Теория чисел
.pdfÄàíî: a = 899, b = 493. Найти d = (a, b) и определить x è y, ïî-
средством которых можно осуществить линейное представление НОД в виде:
d = ax + by.
•12 Решить предыдущую задачу для следующих пар чисел:
1) a=1445, b=629; 2) a=903, b=731; 3) a=1786, b=705; 4) a=4543; b=885; 5) a=6919, b=1443.
•13 Найти сумму и число делителей всех следующих натуральных чисел:
1)375; 2)720; 3)957; 4)988; 5)990; 6)1200; 7)1440; 8)1500; 9)1890; 10)4320. •14 Найти все делители чисел: 1) 360, 2) 375, 3) 957, 4) 988.
•15
N = pα · qβ, ãäå p è q ≠ p простые числа. N2 имеет 15 различных делителей. Сколько различных делителей имеет N3?
•16
Показать, что произведение всех делителей числа N равно Nn/2, ãäå n число всех его делителей.
•17
Найти число N, произведение всех делителей которого равно 5832.
•18
Найти число N, произведение всех делителей которого равно 330 ·540.
•19
Найти число N = 2α5β7γ, çíàÿ, ÷òî 5N имеет на 8 делителей больше, чем N; 7N на 12 делителей больше, чем N; 8N на 18 делителей больше, чем N.
•20 Найти функцию Эйлера для чисел: 1)375; 2)720; 3)957; 4)988; 5)990;
6)1200; 7)1440; 8)1500; 9)1890; 10)4320. •21
Найти функцию Эйлера для простых чисел: 1)17; 2)31; 3)43; 4)71; 5)83.
•22 Найти функцию Эйлера для степеней простых чисел: 1) 35; 2) 54; 3)
113; 4) 172; 5) 232.
•23 Найти функцию Эйлера от каждого из следующих произведений, не
вычисляя самих произведений:
31
1) 5 · 11; |
2) |
5 · 7 · 13; |
3) |
17 · 23; |
4) 12 · 17; 5) |
14 · 15; |
6) 11·14·15; |
7) |
32·81·49; |
8) |
24·28·45; |
9) 720·957; |
10) 990· |
1890; |
|
|
|
|
|
|
Указание: чтобы сомножители были попарно простыми, следует пред-
варительно представить их, а затем и все произведение в каноническом разложении. Например, 12 · 21 · 28 = 22 · 3 · 3 · 7 · 22 · 7= 24 · 32 · 72.
•24 Сколько чисел в интервале от 1 до 120 не взаимно простых с 30?
•25
Äàíî, ÷òî φ(a) = 3600 è a = 3α5β7γ. Найти a.
•26
Äàíî, ÷òî φ(a) = 120 è a = pq, ãäå p è q различные простые числа. Найти a, åñëè p − q = 2.
•27
Äàíî, ÷òî φ(a) = 11424 è a = p2q2, ãäå p è q различные простые числа. Найти a.
•28 Найти количество натуральных чисел, меньших числа 300 и имеющих
с ним наибольшим общим делителем число 20. •29
Найти количество натуральных чисел, меньших числа 1665 и имеющих с ним наибольшим общим делителем число 37.
•30 Найти количество натуральных чисел, меньших числа 1476 и имею-
щих с ним наибольшим общим делителем число 41.
•31
Показать, что если n нечетное число, то n2 − 1 ≡ 0 (mod 8).
•32
Показать, что если p простое число, то
(a + b)p ≡ ap + bp (mod p).
•33 Показать, что если:
100a + 10b + c ≡ 0 (mod 21), òî a − 2b + 4c ≡ 0 (mod 21).
•34
Åñëè 3n ≡ −1 (mod 10), òî 3n+4 ≡ −1 (mod 10).
•35 Написать все три вида как полной, так и приведенной системы выче-
тов по следующим модулям: 1) m =9; 2) m =8; 3) p =13; 4) m =12; 5) m =15; 6) p =7; 7) m =10.
32
•36 Показать, что числа 25, −20, 16, 46, −21, 18, 37, −17 составляют
полную систему вычетов по модулю m = 8.
•37 Показать, что числа 32, −9, 15, 42, −18, 30, 6 составляют полную
систему вычетов по модулю p = 7.
•38 Показать, что числа 21, 2, −18, 28, −19, 40, −22, −2, 15 составляют
полную систему вычетов по модулю m = 9.
•39 Показать, что числа 24, 18, −19, 37, 28, −23, −32, 5, 41, −35, −33
составляют полную систему вычетов по модулю m = 11.
•40 Показать, что числа 19, 23, 25, −19 составляют приведенную систему
вычетов по модулю m = 12.
•41 Показать, что числа 11, −1, 17, −19 составляют приведенную систему
вычетов по модулю m = 8.
•42 Показать, что числа 13, −13, 29, −9 составляют приведенную систему
вычетов по модулю m = 10.
•43 Найти наименьшие неотрицательные, наименьшие по абсолютной ве-
личине неположительные и абсолютно наименьшие вычеты чисел 24, 14, 25, 37, −8, −19, −40 по модулю m = 6. Ко скольким различным классам
принадлежат данные числа по данному модулю? Какие числа из данных принадлежат к одному и тому же классу по данному модулю?
•44 Найти наименьшие неотрицательные, наименьшие по абсолютной ве-
личине неположительные и абсолютно наименьшие вычеты чисел 17, −14, 19, −49, −22, −21, −29 по модулю m = 8. Ко скольким различ-
ным классам принадлежат данные числа по данному модулю? Какие числа из данных принадлежат к одному и тому же классу по данному модулю?
•45 Найти наименьшие неотрицательные, наименьшие по абсолютной ве-
личине неположительные и абсолютно наименьшие вычеты числа 100 по модулям: 5, 7, 11, 25, 120, 200.
•46 Найти наименьшие неотрицательные, наименьшие по абсолютной ве-
личине неположительные и абсолютно наименьшие вычеты числа 50 по
33
модулям: 3, 8, 12, 25, |
70, |
100. |
•47 |
−8, |
−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0 ïî |
Заменить вычеты: −9, |
модулю 10 наименьшими неотрицательными вычетами по этому модулю. •48 Проверить теорему Эйлера:
1) ïðè a = 5, |
m = 24; 2) ïðè a = 2, |
m = 33; 3) |
ïðè a = |
3, m = 16; 4) ïðè |
a = 3, m = 18; 5) ïðè |
a = 3, |
m = 24. |
•49 Пользуясь теоремами Эйлера и Ферма, составить сравнения по моду-
ëÿì:
1) 6; 2) 5; 3) 8; 4) 7; 5) 10; 6) 12.
Выписать значения a и классы чисел, удовлетворяющих каждому
сравнению.
•50 Найти остатки от деления:
1) |
383175 |
íà |
45; 2) |
109345 |
íà |
14; 3) 439291 |
íà |
60; |
4) |
293275 |
íà |
48; 5 |
6617 |
íà |
7; 6) 11753 íà |
11. |
|
•51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти остатки от деления: |
|
|
|
|
||||
1) 380 + 780 íà 11; |
2) 3100 + 5100 íà 7; |
3) 2100 + 3100 íà 5; |
4) 570 + 750 |
|||||
íà 12; |
5) 580 + 7100 íà 13; |
6) 550 + 13100 íà 18. |
|
|
||||
•52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решить способом Эйлера следующие сравнения: |
|
|
||||||
1) |
3x ≡ 1 |
(mod 5); |
|
|
|
|
|
|
2) |
5x ≡ 6 |
(mod 7); |
|
|
|
|
|
|
3)5x ≡ 7 (mod 10);
4)3x ≡ 8 (mod 13);
5) |
25x ≡ 15 |
(mod 17); |
6) |
29x ≡ 3 |
(mod 12); |
7) |
5x ≡ 26 |
(mod 12); |
8) |
4x ≡ 7 |
(mod 8). |
•53 Решить следующие сравнения:
1) |
7x ≡ 4 |
(mod 19) |
|
2) |
13x ≡ 1 |
(mod 27) |
|
3) |
37x ≡ 25 |
|
(mod 117) |
4) |
113x ≡ 89 |
(mod 311) |
|
5) |
221x ≡ 111 |
(mod 360) |
|
6) |
23x ≡ 667 |
(mod 693) |
|
7) |
143x ≡ 41 |
(mod 221) |
|
34
8) |
91x ≡ 143 |
(mod 222) |
9) |
271x ≡ 25 |
(mod 119) |
10) |
13x ≡ 178 |
(mod 153). |
Указания:
1)В примерах 8), 9) и 10) сравнения предварительно упростить.
2)Правильность ответов проверить подстановкой.
•54
Решить одним из способов следующие сравнения, в которых (a, m) = d > 1 è d | b (третий случай).
1) |
|
|
12x ≡ 9 |
(mod 15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) |
|
|
12x ≡ 9 |
(mod 18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3) |
|
|
20x ≡ 10 |
|
(mod 25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4) |
|
|
10x ≡ 25 |
|
(mod 35) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5) |
|
|
39x ≡ 84 |
|
(mod 93) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6) |
|
|
90x + 18 ≡ 0 (mod 138) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
7) |
|
|
375x ≡ 195 |
(mod 501) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
8) |
|
|
14x ≡ 22 |
|
(mod 36) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
9) |
|
|
78x ≡ 42 |
|
(mod 51) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
10) |
|
|
114x ≡ 42 |
(mod 87). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
•55 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решить системы сравнений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
≡ |
1 |
|
|
, |
|
|
|
|
x |
|
|
4 |
|
|
(mod 5), |
; |
|
|
|
x |
|
|
13 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
|
x |
≡ |
1 |
|
|
(mod 12), |
|
2) |
|
x |
≡ |
3 |
|
(mod 10), |
|
3) |
x ≡ |
2 |
|
(mod 4), |
|
|||||||||||
|
x |
≡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
≡ |
|
|
|
|
|
|
x |
≡ |
3 |
|
(mod 7) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
7 |
|
|
(mod 14) |
|
|
|
|
|
9 |
|
(mod 14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
≡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≡ |
|
|
|
|
|
|
x ≡ 4 |
|
(mod 9); |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
≡ |
7 |
|
|
, |
|
|
|
≡ |
|
7 |
|
|
, |
|||
|
|
4x |
|
|
3 |
|
(mod 7), |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
≡ |
|
|
|
|
5x ≡ |
8 |
(mod 17), |
|
x |
|
≡2 |
|
(mod 17), |
||||||||||||||||||
4) |
|
5x |
4 |
|
(mod 11), |
|
5) |
6) |
|
3 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
≡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
≡ |
7 |
(mod 31) |
|
|
|
5x |
≡ |
(mod 9) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
11x |
|
|
8 |
(mod 13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
≡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
14x ≡ 35 (mod 19); |
|
|
8x ≡ 4 |
(mod 14); |
||||||||||||||
|
|
3x |
≡ |
7 |
|
(mod 10), |
|
|
|
4x |
≡ |
1 |
(mod 9), |
|
|
|
5x |
≡ |
1 |
(mod 12), |
|||||||||||||
7) |
2x |
5 |
|
(mod 15), |
|
8) |
5x |
3 |
(mod 7), |
|
9) |
5x |
2 |
(mod 8), |
|||||||||||||||||||
|
|
7x |
≡ |
5 |
|
(mod 12); |
|
|
|
4x |
≡ |
5 |
(mod 12); |
|
|
7x |
≡ |
3 |
(mod 11); |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
≡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
≡ |
|
|
|
|
|||
10) |
3x |
≡ |
1 |
(mod 10), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4x |
3 |
(mod 5), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2x |
≡ |
7 |
(mod 9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
≡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
•56
35
Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 7, 5, 3, 11 дает соответственно остатки 3, 2, 1, 9.
•57 Решить в целых числах уравнения:
1)3x + 4y = 13;
2)8x − 13y = 63;
3)7x − 19y = 23;
4)39x − 22y = 10;
5)17x − 25y = 117;
6)43x + 37y = 21;
7)53x + 47y = 11;
8)45x − 37y = 25;
9)81x − 48y = 33;
10)26x + 34y = 13;
11)122x + 129y = 2;
12)258x − 172y = 56.
•58 Для перевозки зерна имеются мешки по 60 кг и по 80 кг. Сколько
нужно тех и других мешков для перевозки 440 кг зерна?
•59 Ставиться водопровод протяжением 105 м; имеются трубы в 3 м и в
4,5 м длиной. Сколько нужно поставить тех и других труб? •60
Сколько билетов по 30 коп. и по 50 коп. можно купить на 14 руб. 90 коп.?
•61 Сколько почтовых марок по 3 коп. и по 4 коп. можно купить на 50
êîï.?
•62 Решить следующие уравнения:
1) 38x + 117y = 209; |
2) 122x + 129y = 2; 3) 119x − 68y = 34; |
4) 258x − 175y = 113; 5) |
41x + 114y = 5. |
36
Контрольные работы
1.Найти НОД и НОК двух чисел применением алгоритма Евклида.
2.Найти НОД и коэффициенты x è y применением расширенного
алгоритма Евклида к двум числам.
3. Решить линейное диофантово уравнение от двух переменных ax + by = c (в ответе выделить x0 минимальное неотрицательное решение).
4. Найти функцию Эйлера φ(m) от заданного числа. 5. Решить сравнение первой степени ax ≡ b (mod m). 6. Решить систему из двух сравнений первой степени
{x ≡ a (mod m1) . x ≡ b (mod m2)
7. Решить систему из трех сравнений первой степени применением китайской теоремы об остатках
|
|
|
|
|
|
x |
≡ b |
(mod m2) . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x |
≡ |
a |
(mod m1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
m |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
≡ |
|
(mod |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Примеры заданий |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
• |
|
|
Задание |
|
|
|
|
|
Ответ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
846 |
406 |
|
|
|
(846,406)=2 |
|
[846,406]=171738 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
661 |
249 |
|
|
|
661 · 55 + 249 · (−146) = 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{y = −12 + 304n |
|
|
|
|||
|
3 |
|
608x + 202y = 8 |
|
|
|
x = 4 − |
101n |
, n |
|
Z |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
|
5304 |
|
|
|
|
φ(5304) = 1536 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
5 |
372x ≡ 126 |
(mod 414) |
x ≡ 66 + 69i |
(mod 414), |
i [0, 5] |
||||||||||
|
6 |
|
x |
≡ |
3 |
(mod 14) |
|
|
|
x ≡ 87 |
(mod 182) |
|
|
|||
|
{x |
9 |
(mod 26) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
≡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
≡ |
3 |
(mod 11) |
|
|
|
|
≡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
7 |
x |
≡ |
21 |
(mod 26) |
|
|
x |
6053 |
(mod 8866) |
|
|||||
|
x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
≡ 8 |
(mod 31) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37
Литература
[1]И. М. Виноградов. Основы теории чисел. М., Наука, 1965.
[2]А. А. Бухштаб. Теория чисел. М., Просвещение, 1966.
[3]А. Акритас. Основы компьютерной алгебры с приложениями. М., Мир, 1994.
[4]В. У. Грибанов, П.И. Титов. Сборник упражнений по теории чисел. М., Просвещение, 1964.
38
Содержание
1. Основные понятия теории делимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Наибольший общий делитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3. Алгоритм Евклида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4. Наименьшее общее кратное . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5. Простые и составные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6. Каноническая форма числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 7. Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными 9 8. Расширенный алгоритм Евклида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 9. Сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 10.Полная система вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 11.Функция Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 12.Приведенная система вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 13.Теоремы Ферма и Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 14.Сравнения первой степени с одним неизвестным . . . . . . . 25 15.Системы сравнений первой степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 16.Китайская теорема об остатках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Контрольные работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Содержание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
39