Физика

До столкновения нужно установить угол α 1. После столкновения нужно измерить α1′ и α′2 – углы максимального отклонения шаров.

Учесть, что угол α1′ положителен, если шар отклоняется направо, и

отрицателен – если налево. Оба эти угла нужно измерять одновременно после первого касания шаров. Сделать это сложно. Проще и точнее измерения углов α1′ и α′2 проводить следующим способом:

измерить угол α 1 и отпустить правый шар; после удара измерить отклонение левого шара α′2 ;

установить правый шар на тот же угол α 1 и вновь отпустить его; после удара поймать рукой левый шар и заметить, в какую сторону

двинется правый; правый будет совершать колебания, измерить их амплитуду и, учи-

тывая знак, записать угол отклонения α1′ .

Длительность контакта измеряется микросекундомером. Величины т1 и т2, фигурирующие в формулах включают в себя массы шаров и массы подвесок, которые указаны на установке. Длину подвески нужно измерять линейкой от оси до середины шара.

Относительные потери импульса и энергии при ударе рассчитать по формулам (9.7а), (9.8а) или (9.7б), (9.8б). Сделать заключение, каким является взаимодействие: упругим или нет. Если при ударе не сохранился импульс, то высказать предположение, с чем это связано. В любую из этих четырех формул углы отклонения можно подставлять в градусах.

Для получения надежных данных каждое прямое измерение повторить не менее 10 раз. Из числа измерений нужно исключить явные ошибки – промахи. При расчетах пользоваться средними значениями.

Деформацию шаров найти по формуле (9.17), а максимальную силу удара по формуле (9.18).

При вычислениях принять следующие значения систематических погрешностей прямых измерений:

погрешность измерения длины θ l = 5 мм, погрешность измерения времени θ t = 5 мкс,

погрешность измерения угла α 1 – половина цены деления, погрешность измерения углов α1′ и α′2 – цена деления.

Кроме систематических погрешностей всех измеряемых величин нужно вычислить также случайные и полные. Полные погрешности нужно вычислять по формуле (12) вводной части настоящего пособия.

81

Контрольные вопросы

1.Какой удар называются абсолютно упругим, и какой абсолютно неупругим?

2.Как найти центр масс системы материальных точек?

3.Как найти скорость центра масс системы материальных точек?

4.Почему при абсолютно упругом ударе не вся кинетическая энергия превращается в потенциальную?

5.Чему равна кинетическая энергия системы во время после неупругого удара?

6.Какие значения величин ξР и ξЕ должны получиться для абсолютно упругого и абсолютно неупругого ударов?

7.В каких взаимодействиях не сохраняется импульс?

8.Какие случайные неконтролируемые факторы присутствуют в эксперименте?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10 Баллистический крутильный маятник

Цель работы: определение модуля кручения проволоки, определение скорости полета "пули".

Теоретические сведения

Баллистический крутильный маятник представляет собой массивное инертное тело, подвешенное на вертикально натянутой проволоке. При отклонении маятника на угол β возникает момент упругих сил M, стре-

Коэффициент пропорциональности C в этом выражении называется

модулем кручения проволоки.

Основное уравнение динамики вращательного движения, в общем случае имеет вид

где I – момент инерции маятника, ε = d 2βdt2 – его угловое ускорение. Перепишем это уравнение в скалярном виде, учитывая (10.1)

82

Получилось дифференциальное уравнение, связывающее угол отклонения маятника с его второй производной по времени. Оно аналогично дифференциальному уравнению гармонических колебаний пружинного маятника

Следовательно, баллистический маятник будет совершать гармонические колебания

Уравнение (10.5) содержит две константы: амплитуду β т и начальную фазу ϕ 0, которые определяются из начальных условий.

Модуль кручения проволоки C можно найти, исследуя зависимость периода крутильных колебаний маятника от его момента инерции. Значение I можно изменять, фиксируя грузы в различных положениях. Момент инерции груза согласно теореме Штейнера будет содержать по-

стоянную Iгр0 и переменную, т. е. зависящую от расстояния d между центром груза от осью, составляющие:

неизменную, т. е. не зависящую от d, составляющую момента инерции маятника, и перепишем последнее выражение:

Формулу (10.6) запишем в виде T2 = 4π 2I/C и подставим в нее полученное выражение для момента инерции

83

Угловой коэффициент k этой функции равен тангенсу угла α на-

клона изучаемой прямой k = tgα . Его можно найти по двум точкам k = (∆ f ) /(∆ x) = ∆( Τ2)/∆( d 2) или графически по набору точек. По

значению этого коэффициента находим модуль кручения проволоки

T2

∆ (T 2)

Рис. 10.1. Графическое определение углового коэффициента

Определение скорости полета пули производится на основе закона сохранения момента импульса. Пуля попадает в крутильный маятник и застревает в нем. В результате маятник приобретает угловую скорость. Смещением маятника из положения равновесия за время столкновения можно пренебречь, оно мало по сравнению с периодом колебаний маятника. Удар будем считать абсолютно неупругим, моментов внешних сил на маятник не действует, поэтому момент импульса пули до удара приравняем моменту импульса маятника после удара:

84

Здесь m – масса пули , r – расстояние от оси вращения маятника до пули в момент удара, υ – скорость пули перед ударом.

Начальную угловую скорость маятника ω 0 найдем из закона сохранения энергии. Для этого приравняем максимальную кинетическую энергию в начальный момент и максимальную потенциальную энергию в момент наибольшего отклонения

Iω2 = Cβ2

0 m . (10.13)

2 2

Начальная угловая скорость маятника ω 0 с учетом (10.6)

Подставляя это выражение в (10.12 ), и принимая во внимание (10.6 ), получаем окончательную формулу для скорости пули

Таким образом, для расчета скорости пули нужно экспериментально определить период колебаний Т и угол максимального отклонения маятника β т. Кроме того, при проведении расчета требуется знать массу пули m, расстояние r, на котором она попадает в маятник, и модуль кручения проволоки C.

Лабораторная установка

Основным элементом установки (рис. 10.2) является маятник – горизонтальный стержень 1, закрепленный на вертикальной стальной проволоке 2, натянутой между кронштейнами 3. Вдоль стержня можно перемещать и фиксировать два груза 4. На стержне нанесены поперечные штрихи на расстоянии 1 см друг от друга. Первый штрих нанесен на расстоянии 2 см от оси. Пружинный пистолет 5 служит для стрельбы "пулями". Мишенями являются пластины с пластилином 6, закрепленные на концах стержня. На них нанесены деления, указывающие расстояние от оси. На прозрачном экране 7 нанесена шкала для определения угла отклонения маятника. Для измерения времени и числа полных колебаний имеется миллисекундомер с фотодатчиком 8.

85

1

3

2

4

5

6

8

7

3

Рис. 10.2. Внешний вид лабораторной установки

Задания и порядок их выполнения

Задание 1. Определение модуля кручения проволоки.

Оба груза следует поместить на одинаковых расстояниях d от оси. Маятник отклоняют на небольшой угол и измеряют период колебаний при помощи миллисекундомера. Для этого во время колебаний нужно нажать кнопку "Сброс" и после того как счетчик колебаний покажет 9, нажать кнопку "Стоп". В таком случае секундомер измерит время десяти полных колебаний, и их период будет найти очень просто.

Опыт проводят не менее пяти раз при разных значениях d. Набор значений T 2 от d 2 откладывают на графике f(x), где f = T 2, а x = d 2 (см. рис. 10.1). По этой зависимости графически находят угловой коэффи-

86

циент k = tgα и его погрешность, а при помощи формулы (10.11) находят модуль кручения проволоки С и его погрешность.

В этой части работы проводятся измерения неслучайных величин, полные погрешности которых равны систематическим.

Задание 2. Определение скорости полета пули.

Перед выполнением этого задания нужно убедиться, что в положении равновесия угол отклонения маятника равен нулю. В противном случае при измерении угла максимального отклонения следует вводить соответствующую поправку. При вычислениях не забыть, что углы измеряются в радианах.

Чтобы зарядить пистолет, надо выдвинуть его ручки до упора и повернуть. Поместить на стержень пулю и вернуть ручку в горизонтальное положение, затем оттянуть назад до щелчка. Выстрел производится при наклоне ручек. Перед выстрелом грузы маятника установить на одинаковом расстоянии от оси подвеса.

После выстрела необходимо измерить угол максимального отклонения маятника и расстояние от центра пули, застрявшей в маятнике, до оси подвеса. Масса пули указана на установке.

Измерение максимального угла отклонения груза связано с рядом случайных факторов, не учтенных в систематической погрешности установки. Имеется в виду необходимость "мгновенного" измерения угла, постоянные его сбои начала отсчета при каждом изменении положения грузов и дрожание маятника во время эксперимента. Измеренное значение угла отклонения маятника следует считать случайной величиной.

Измерения нужно провести для пяти положений грузов по пять раз в каждом положении. Необходимо оценить систематическую, случайную и полную погрешности измерений. Вычисление полной погрешности для второго задания нужно проводить по формуле (12) из вводной части настоящего пособия.

Контрольные вопросы

1.Что такое момент инерции тела, каков его физический смысл?

2.Напишите основное уравнение динамики вращательного движения.

3.Напишите дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

4.Напишите формулы для кинетической энергии вращательного движения и для потенциальной энергии закрученной проволоки.

5.Что такое момент импульса тела, когда он изменяется, и когда нет?

87

6.Как период колебаний зависит от положения добавочных грузов?

7.Как угол максимального отклонения маятника зависит от положения добавочных грузов?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11

Гироскоп

Цель работы: изучение прецессии гироскопа; измерение угловой скорости, момента импульса и момента инерции гироскопа.

Теоретические сведения

Гироскопом называется массивное твердое тело (обычно диск), быстро вращающееся вокруг оси симметрии. Для того чтобы ось гироскопа могла принимать любое направление в пространстве, используется карданов подвес (рис. 11.1). Гироскоп – диск, вращающийся вокруг оси AA'. Внутреннее кольцо может вращаться вокруг горизонтальной оси ВВ', перпендикулярной оси AA'. Внешнее кольцо может вращаться вокруг вертикальной оси DD'. Таким образом, у гироскопа есть три степени свободы. Точка пересечения всех трех осей AA', ВВ' и DD' совпадает с центром масс гироскопа, неподвижным относительно подвески. Такой гироскоп называется свободным.

При своем вращении гироскоп обладает моментом импульса

88

В этом выражении I – момент инерции гироскопа относительно оси симметрии AA', ω – угловая скорость его вращения относительно той

→→

же оси. Отметим, что векторы L и ω расположены вдоль оси вращения. Их направление определяется правилом буравчика. Движение гироскопа с неподвижным центром масс описывается уравнением моментов или основным уравнением динамики вращательного движения

в котором М – равнодействующая моментов внешних сил, приложенных к телу. Момент силы равен векторному произведению радиуса вектора точки, к которой приложена сила, на эту силу:

При М = 0 момент импульса сохраняется по величине и направлению.

Если к оси гироскопа на некотором расстоянии от его центра масс

изменяет только направление момента импульса, не меняя его величины, т. е. заставляет его вращаться вокруг своего направления. Таким образом, момент импульса, а с ним и ось AA' гироскопа, описывает в пространстве коническую поверхность (рис. 11.2, а).

За время dt проекция момента импульса на горизонтальную плоскость повернется на угол dϕ :

где α – угол между направлениями момента импульса и оси вращения. Угловая скорость Ω вращения вектора L вокруг направления внешней силы

89

Выразим значение момента силы М из написанной выше формулы:

Учтем, что величины M, Ω и L являются векторами, их направления показаны на рис. 11.2, и перепишем формулу (11.6) в векторной форме:

В дальнейшем внешней силой, приложенной к гироскопу, будет сила тяжести дополнительного груза, направленная вертикально вниз. Под действием момента этой силы ось гироскопа будет вращаться вокруг вертикальной оси DD' с угловой скоростью Ω (см. рис. 11.2). Поскольку

→ →

при этом вращении взаимная ориентация векторов L и M не изменяется, вращение гироскопа вокруг вертикальной оси DD' будет равномерным. Такое вращение называется регулярной прецессией, а величина Ω – угловой скоростью прецессии.

Если ось гироскопа AA' направлена горизонтально (рис. 11.2, б), т. е. α = 90° и коническая поверхность становится плоской, то из уравнения (11.6) следует, что

Отметим, что все приведенные выше рассуждения относятся к быстро вращающемуся гироскопу, когда ω >> Ω. В настоящей работе это условие выполняется.

Лабораторная установка

Внешний вид установки приведен на рис. 11.3. На основании 1 с ножками для выравнивания прибора закреплена стойка 2. На ней установлен кронштейн 3 с закрепленными на нем первым фотоэлектрическим датчиком 4 и внешней втулкой вращательного соединения 5. Вращательный узел позволяет гироскопу вращаться вокруг вертикальной оси и обеспечивает питание второго фотоэлектрического датчика 6 и электродвигателя 7, который смонтирован на кронштейне 8. На оси двигателя закреплен диск 9, защищенный экраном 10. Диск имеет отметки, по которым фотоэлектрический датчик 6 определяет частоту вращения. На рычаге 11 с линейкой может закрепляться груз 12. Угол поворота гироскопа вокруг вертикальной оси указывает на диске 13 стрелка 14. Изменение этого угла отсчитывает первый фотодатчик 4.

90