радиолокационные системы / Математические модели сигнала

Математические модели сигнала

Математическая модель сигнала необходима для описания процессов формирования и прохождения сигнала через элементы системы и среду распространения. Математической моделью детерминированного сигнала является функция времени х(t) или ее «изображение» - представление в виде суммы «базовых» функций, например:

- ступенчатых функций σ(t) (функций включения, функций Хевисайда), следующих через равные интервалы времени Δ,

- следующих вплотную один за другим прямоугольных импульсов длительности Δ,

- гармонических и других функций (Уолша, Чебышева, Лежандра, Котельникова, Хаара-Радимахера и т.д.). Непериодические сигналы иногда удобно представлять суммой кратковременных «волновых» сигналов (вейвлет - преобразование).

Пример представления прямоугольных импульсов суммой гармоник

Сумма гармоник 1, 3, τ/T=0,5

Сумма гармоник 1, 3, 5, τ/T=0,5

Сумма гармоник 1, 3, 5, 7, τ/T=0,5

Сумма гаоник 1, 2, 3, 5, 6, 7, τ/T=0,25

Математическое описание гармонического сигнала

Гармонический сигнал представляют в формах:

амплитудно-фазовой , φ(t) – полная фаза,

квадратурной

и комплексной, основанной на формуле Эйлера

Коэффициенты С_ω, С_-ω – комплексные амплитуды, несущие информацию и об амплитуде, и о фазе гармонического сигнала.

Комплексная форма описания гармонического сигнала позволяет представить его как результат сложения векторов и упрощает ряд математических преобразований сигналов.

Геометрическое представление спектра гармонического сигнала:

одностороннего, двустороннего, действительного и мнимого

Связь частоты и фазы: ω = dφ/dt

При постоянной частоте фаза изменяется линейно

Спектр периодического сигнала

Периодический сигнал можно представить суммой гармоник (рядом Фурье), образующих дискретный (линейчатый) спектр:

где а_о/2 - постоянная составляющая, ₁=2/T - частота первой гармоники, T и n - период сигнала и номер гармоники.

Ряд значений амплитуд A_n и фаз _n гармоник называют спектрами амплитуд и фаз. Это «односторонний спектр» - представление сигнала в области только положительных частот. Спектр фаз зависит от выбора начала отсчета времени. В задачах, где рассматриваются только энергетические соотношения, спектр фаз не имеет значения.

Комплексные амплитуды С_n, содержащие информацию об амплитудах и фазах гармоник, называют двусторонним комплексным спектром, представляющим сигнал в области положительных и отрицательных частот. В этом спектре амплитуды составляющих в 2 раза меньше, чем в одностороннем спектре.

Амплитуды и фазы гармоник в разных формах представления спектра связаны между собой соотношениями

Периодический сигнал s(t) имеет бесконечную длительность и бесконечную энергию. Поэтому его характеризуют средней за период мощностью:

При этом предполагается, что сигнал представлен напряжением или током, действующим на сопротивлении в 1 Ом.

Масштабные множители в формулах для коэффициентов a_n, b_n, C_n установлены такими, чтобы при разложении в ряд функций sinωt, cosωt получились значения a_n, b_n= 1.

Спектр периодической последовательности

прямоугольных импульсов

Найдем комплексный спектр последовательности прямоугольных импульсов с началом отсчета времени от середины импульса:

Таким образом, в рассматриваемом случае комплексные амплитуды оказались чисто действительными. В важном для описания цифровых систем случае, когда =T/2, : в спектре присутствуют только нечетные гармоники.

Примеры спектров амплитуд при разных значениях скважности импульсной последовательности /T показаны на рисунке:

Если изменить начало отсчета времени, комплексный спектр изменится, при этом спектр амплитуд C_n сохранится, а изменится спектр фаз.

Спектр непериодического сигнала конечной длительности

Из примера спектра периодической последовательности импульсов

видно, что при Т спектральные линии становятся бесконечно близкими друг к другу и спектр становится сплошным, а форма огибающей спектра сохраняется. Линейчатый спектр заменяется непрерывной комплексной спектральной функцией S().

Спектр непериодического сигнала представляет преобразование Фурье:

- обратное преобразование.

Из сопоставления спектральной функции сигнала S(ω) и спектра комплексных амплитуд его периодического продолжения следует, что т.е. вид функций S(ω) и C_n в общем случае одинаков и отличается только множителем. Соотношение размерности этих функций .

Спектральную функцию называют также спектральной плотностью, плотностью амплитуд. Подобно плотности вещества - коэффициенту пропорциональности между массой и объемом вещества (объем и масса в пределе стремятся к 0), спектральная плотность – это коэффициент пропорциональности между амплитудой спектральной составляющей в узкой полосе df (ее можно считать одинаковой для всех составляющих в этой полосе) и шириной этой полосы. Физический смысл функции S(ω) - средняя амплитуда, приходящаяся на полосу частот в 1 Гц.

Непериодический сигнал имеет конечную энергию, поэтому его называют «энергетическим». Энергия сигнала

(1)

Проверим соотношение размерностей: . Именно такая размерность последнего выражения в формуле (1). Физический смысл функции  S() ² - спектральная плотность энергии.