Теория чисел

Д о к а з а т е л ь с т в о Составим таблицу из a × b чисел от 1 до ab

Общий вид элемента в строке: ib + r, ãäå r [1, b]. Число ib + r взаимно просто с b тогда и только тогда, когда r взаимно просто с b: (ib+r, b) = 1(r, b) = 1. Во множестве [1, b] имеется φ(b) чисел, взаимно простых с b. Следовательно, в каждой строке имеется ровно φ(b) чисел, взаимно простых с b.

Рассмотрим столбец с номером i [1, b]

i

b+ i

2b + i

. . .

(a − 1)b + i.

Общий вид элемента в столбце: jb + i, ãäå j [0, a − 1]. Ò.ê. j пробегает полную систему вычетов по mod a, то по теореме 10.2 множество {jb + i} тоже будет пробегать полную систему вычетов по mod a. Т.е. в каждом столбце содержится φ(a) чисел, взаимно простых с a.

Число будет взаимно просто с ab, если оно взаимно просто и с a è ñ b. Из рассуждений, приведенных выше, видно, что в таблице имеется φ(a) · φ(b) чисел, взаимно простых с ab. Но, с другой стороны, их будет φ(ab) (по определению функции Эйлера). Ч.т.д.

Теорема 3. Если m = p1α1 · p2α2 · . . . · psαs каноническая форма числа m, òî

φ(m) = p1α1−1 · p2α2−1 · . . . · psαs−1 · (p1 − 1) · (p2 − 1) · . . . · (ps − 1).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

21

По теореме 2 φ(m) = φ(p1α1 ·p2α2 ·. . .·psαs ) = φ(p1α1 )·φ(p2α2 )·. . .·φ(psαs ), а по теореме 1 φ(piαi ) = piαi−1(pi − 1). Тогда φ(m) = p1α1−1(p1 − 1) · p2α2−1(p2 − 1) · . . . · psαs−1(ps − 1).

Рассмотрим пример φ(12) = φ(22 ·31) = φ(22) ·φ(31) = 21(2 −1) ·30(3 − 1) = 2 · 2 = 4.

Теорема 4. Для любого m > 1

=p1α1−1(p1 − 1) · p2α2−1(p2 − 1) · . . . · psαs−1(ps − 1).

12.Приведенная система вычетов

Îп р е д е л е н и е. Вычеты из полной системы вычетов по модулю m, взаимно простые с m, образуют приведенную систему вычетов по

модулю m.

Пример. {0, 1, 2, 3, 4, 5} полная система вычетов по модулю 6. {1, 5}приведенная система вычетов по модулю 6. Числа {13, −1} также образуют приведенную систему вычетов.

Теорема 1. Числа a1, a2, ... ,aφ(m) образуют приведенную систему вы- четов по модулю m тогда и только тогда, когда они все попарно несравнимы по модулю m è (ai, m) = 1.

22

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Åñëè ai è aj попарно несравнимы, то они лежат в разных классах чи- сел, а т.к. таких чисел ровно φ(m), то они образуют приведенную систему вычетов.

Теорема 2. Если (a, m) = 1 è x пробегает приведенную систему вы- четов по модулю m, òî ax тоже пробегает приведенную систему вычетов.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Чисел ax будет столько же, сколько и чисел x, ò.å. φ(m). Èç

{(a, m) = 1 (x, m) = 1

следует, что (ax, m) = 1. Пусть два вычета лежат в одном классе axi ≡ axj (mod m), i ≠ j, тогда xi ≡ xj (mod m). Противоречие.

Пример. x {1, 5} приведенная система вычетов по модулю 6. Пусть a = 7, тогда ax {7, 35} тоже приведенная система вычетов по модулю 6.

13.Теоремы Ферма и Эйлера

Теорема 1 (Эйлер). Для любых a è m ïðè (a, m) = 1 справедливо

сравнение

aφ(m) ≡ 1 (mod m).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Åñëè x пробегает приведенную систему вычетов по модулю m, òî è ax пробегает приведенную систему вычетов. То есть, если

x {r1, r2, r3, . . . , rφ(m)},

òî

ax {δ1, δ2, δ3, . . . , δφ(m)}.

Эти два множества совпадают с точностью до порядка элементов. Кроме того, имеет место система сравнений

23

Перемножим почленно эти сравнения

aφ(m) · r1 · r2 · r3 · . . . · rφ(m) ≡ δ1 · δ2 · δ3 · . . . · δφ(m) (mod m).

Из последнего сравнения и из тождества

δ1 · δ2 · δ3 · . . . · δφ(m) ≡ r1 · r2 · r3 · . . . · rφ(m) (mod m)

следует теорема Эйлера

aφ(m) ≡ 1 (mod m).

Теорема 2 (Ферма). При простом p è a ̸. p справедливо сравнение

ap−1 ≡ 1 (mod p).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Ò.ê. a ̸. p, òî (a, p) = 1. Из теоремы Эйлера имеем

24

14.Сравнения первой степени с одним неизвестным

Îп р е д е л е н и е. Сравнением первой степени с одним неизвестным называется выражение вида

ax ≡ b (mod m),

где коэффициенты a, b и неизвестное x целые числа, а модуль m натуральное число.

Решить сравнение значит найти все значения x, ему удовлетворяющие. Класс чисел по mod m считается за одно решение.

Теорема 1. Если (a, m) = 1, то сравнение ax ≡ b (mod m) имеет единственное решение.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Пусть x пробегает полную систему вычетов по mod m, тогда ax òî-

же будет пробегать полную систему вычетов. Следовательно, имеется единственное значение x, при котором ax будет сравнимо с b.

Имеется несколько методов решения сравнений при (a, m) = 1:

1.Путем подбора x из множества {0, 1, . . . , m − 1};

2.Применяя расширенный алгоритм Евклида. Т.к. из

ax + mq = b ax ≡ b (mod m),

то, применяя его для a è m, получим x è q (нам требуется только x); 3. Используя теорему Эйлера, по формуле

x ≡ b · aφ(m)−1 (mod m).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Подставляя x ≡ b · aφ(m)−1 â ax ≡ b (mod m), получаем тождество a · b · aφ(m)−1 = b · aφ(m) ≡ b · 1 ≡ b (mod m).

Теорема 2. Если (a, m) = d, то сравнение ax ≡ b (mod m) не имеет решения, если b ̸. d, и имеет d решений, если b . d.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

25

Ò.ê. a . d è m . d, то по следствию 9.10 b должно делиться на d. Åñëè

b ̸. d, то сравнение не выполняется и решений не имеет.

Пусть a = a′d, m = m′d, b = b′d, причем (a′, m′) = 1. Ò.ê. a . d, b . d è

m . d, то по следствию 9.8 сравнение ax ≡ b (mod m) можно разделить

íà d

a′x ≡ b′ (mod m′). ( )

Ò.ê. (a′, m′) = 1, то это сравнение имеет единственное решение по модулю m′.

Пусть x0 решение сравнения ( ). Покажем, что x0 будет реше- нием исходного сравнения. Умножая все три части сравнения a′x0 ≡ b′ (mod m′) íà d, имеем ax0 ≡ b (mod m). Верно и обратное: если x0

ãäå i [0, d − 1],

x0 наименьшее неотрицательное решение сравнения

26

15.Системы сравнений первой степени

Теорема 1. Система сравнений

имеет единственное решение, представляющее собой класс чисел по мо-

äóëþ M, åñëè (c2 − c1) . d и не имеет решения, если (c2 − c1) ̸. d, ãäå

M = [m1, m2], d = (m1, m2).

Д о к а з а т е л ь с т в о Выразим x из первого сравнения системы

Åñëè c2 −c1 не делится на d, то сравнение не имеет решения и у системы решения также не будет.

Разделим последнее выражение на d

27

Запишем это решение системы как класс чисел по mod M

x ≡ c1 + m1α (mod M),

ãäå α решение сравнения ( ).

Для решения систем, состоящих из трех и более сравнений, можно использовать метод последовательного решения. Т.е. последовательно заменяем два сравнения их решением.

имеет единственное решение, если все модули попарно взаимно простые. Д о к а з а т е л ь с т в о

База математической индукции.

Пусть s = 2, т.е. рассмотрим систему из двух сравнений

ãäå (m1, m2) = 1. По теореме 1 эта система имеет единственное решение. Индукционное предположение.

Пусть s = l, тогда система имеет вид

èединственное решение

x ≡ α (mod m1 · m2 · . . . · ml).

Индукционный переход. Пусть s = l + 1, тогда

28

По индукционному предположению заменим l сравнений их решением

Заметим, что (m1·m2·. . .·ml, ml+1) = 1 и так как модули попарно взаимно простые, то система будет иметь единственное решение

x ≡ β (mod m1 · m2 · . . . · ml+1).

По методу математической индукции теорема доказана.

16.Китайская теорема об остатках

Теорема 1. Пусть m1, . . . , ms попарно взаимно простые натуральные числа, mi > 1, M = m1 · m2 · . . . · ms, тогда каждому числу x, x [0, M − 1] взаимно-однозначно соответствует вектор вычетов (c1, . . . , cs) по модулям (m1, . . . , ms).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Это сравнение удовлетворяет i-й строке системы.

Повторяя эти рассуждения для всех i [1, s], получаем доказательство теоремы.

29

Задачи

•1

Число a = 42157 при делении на некоторое целое положительное число b дало в частном q = 231. Найти делитель b и остаток r.

•2

Показать, что если mn + pq делится на m − p, òî è mq + np делится на m − p, ãäå m, n, p, q целые числа.

•3 Показать, что если пятизначное число делится на 41, то и все числа,

полученные круговой перестановкой цифр этого числа, делятся на 41. •4 Пользуясь алгоритмом Евклида найти НОД следующих систем чисел:

1) 546 è 231; 2) 1001 è 6253; 3) 1517 è 2257; 4) 2737, 9163 è 9639; 5) 1411, 4641 è 5253.

•5 Разложением на простые множители найти НОК следующих чисел:

1) 360 è 504; 2) 2520 è 6600; 3) 187 è 533; 4) 9163, 2737 è 9639; 5) 374, 1599 è 9061.

•6 Найти НОД следующих систем чисел: 1) 299, 391 и 667; 2) 588, 2058

è 2849; 3) 31605, 13524, 12915 è 11067; 4) 279, 372 è 1395; 5) 2988, 3735, 8134 è 14525.

•7

По формуле [a, b] = (a,bab ) найти НОК следующих чисел: 1) 252 и 468; 2) 279 и 372; 3) 178 и 381; 4) 318 и 477; 5) 758 и 1137.

Указание: НОД находится с помощью алгоритма Евклида. Проверить ответы путем отыскания НОК разложением чисел на простые множители.

•8

Äàíî (a, b)=24, [a, b]=2496. Найти a è b.

•9 Сумма двух чисел 667, а отношение НОК к их НОД равно 120. Найти

эти числа. •10

Найти два числа, зная, что сумма частных от деления каждого из них на их НОД равна 18 и НОК равно 975.

•11

30