1 0 0 (5)

sin  0 cos  0 0 - sin  cos  0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0  1

Проекции, для получения которых используется пучок прямых, не перпендикулярных картинной плоскости, называют косоугольными. Среди них различают:

свободную проекцию, когда угол наклона проецирующих прямых к картинной плоскости равен половине прямого, и

кабинетную проекцию, когда требуется еще, чтобы масштаб по одной из осей был вдвое меньше, чем по двум остальным осям.