Теория чисел

Теорема 3. Любое решение линейного диофантова уравнения ax + by = c может быть записано в виде

{

x = x0 − k b

d , k Z y = y0 + k ad

ãäå d = (a, b),

àïàðà (x0, y0) одно из решений этого уравнения.

Äî ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

1.Изучим связь двух решений уравнения (x0, y0) è (x1, y1). Вычитая ax1 + by1 = c èç ax0 + by0 = c имеем

Правая часть ( ) делится на a′: b′(y1 − y0) . a′, à ò.ê. (a′, b′) = 1, то по теореме 3.3 (y1 − y0) . a′, Аналогично, (x0 − x1) . b′.

Подставляя последнюю систему в ( ), имеем a′b′k2 = b′a′k1 è k2 = k1 = k, ò.å.

{y1 − y0 = a′′k . x0 − x1 = b k

Выразим из этой системы x1 è y1

{x1 = x0 − b′k y1 = y0 + a′k

èполучим связь между двумя решениями системы

{

x1 = x0 − k db . y1 = y0 + k ad

2. Докажем, что если

11

{

x1 = x0 − k b

d , k Z, y1 = y0 + k ad

òî (x1, y1) будет решением ax + by = c.

Подставим x1 è y1 в исходное уравнение

ax1 +by1 = a(x0 −k db )+b(y0 +k ad ) = ax0 −k abd +by0 +k bad = ax0 +by0 = c. Теорема доказана.

8.Расширенный алгоритм Евклида

Найдем решение уравнения ax + by = (a, b), ãäå (a, b) наибольший

общий делитель.

Пусть a, b Z, (b ≠ 0) входные данные алгоритма, а (a, b) N; x, y Z выходные.

Øàã −1. Положим r−1 = a и представляем r−1 как линейную комби-

Шаг 1. Делим r−1 íà r0 с остатком r−1 = r0q0 + r1 и представляем r1 как линейную комбинацию a è b: r1 = a · 1 + b(−q0).

Для вычисления значений линейных коэффициентов xi è yi íà i-ì

шаге достаточно иметь линейные коэффициенты на двух предыдущих шагах.

Преобразования продолжаем до тех пор, пока rn ≠ 0.

12

Выведем рекуррентные формулы для линейных коэффициентов

Как только rn+1 = 0, то последний ненулевой остаток есть наибольший общий делитель rn = (a, b), à x = xn è y = yn

коэффициенты.

9.Сравнения

Îп р е д е л е н и е. Если у двух целых чисел a è b остаток от деления на число m N одинаков, то такие числа называются равноостаточными или сравнимыми по модулю m

a ≡ b (mod m).

Теорема 1. Два числа будут сравнимы по модулю m тогда и только тогда, когда (a − b) . m.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Пусть a = m · q + r, b = m · p + r. Вычтем из первого выражения второе a − b = m · q + r − m · p − r = m(q − p). Видно, что (a − b) . m.

Свойства сравнений

1. Рефлексивность, симметричность и транзитивность. a ≡ a (mod m).

Åñëè a ≡ b (mod m), òî b ≡ a (mod m).

13

(a − b) . m a − b = m · q

(b − c) . m b − c = m · p

Складывая две строки, имеем a − c = m · (q + p) (a − c) . m a ≡ c (mod m).

2. Сравнения можно почленно складывать, вычитать и перемножать.

≡

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

a = b + mq c = d + mp

Сложив две строки, получаем a + c = (b + d) + m(q + p). Видно, что a + c ≡ b + d (mod m).

≡

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

a = b + mq c = d + mp

Вычитая из первой строки вторую, имеем a − c = (b − d) + m(q − p). Видно, что a − c ≡ b − d (mod m).

≡

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

a = b + mq c = d + mp

Перемножая две строки, получаем ac = (b + mq)(d + mp) = bd + bmp + dmq + m2pq = bd + m(bp + dq + mpq). Следовательно, (ac − bd) . m ac ≡ bd (mod m).

14

3.В сравнении можно переносить слагаемое из одной части в другую

ñзаменой знака на противоположный.

Åñëè a + b ≡ c (mod m), òî a ≡ c − b (mod m).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Вычитая вторую строку из первой, имеем a ≡ c − b (mod m).

4. Обе части сравнения можно умножить на константу. Если a ≡ b (mod m), òî ac ≡ bc (mod m).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

a ≡ b (mod m)

c ≡ c (mod m)

Перемножая эти сравнения, имеем ac ≡ bc (mod m).

5. Обе части сравнения можно возводить в степень. Если a ≡ b (mod m), òî an ≡ bn (mod m).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

a ≡ b (mod m)

Умножив само на себя это сравнение n раз, имеем

a · a · a . . . · a ≡ b · b · b . . . · b (mod m). Ò.å. an ≡ bn (mod m).

6. Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если он взаимно прост с модулем.

a′c − b′c = m · q

15

(a′ − b′)c = mq . c, íî m не может делиться на c, ò.ê. (m, c) = 1 q . c

a′ − b′ = mq′, ãäå q′ = qc

7. Обе части сравнения и модуль можно умножить на константу. Если a ≡ b (mod m), òî ac ≡ bc (mod mc).

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

a − b = mq c(a − b) = c · m · q ac − bc = (mc)q

ac ≡ bc (mod mc).

8. Обе части сравнения и модуль можно разделить на их общий де-

9. Если сравнение выполняется по модулю m, то оно будет выпол-

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î a − b = m · q

16

Умножим и разделим левую часть равенства на делитель c

a − b = cmc q

a − b . mc

10. Если одна часть сравнения и модуль делятся на некоторое число, то и другая часть сравнения делится на то же число.

Åñëè a ≡ b (mod m), a . c è m . c, òî b . c. Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Рассмотрим систему из двух сравнений

{a ≡ b (mod m1) . a ≡ b (mod m2)

Пусть m1 = m′1d, m2 = m′2d, ãäå d = (m1, m2), причем (m′1, m′2) = 1. Переписывая систему, имеем

{a − b = m1q1 = m′1dq1 a − b = m2q2 = m′2dq2

m′1q1 = m′2q2

m′1q1 . m′2 q1 = m′2q3

a − b = m′1dm′2q3 a ≡ b (mod m′1m′2d)

17

a ≡ b (mod M),

ãäå M = [m1, m2] = m′1m′2d.

Аналогичным образом доказывается система с произвольным числом сравнений.

10.Полная система вычетов

Îп р е д е л е н и е. Все числа, имеющие одинаковый остаток при делении на некоторое число m, образуют класс чисел по модулю m.

Пример. Пусть m = 5, тогда

. . . , −9, −4, 1, 6, 11, . . . класс чисел по модулю 5;

. . . , −8, −3, 2, 7, 12, . . . класс чисел по модулю 5;

. . . , −7, −2, 3, 8, 13, . . . класс чисел по модулю 5;

. . . , −6, −1, 4, 9, 14, . . . класс чисел по модулю 5;

. . . , −10, −5, 0, 5, 10, . . . класс чисел по модулю 5.

Общий вид класса чисел {mq + r | q Z}. Все числа из класса сравнимы по mod m. Всего имеется m классов чисел по mod m.

Îп р е д е л е н и е. Любое число из класса чисел называется вычетом по модулю m.

Îп р е д е л е н и е. Наименьший неотрицательный вычет наименьшее неотрицательное число, находящееся в данном классе чисел.

Îп р е д е л е н и е. Полной системой вычетов по некоторому модулю называется система чисел, взятых по одному из каждого класса по этому модулю.

Например, {6, 12, 3, −1, −5} образуют полную систему вычетов по mod 5. Каждое из множеств {0, 1, 2, 3, 4}; {−4, −3, −2, −1, 0}; {−2, −1, 0, 1, 2} также образует полную систему вычетов по mod 5.

Теорема 1. Любые m чисел, попарно несравнимые по модулю m, образуют полную систему вычетов по модулю m.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Åñëè a ̸≡b (mod m), то числа a è b принадлежат разным классам. Если m чисел попарно несравнимы между собой, то все они принадлежат

18

разным классам. Т.к. всего имеется ровно m классов, то в каждый класс попадет по одному числу.

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î

Докажем, что все m вычетов вида ax+b лежат в разных классах чисел

и, следовательно, пробегают полную систему вычетов. Пусть имеется два вычета, лежащие в одном классе

Последнее невозможно, т.к. x1 è x2 лежат в разных классах. Следовательно, ax + b пробегает полную систему вычетов.

Пример. x {6, 7, −2, −1, 0} пробегает полную систему вычетов по модулю 5, тогда (3x + 2) {20, 23, −4, −1, 2} тоже пробегает полную систему вычетов по модулю 5.

11.Функция Эйлера

Îп р е д е л е н и е. Функцией Эйлера от натурального числа m называется число натуральных чисел, не превышающих m и взаимно

простых с ним.

Обозначение: φ(m) функция Эйлера от m N. Рассмотрим следующую таблицу.

19

Из таблицы видно, что φ(10) = 4. Это означает, что с числом 10

взаимно просты четыре числа, не превышающие его самого это 1, 3, 7 и 9.

Теорема 1. Пусть p простое число, α N, тогда

20