радиолокационные системы / Характеристики случайных величин

Характеристики случайных величин

Функция распределения F(x) = P(X<x) – вероятность того, что значение случайной величины Х меньше х.

Плотность вероятности p(x) = dF(x)/dx, p(x)dx = P(x<X<x+dx) – вероятность попадания случайной величины в интервал dx в окрестности значения х.

Математическое ожидание – оценка среднего значения непрерывной и дискретной величины:

Дисперсия D и среднеквадратичное отклонение (СКО) σ:

Примеры распределений

Равномерное распределение

Гауссово (нормальное) распределение

Распределение случайной величины, зависящее от многих равнозначных факторов, в пределе стремится к нормальному.

Ф(х) - интеграл вероятностей (функция Лапласа, функция ошибок)

Распределение Пуассона

Это вероятность появления “m” событий за время “τ” при появлении в среднем “λ” событий за единицу времени. Распределение описывает вероятность «редких» событий, когда вероятность одновременного появления нескольких событий мала.

Характеристики случайных процессов

Математическая модель случайного процесса – случайная функция.

Выборочная функция – конкретная реализация случайной функции.

Ансамбль – множество всех возможных выборочных функций.

Сечение случайной функции – значения всех выборочных функций ансамбля в один и тот же конкретный момент времени. На рисунке – три выборочных функции, набор значений х₁, х₂, х₃ – сечение случайной функции в момент t₂.

Центрированная случайная функция – разность случайной функции и ее математического ожидания (среднего значения).

Наиболее полной характеристикой случайной функции является многомерная плотность вероятностей p(x₁, x₂,..,x_n, t₁, t₂,.., t_n) - вероятность того, что в момент t₁ случайный сигнал примет значение в малом интервале dx в окрестности значения x₁, в момент t₂ - в окрестности значения x₂ и т.д. Менее информативны, но удобны для использования и достаточны для описания ряда случайных процессов моментные функции, полученные усреднением по ансамблю: математическое ожидание и дисперсия

а также двумерный центральный момент, или функция корреляции:

Случайная функция стационарна в строгом, или узком, смысле, если от времени не зависят все характеристики, т.е. многомерная плотность вероятностей. Стационарна в широком смысле, если от времени не зависят среднее значение, дисперсия и корреляционная функция R(t₁, t₂)=R(τ).

Случайная функция эргодическая, если усреднение по ансамблю и по времени дает одинаковые результаты. Из эргодичности следует стационарность, обратное утверждение неверно. Стационарный процесс обычно оказывается не эргодическим, если реализуется в разных вариантах, зависящих от не связанных со временем факторов.

Пример не эргодического процесса. Частица, попадающая с равной вероятностью в одну из двух ячеек ящика, продолжает в ней хаотическое движение. При усреднении по ансамблю и по времени будут получены разные распределения вероятностей координат частицы.

Амплитудный состав случайного сигнала описывает распределение вероятностей, частотный состав – корреляционная функция и спектральная плотность мощности. Процессы x₁(t), x₂(t) не стационарные, их дисперсии близки по величине, средние значения изменяются одинаково, а спектральный состав разный.

Автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности

Автокорреляционные функции детерминированного сигнала x(t) конечной длительности, периодического сигнала и случайного сигнала определяются как (1), (2), (3) соответственно:

Автокорреляционная функция периодического и случайного сигнала имеет размерность мощности, сигнала конечной длительности – размерность энергии. Автокорреляционная функция характеризует степень взаимосвязи предыдущих и последующих значений сигнала. При τ=0 она максимальна.

Функция (4) взаимной корреляции двух разных сигналов x(t), y(t) конечной длительности характеризует степень взаимосвязи этих сигналов. Величину (5) называют интервалом корреляции. Значения сигналов, отстоящие друг от друга на интервал времени больше τ_k, являются практически взаимно независимыми

Корреляционные функции вычисляют для центрированных величин. Аналогичные функции, определенные для не центрированных величин, называются ковариационными.

Пример: автокорреляционная функция прямоугольного импульса

Спектральный состав случайного сигнала описывают спектральной плотностью мощности Р(ω). На ограниченном интервале времени Т энергия Е и средняя мощность Р конкретной реализации случайного процесса

где S(ω) - спектральная плотность, а │S(ω)│²/T - спектральная плотность мощности данной реализации случайного процесса, т.е. средняя за интервал Т мощность в полосе частот 1 Гц. Чтобы найти спектральную плотность мощности всего процесса, а не одной реализации, необходимо усреднение по ансамблю, а при эргодическом случайном процессе – усреднение по времени. Удобнее вычислять

спектральную плотность мощности через корреляционную функцию.

Согласно теореме Винера – Хинчина (1934 г.), спектральная плотность мощности и корреляционная функция связаны между собой преобразованием Фурье

Функции R(τ), Р(ω) четные, поэтому интегрирование можно вести только в области ω>0:

Аналогичным соотношением связаны энергетический спектр и автокорреляционная функция непериодического детерминированного сигнала:

Чем шире спектр сигнала (сильнее представлены высокочастотные составляющие сигнала), тем слабее взаимосвязь предыдущих и последующих значений сигнала и уже корреляционная функция.

Осциллограммы сигналов и их автокорреляционные функции

Шире спектр сигнала – уже его автокорреляционная функция