Физика

Сила трения качения направлена вдоль траектории в сторону, противоположную скорости поступательного движения шара, ее проекция на направление траектории

При движении от положения равновесия следует брать знак "–", при движении к положению равновесия – знак "+". Таким образом, сила трения постоянна по величине и переменна по направлению. Учитывая сказанное выше и вводя обозначение

имеющее смысл максимального отклонения маятника, при котором силы трения еще могут удерживать шар в состоянии покоя, получаем окончательное выражение для колебаний наклонного маятника

На рис. 8.4, a изображена зависимость отклонения маятника от времени. Две горизонтальные линии х(t) = А* и х(t) = – А* образуют так называемую "мертвую зону". Если по какой-то причине шар остановится в ней, то колебания маятника прекратятся, поскольку сила трения в этот момент уравновесит равнодействующую остальных сил. Если же шар минует эту зону и остановится вне ее, то колебания маятника продолжатся.

Рис. 8.4. Затухание колебаний наклонного маятника

71

Рассмотрим движение маятника в промежутке между двумя ближайшими максимальными отклонениями шара. Движение маятника описывается уравнением гармонических колебаний (8.10) относительно одной из границ "мертвой зоны". В момент остановки шара сила трения меняет свое направление, что ведет к смене знака в выражении (8.9). Следовательно, колебания продолжатся относительно другой границы "мертвой зоны". Тем самым, в момент остановки амплитуда колебаний скачком уменьшается на величину 2А*. Поскольку остановки шара происходят два раза в каждый период, уменьшение амплитуды за каждый из них должно составлять ∆ А = 4А*. Это абсолютное уменьшение амплитуды за период в процессе колебаний должно оставаться постоянным, т. е. не должно зависеть от амплитуды или от порядкового номера колебаний.

Рассматриваемые колебания являются как бы "сшитыми" в точках максимумов из отрезков синусоид, поэтому в целом они не являются гармоническими. Тем не менее их период остается постоянным, если его измерять между точками максимальных отклонений. Из приведенных выше рассуждений следует важная закономерность, присущая колебаниям наклонного маятника: зависимость амплитуды колебания А от его порядкового номера n является линейной (см. рис. 8.4, б). Линейность экспериментально полученной зависимости А(n) является доказательством того факта, что абсолютное уменьшение амплитуды за каждый период одинаково. Определив графически tgθ этой зависимости,

Учитывая формулу (8.9), получаем выражение для коэффициента трения качения

Лабораторная установка

Внешний вид установки приведен на рис. 8.5. К основанию 2 на четырех ножках, регулирующих высоту, прикреплен секундомер и счетчик колебаний 1. В основании 2 закреплена стойка 3, на которой смонтирован корпус 4 с червячной передачей, соединенной с кронштейном 5. На нем закреплены две угловые шкалы, одна 6 – для измерения угла отклонения шара и вторая 7 – для измерения угла наклона маятника β .

72

На кронштейне 5 закреплена стойка 8, на которой подвешен шар 9 с указательной стрелкой. В сам кронштейн 5 по направляющим вкладываются различные образцы. Для наклона маятника используется вороток 11. На кронштейне 5 также имеется фотоэлектрический датчик 12, сигнализирующий о прохождении шара 9 через положение равновесия. Различные шары 9 навинчиваются на указательную стрелку.

Задания и порядок их выполнения

До начала измерений необходимо отрегулировать маятник, чтобы в положении равновесия стрелка указывала на ноль. На шаре и на опоре не должно быть прилипшей грязи. После этого следует вставить указанный преподавателем образец-опору и установить заданный угол наклона маятника β .

Задание 1. Определение коэффициента трения качения шара о заданную опору.

Сначала нужно убедиться, что за каждый период амплитуда колебаний уменьшается на одинаковую величину. Для этого нужно построить

73

на графике зависимость амплитуды колебаний А от его порядкового номера n, как показано на рис. 8.4. Измерение амплитуды следует проводить через равное число колебаний. Удобнее всего выбрать ∆ n = 5. Результаты измерений следует занести в таблицу:

Линейность полученной экспериментальной зависимости А(n) свидетельствует о справедливости проверяемого предположения. Если это так, можно перейти к основной части задания. По экпериментально измеренному тангенсу угла θ при помощи формулы (8.11) можно рассчитать коэффициент трения качения f.

Обычно экспериментальная зависимость А(n) оказывается нелинейной. Это особенно заметно при больших амплитудах колебания и связано с силой сопротивления движению со стороны окружающего воздуха. Следует рассматривать и обрабатывать лишь тот интервал А(n), в котором эта зависимость близка к линейной.

Во время измерений амплитуды нужно следить за тем, чтобы: при запуске шарика его ось была направлена строго вдоль нити; во время колебаний маятника стол и стойка 8 не качались.

Если все названные условия соблюдены, то можно считать, что измеряемая величина не случайна по своей природе.

Задание 2. Исследование зависимости коэффициента трения качения от радиуса катящегося шара.

Необходимо выполнить задание 1 для нескольких шаров разных размеров и убедиться, что в пределах систематической погрешности коэффициенты трения качения f для них получатся одинаковые.

Для того чтобы исключить имеющуюся слабую зависимость периода колебаний от амплитуды, начальное отклонение шара во всех опытах должно быть одинаковым.

Контрольные вопросы

1.Как можно объяснить происхождение силы трения качения?

2.Опишите движение наклонного маятника.

3.Сколько колебаний совершает наклонный маятник до полной остановки?

4.Какой путь проходит шар за n колебаний? За все колебания, совершенные маятником до остановки?

74

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9

Столкновение шаров

Цель работы: проверка законов сохранения импульса и энергии определение деформации шаров и силы удара.

Теоретические сведения

Столкновением называется кратковременное взаимодействие тел, локализованное в малой области пространства. Во время столкновения тела деформируются, при этом часть кинетической энергии превращается в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию тел. Выделяют два предельных случая: абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.

При абсолютно упругом ударе выполняются законы сохранения импульса и механической энергии. Кинетическая энергия полностью или частично превращается в потенциальную энергию упруго деформированных тел, которая после столкновения снова переходит в кинетическую энергию системы.

При абсолютно неупругом ударе потенциальной энергии упругой деформации не возникает, кинетическая энергия сталкивающихся тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию системы. Выполняются законы сохранения импульса и полной энергии. Механическая энергия при неупругом ударе не сохраняется.

Большинство реальных столкновений в механических системах можно отнести к промежуточному типу между абсолютно упругими и абсолютно неупругими. В них, как правило, сохраняется импульс и не сохраняется механическая энергия. Импульс системы сталкивающихся тел не сохраняется в тех столкновениях, в которых на движение тел после взаимодействия накладываются какие-то ограничения.

Рассмотрим взаимодействие двух металлических шаров с массами т1 и т2, повешенных на нитях длиной l. Будем считать, что удар является центральным, т. е. центры шаров лежат на линии, вдоль которой происходит взаимодействие. В исходном положении шары касаются друг друга. Если правый шар отклонить на угол α 1 и отпустить, то к моменту его столкновения с неподвижным левым шаром он разовьет скорость

υ 1 = 2gh , где h – начальная высота правого шара.

75

Таким образом, можно найти импульс и энергию системы до удара:

Импульс и энергия после удара складывается из импульса и энергии каждого шара:

Подставим (9.4) в эти формулы и запишем окончательные выражения:

Относительную потерю импульса и энергии при столкновении найдем по следующим формулам:

76

При равных массах шаров равны формулы становятся еще проще:

Если считать рассматриваемое столкновение упругим, т. е. подчиняющимся закону Гука, то время такого столкновения должно быть равно половине периода гармонических колебаний:

где µ – приведенная масса, а k – приведенная жесткость шаров.

Приведенная жесткость численно равна силе, под действием которой расстояние между шарами уменьшается на единицу длины. Ее можно найти, зная массы шаров и время их контакта при ударе:

Хотя мы договорились считать удар упругим, это не значит, что вся кинетическая энергия первого шара переходит при взаимодействии в потенциальную. Для нахождения доли кинетической энергии, которая в потенциальную не превращается, рассмотрим столкновение в системе центра масс шаров. Если первый шар движется до удара со скоростью υ , а второй покоится, то их центр масс движется со скоростью

77

которая по закону сохранения импульса остается постоянной и до, и во время, и после столкновения. Кинетическую энергию системы перед ударом можно представить суммой трех слагаемых: кинетических энергий каждого из шаров относительно выбранной системы отсчета и произведения полусуммы их масс на квадрат скорости их центра масс:

В потенциальную энергию упругой деформации превратятся лишь два первых слагаемых, поскольку скорость υ С при взаимодействии остается неизменной, и третье слагаемое является кинетической энергии системы двух шаров в момент их максимальной деформации.

Модули скоростей каждого из шаров относительно их центра масс найдем по следующим формулам:

Здесь υ скорость сближения шаров или скорость первого шара до удара в лабораторной системе отсчета. Подставим эти скорости в (9.14):

Под величиной х здесь следует понимать уменьшение расстояния между центрами шаров. Смысл этой величины ясен из рис. 9.1. Сравнивая формулу (9.16) с (9. 9) и принимая во внимание (9.1), получаем окончательно для деформации шаров во время удара:

78

Максимальную силу удара можно найти из закона Гука и выражения для приведенной жесткости (9.11):

x = a + b – c

Рис. 9.1. Деформация шаров

Лабораторная установка

Внешний вид лабораторной установки приведен на рис. 9.2. На верхнем кронштейне прикреплен вороток 1 и приспособление 2 при помощи которых устанавливают расстояние между шарами в положении равновесия и длину подвески. На нижнем кронштейне закреплены угловые шкалы 3 и электромагнит 4, который можно закреплять в различных положениях, меняя тем самым начальное положение шара. Силу электромагнита можно регулировать воротком 5. Угловые шкалы могут передвигаться вдоль нижнего кронштейна. Время столкновения измеряется микросекундомером, показания которого выводятся на лицевой панели 6.

Нажатие кнопки "Сеть" подает питающее напряжение на установку. Кнопка "Сброс" служит для обнуления показаний измерителя времени. При нажатии на нее одновременно подается напряжение на электромагнит, и он удерживает шар в начальном положении. Отпускается шар нажатием кнопки "Пуск".

Задания и порядок их выполнения

До начала измерений необходимо ознакомиться с установкой и настроить ее:

шары в нижнем положении должны слегка касаться друг друга. При этом указатели должны показывать нули на шкалах;

79

Рис. 9.2. Внешний вид лабораторной установки

электромагнит устанавливается на такой высоте, чтобы его ось была продолжением черты на шаре. Силу электромагнита следует отрегулировать так, чтобы он удерживал шар;

особое внимание нужно уделить тому, чтобы удар получился центральным. Для этого положение шаров нужно регулировать как по вертикали, так и по горизонтали.

Описанные действия нужно выполнить на данной установке очень тщательно. Невыполнение их приводит к неконтролируемым потерям энергии и импульса.

Задание 1. Проверить выполнение законов сохранения импульса и энергии.

Задание 2. Найти деформацию шаров и максимальную силу удара.

80