20_PloskostiProstranstva
.pdfКОНЕЧНЫЕ ГЕОМЕТРИИ |
137 |
(в) частичные геометрии с t = 1, называемые обобщенными четырехугольниками;
(г)частичные геометрии с 1 < t < min(k − 1, r − 1). Все известные частичные геометрии этого типа строятся с помощью максимальных дуг в проективных плоскостях. (см. [61]).
А.А. Махнев завершил классификацию однородных расширений частичных геометрий с короткими прямыми [11].
Двойственной к частичной геометрии с параметрами (r, k, t) является частичная геометрия с параметрами (k, r, t).
Проективная и аффинная плоскости порядка n являются частичными геометриями с параметрами (n + 1, n + 1, n + 1) и (n + 1, n, n), соответственно. Регулярная гиперболическая m, n -плоскость также является частичной геометрией с параметрами (m + 1, m, m).
Внешние точки и внешние прямые овала проективной плоскости P (2, n) (n ≡ 0 mod 2) образуют частичную геометрию с параметрами ((n − 1)/2, (n + 1)/2, (n − 3)/4).
Внутренние точки и секущие (не пересекающие) овала проективной плоскости четного порядка n образуют частичную геометрию с параметрами (n/2 + 1, n − 1, n/2 − 1)/(n/2, n + 1, n/2).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Аргунов Б. И., Емельчиков Е. П. Инцидентностные структуры и тернарные алгебры// Усп. мат. наук. — 1982. — 37. — С. 3–37.
2.Артин Э. Геометрическая алгебра. — М., 1969.
3.Афанасьев В. В. Конечные геометрии// Задачи по объединенному курсу геометрии. — Ярославль, 1992. — Ч. VI. — С. 65–87.
4.Афанасьев В. В. Проективная плоскость// Мат. энциклопедия. — М., 1984. — Т. 4. — С. 668–670.
5.Афанасьев В. В. Проективное пространство// Мат. энциклопедия. — М., 1984. — Т. 4. — C. 679–680.
6.Баннаи Э., Ито Т. Алгебраическая комбинаторика. Схемы отношений. — М.: Мир, 1987.
7.Гильберт Д. Основания геометрии. — М.-Л.: Гостехиздат, 1948.
8. Емельченков Е. П. P H-тернар ельмслевовой проективной плоскости// Смоленск. мат. сб. — 1973. —
№ 4. — C. 93–101.
9.Истомина Л. И.// В сб.: Кибернетико-математические методы исследования процессов и структур. — Пермь, 1976. — C. 81–83.
10.Картеси Ф. Введение в конечные геометрии. — М., 1962.
11.Махнев А. А. Частичные геометрии и их расширения// Усп. мат. наук. — 1999. — 54. — C. 25–76.
12. Скорняков Л. А.// Усп. мат. наук. — 1951. — 6, № 6. — C. 112–54.
13.Тас Дж. А. Комбинаторика частичных геометрий и обобщенные четырехугольники// Математика. — 1980. — 19. — C. 82–100.
14.Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. — М., 1954.
15.Холл М. Комбинаторика. — М.: Мир, 1970.
16.Холл М. Теория групп. — М., 1980.
17.Цыганова В. К. H-тернар ельмслевовой аффинной плоскости// Уч. зап. Смоленск. гос. пед. ин-та. — 1967. — № 18. — C. 44–69.
18.Ball S. An introduction to finite geometry/ Finite geometry web. — Online Notes, 2005.
19.Barlotti A. Le possibili configurazioni del sistema delle coppie punto-relta (A, a) per cui un piano graffico risulta (A, a) transitivo// Boll. Un. Mat. Ital. — 1957. — С. 212–226.
20.Billiotti M. Piani proettivi con collineazioni centrali assegnate// Boll. Un. Mat. Ital. — 1978. — 15, № 1. — С. 241–252.
21.Bose R. C. On the applications of the properties of Galois fields to the problems of construction of Hyper– Graeco–Lati squares// Indian J. Stat. — 1938. — 3, № 4. — С. 323–338
22.Bose R. C.// Pac. J. Math. — 1963. — 13, № 2. — С. 389–419.
23.Bose R. C.// Sankhya. — 1947. — 8. — С. 107–66.
24. Cherowitzo W., Penttila T., Pinneri I., Royle G. F. Flocks and ovals// Geom. Dedic. — 1996. — 60. —
С. 17–37.
25.Dembowski P. Finite geometries. — N.Y., 1968.
26.Dembowski P., Hughes D. R.// J. London Math. Soc. — 1965. — 40. — С. 171–82.
27.Euler L. Recherches sur une nouvelle espress des quarres magiques// Verh. Zeewch. Genootsch. Wetensch. Vlisingen. — 1782. — 9. — С. 85–239.
28.Fisher J. N., Thas J. A. Flocks in P G(3, q)// Math. Z. — 1979. — 169. — С. 1–11.
29.Gleason A. Finite Fano planes// Amer. J. Math. — 1956. — 78. — С. 797–807.
30.Hering C.// Math. Z. — 1965. — 87. — С. 252–62.
138 |
В. В. АФАНАСЬЕВ |
31. Hessenberg G. Beweis des Desarguesschen Satzes ans dem Pascalschen// Math. Ann. — 1905. — 61. —
С. 161–172.
32.Hill R.// Discr. Math. — 1978. — 22, № 2. — С. 111–37.
33.Hirschfeld J. W. P. Finite projective spaces of three dimensions. — N.Y.: Oxford Univ. Press, 1985.
34.Hirschfeld J. W. P. Projective geometries over finite fields. — N.Y.: Oxford Univ. Press, 1998.
35.Hirschfeld J. W. P., Korchmaros G., Storme L. Arcs and caps in projective spaces/ Finite geometry web. — Online Notes, 2005.
36.Hirschfeld J. W. P., Thas J. A. General Galois geometries. — N.Y.: Oxford Univ. Press, 1991.
37.Hjelmslev J. Die naturliche Geometriе// Abh. Math Sem.: Univ. Hamburg. — 1923. — 2. — С. 1–36.
38.Hughes D. R., Piper F. C. Projective planes. — N.Y., 1973.
39.Kirkman T. P. On a problem in combinations// Cambridge Dublin Math. J. — 1847. — 2. — С. 191–204.
40.Kleinfeld E. Finite Hjelmslev planes// Ill. J. Math. — 1959. — 3. — С. 403–407.
41.Klingenberg W. Projective und affine Ebenen mit Nachharelementen// Math. Z. — 1954. — 60. — С. 384– 406.
42.Krier N.// В кн.: Proc. Int. Conf. on Projective Planes. — Washington, 1973. — С. 157–63.
43.Kustaanheimo P.// Comment. Phys.-Math. — 1957. — 20, № 8.
44.Lam C. W. H., Thiel L. H., Swiercz S. The nonexistence of finite projective planes of order 10// Can. J. Math. — 1989. — 41. — С. 1117–1123.
45.Law M., Penttila T. Some flocks in characteristic 3// J. Combin. Theory. Ser. A. — 2001. — 94. — С. 387– 392.
46.Lenz H. Kleiner desargnesscher Sats und Dualitat in projektiven Ebenen// Jahresber. Deutsche Math. Ver. — 1954. — 57. — С. 20–31.
47.Makhnev A. A. Partial geometries, their extensions and related graphs// Contemp. Math. And Appl. — 2000. — 63. — С. 31–39.
48.Penttila T., Pinneri I. Hyperovals// Austr. J. Combin. — 1999. — 19. — С. 101–114.
49.Penttila T., Royle G. F. BLT-sets over small fields// Austr. J. Combin. — 1998. — 17. — С. 295–307.
50.Room T. G., Kirkpatrick P. B. Miniquaternion geometry. — Cambridge Univ. Press, 1971.
51.Royle G. The (known) projective planes of order 16/ Finite geometry web. — Online Notes, 2005. http://cage.ugent.be/ aoffer/fgw/notes.html notes
52.Segre B.// Atti Accad. Naz. Lincei, Mem. — 1967. — 8. — С. 133–236.
53.Segre B.// Can. J. Math. — 1955. — 7, № 3. — С. 414–416.
54.Segre B. Introduction to Galois geometries. — Roma, 1967.
55.Segre B. Lectures on modern geometry. — Roma, 1961.
56.Singer J. A theorem in finite projective geometry and some applications to number theory// Trans. Amer. Math. Soc. — 1938. — 43. — С. 377–385.
57.Sommerville D. U. V. On certain projective configurations in space of n dimensions and related topics on arrangements// Proc. Edinb. Math. Soc. — 1906. — 25. — С. 725–747.
58.von Standt I. K. C. Geometrie der Lage. — Nurenberg, 1847.
59.Steiner J. Combinatorische Aufgabe// J. Reine Angew. Math. — 1853. — 45. — С. 181–182.
60.Stevenson F. W. Projective planes. — San Francisco, 1972.
61.Thas J. A.// Geom. Dedic. — 1974. — 3, № 1. — С. 61–64.
62.Thas J. A., Van Maldeghem H. Embeddings of geometries in finite projective spaces/ Finite geometry web. — Online Notes, 2005.
63.Tits J.// Rend. Mat. Appl. — 1962. — 21. — С. 37–59.
64.Veblen O., Young J. W. Projective geometry. — Boston, 1910.
65. Veronese G. Fondamenti di geometria a pin dimensioni la pin specie di unita rettilinee. — Padova, 1891.
В. В. Афанасьев Ярославский государственный педагогический университет
E-mail: rector@yspu.yar.ru