Физика
.pdf
1 |
|
2 |
5 |
|
4 |
|
6 |
3 |
|
|
5 |
4
Рис. 6.2. Внешний вид лабораторной установки
Для среднего значения времени падения t по формуле (6.8) найти момент инерции. Провести математическую обработку серии измерений неслучайной величины I. Считать погрешность высоты θ h = 2 мм, а погрешность расстояния между осью маятника и грузом θ R = 1 мм.
Задание 1 является стандартным опытом в этой работе. Оно обязательно выполняется каждым студентом и является основой для следующих заданий.
61
Задание 2. Теоретическое вычисление момента инерции маятника. Вычисление нужно провести по формуле (6.9) с использованием указанных параметров установки. Теоретический результат следует сравнить с полученным на опыте и либо сделать заключение о допустимос-
ти имеющихся расхождений, либо объяснить эти расхождения.
Различия теоретического и экспериментального значений могут быть связаны с неточной установкой начального положения верхнего груза. Неточность в установке даже на 3–5 мм недопустима.
Задание 3. Исследование зависимости момента инерции от внешних параметров опыта (радиус шкива, масса подвешенного груза, начальная высота).
Убедиться, что момент инерции маятника Обербека не зависит от радиуса шкива r, на который наматывается нить. Для этого нужно провести стандартный опыт при двух радиусах шкива и сравнить получившиеся результаты.
Убедиться, что момент инерции маятника Обербека не зависит от массы груза т, раскручивающего маятник. Для этого нужно провести стандартный опыт при трех-пяти различных массах груза т и сравнить получившиеся результаты.
Убедиться, что момент инерции маятника Обербека не зависит от высоты h, с которой начинает падать груз. Для этого нужно провести стандартный опыт при трех-пяти различных высотах h и сравнить получившиеся результаты.
Можно считать, что момент инерции не зависит внешних параметров опыта r, т и h, если при различных значениях этих параметров значения момента инерции постоянны в пределах систематической по-
I |
грешности измерений θ I. |
|
Задание 4. Исследование зависи- |
||
|
||
|
мости момента инер- |
|
|
ции от расстояния меж- |
|
|
ду осью маятника и |
|
|
грузом. |
|
|
Выполнить стандартный опыт при |
|
|
трех-пяти различных положениях гру- |
|
R2 |
зов R. Результаты измерений нанести |
|
Рис. 6.3. Зависимость момента |
на график I(R2) (рис. 6.3). Убедиться, |
|
что наблюдаемая зависимость линей- |
||
инерции от расстояния |
||
|
ная, и объяснить, почему. Пояснить |
62
смысл величины, отсекаемой при R → 0 на оси I и тангенса угла наклона прямой.
Контрольные вопросы
1.Как связаны линейные и угловые величины при вращательном движении?
2.Что называется моментом импульса и моментом силы?
3.Как записывается основное уравнение динамики для поступательного и для вращательного движений?
4.В чем состоит аналогия между формулами для поступательного и вращательного движений?
5.Что называется моментом инерции абсолютно твердого тела? Каков его физический смысл?
6.Сформулировать правило, по которому следует выбирать расстояния R до грузов.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7
Наклонный маятник
Цель работы: изучение колебаний наклонного маятника.
Теоретические сведения
Рассмотрим шар, который под дей-
ствием силы F, приложенной к его цен- |
|
|
|
|
|
|
F |
||
тру, катится без проскальзывания по по- |
R |
|
||
|
|
|
||
верхности (рис. 7.1). Кроме этой силы, |
|
|
|
|
Fc |
|
|
||
нужно учесть еще Fс – силу сцепления |
|
|
||
|
O |
|
x |
|
с поверхностью, без которой шар не ка- |
|
|
|
|
тился, а скользил бы по опоре. Эта сила |
Рис. 7.1. Силы, приложенные |
|||
приложена в точке контакта О. Силу трения качения учитывать не будем. Запишем уравнения динамики абсолютно твердого тела
→ |
= ∑ |
→ |
(7.1) |
m a |
Fi |
||
→ |
= ∑ |
→ |
(7.2) |
I ε |
M i . |
63
→ →
В этих формулах m – масса шара, I – его момент инерции; a и ε –
→ →
линейное и угловое ускорения этого шара; а ∑ Fi и ∑ M i , соответ-
ственно, суммы всех сил и моментов всех сил, к нему приложенных. Вращение шара происходит относительно его центра, поэтому моменты всех сил нужно рассматривать относительно этой точки. Плечо силы Fс равно радиусу – R шара. Плечо силы F равно нулю, ее момент тоже.
→ |
→ |
→ → |
→ |
Iε = RFc. |
I ε |
= |
R× Fc; |
R Fc; |
Для тела, катящегося без проскальзывания, угловое ускорение связано с линейным соотношением ε = a/R. Момент инерции шара I = 0,4mR2. Подставим все это в получившееся уравнение:
0, 4mR2a
R = RFc ; 0, 4ma= Fc .
Объединим это выражение с проекцией на ось (ох) уравнения (7.1):
|
0, 4ma = F |
2 |
|
7 |
|
|
|
c ; ma= F− |
ma; |
ma= F. |
|||
|
|
|||||
ma = F − Fc |
5 |
|
5 |
|
||
Мы получили выражение, связывающее ускорение шара, катящегося без проскальзывания, с приложенной к нему силой.
α
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
N |
|
|
|
|
Fр |
|
|
|
|
mg |
β |
|
|
Рис. 7.2. Силы, возникающие при отклонении маятника
ma = |
5 |
F. |
(7.3) |
|
|||
7 |
|
|
|
Отметим, что ускорение шара получилось меньше, чем для тела такой же массы, скользящего без трения под действием той же силы. Происходит это потому, что действующая на шар сила не только разгоняет, но и раскручивает его.
Наклонный маятник представляет собой шар, подвешенный на нити и касающийся исследуемой плоской опоры. Шар производит некоторое давление на эту опору и, следовательно, имеет сцепление с ней (рис. 7.2). После отклонения шара на угол α
64
маятник придет в колебательное движение, при котором шар покатится по наклонной поверхности. Силу трения качения учитывать не будем. Равнодействующая сил тяжести mg, натяжения нити T и нормальной реакции опоры N направлена к положению равновесия:
→ → → → |
|
F = m g + T + N . |
(7.4). |
Ее проекция на направление траектории F = –mgcosβ sinα . Знак минус показывает, что равнодействующая сила направлена в сторону положения равновесия. При малых углах отклонения, когда sinα = α = x/l:
F = − |
mg cos β |
x. |
(7.5) |
|
|||
|
l |
|
|
Отметим, что в равнодействующей силе F не учтено сцепление шара с опорой, которое нужно учитывать, поскольку именно оно заставляет шар не скользить, а катиться по поверхности. Таким образом, задача свелась к рассмотренной выше, следовательно:
ma = − 5 mgcosβ x. 7 l
Учтем, что ускорение есть вторая производная смещения по времени:
x(′′t ) + |
5g |
cos βx(t ) = 0. |
(7.6) |
|
|||
|
7l |
|
|
Получившееся уравнение аналогично дифференциальному уравнению гармонических колебаний пружинного маятника
|
x(′′t ) + ω2 x(t ) = |
0. |
(7.7) |
|||||
с циклической частотой |
ω = |
|
5g |
cos β. |
|
|
(7.8) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
7l |
|
|
|
||
Значит, наклонный маятник совершает гармонические колебания |
||||||||
|
x(t ) = Acos(ωt + φ0 ) |
(7.9) |
||||||
с периодом |
T = |
2π |
|
7l |
|
. |
(7.10) |
|
|
|
|||||||
|
|
|||||||
5g cos β
Уравнение (7.9) содержит две константы – амплитуду А и начальную фазу ϕ 0, значения которых определяются из начальных условий.
65
Лабораторная установка
|
8 |
6 |
|
10 |
5 |
9 |
11 |
12 |
7 |
|
|
|
4 |
|
3 |
1 |
2 |
|
|
Рис. 7.3. Внешний вид наклонного маятника |
|
Внешний вид лабораторной установки приведен на рис. 7.3.
К основанию 2 на четырех ножках, регулирующих высоту, прикреплен секундомер и счетчик колебаний 1. В основании 2 закреплена стойка 3, на которой смонтирован корпус 4 с червячной передачей, соединенной с кронштейном 5. На нем закреплены две угловые шкалы, одна 6 – для измерения угла α отклонения шара, и вторая 7 – для измерения угла наклона β маятника. На кронштейне 5 закреплена стойка 8, на которой подвешен шар 9 с указательной стрелкой. В сам кронштейн 5 по направляющим вкладываются различные образцы. Для наклона маятника используется вороток 11. На кронштейне 5 так же имеется фотоэлектрический датчик 12, сигнализирующий о прохождении шара 9 через положение равновесия. Различные шары 9 навинчиваются на указательную стрелку.
66
Задания и порядок их выполнения
До начала измерений необходимо отрегулировать маятник, чтобы в положении равновесия стрелка указывала на ноль, а на шаре и на опоре не было прилипшей грязи.
Задание 1. Измерить период колебаний наклонного маятника и сравнить его с рассчитанным значением.
Для выполнения этого задания нужно установить указанный преподавателем угол наклона маятника β ; отклонить шар на некоторый угол α и отпустить его без толчка. Измерить время десяти колебаний и вычислить период Т. Измерение повторить не менее пяти раз при различных начальных углах отклонения α .
Во время измерений периода нужно следить за тем, чтобы:
при запуске шарика его ось была направлена строго вдоль нити; начальная амплитуда колебаний была каждый раз одинаковой; во время колебаний маятника стол и стойка 8 не качались.
Если все названные условия соблюдены, то можно считать, что измеряемая величина не случайна по своей природе.
Среднее значение периода сравнить с теоретическим значением, рассчитанным по (7.10). Сравнение провести с учетом погрешностей измеренного и рассчитанного значений.
Задание 2. Исследовать зависимость периода колебаний от угла наклона β маятника.
Выполнить задание 1 для нескольких углов β , названных преподавателем. Если никаких указаний преподавателя не было, то выбрать углы 15°, 30°, 45°, 60°, 75°. Результаты измерений отложить на графике Т(β ). На этом же графике построить зависимость (7.10). Сделать заключение о справедливости этой теоретической формулы при различных углах β . Если измеренное и рассчитанное значения периода не совпадают, то объяснить причину этих расхождений.
Контрольные вопросы
1. Почему ускорение шара, катящегося по поверхности под действи-
→ |
→ → |
ем силы F , нельзя найти из второго закона Ньютона |
a = F m ? |
2.Как запишется формула (7.3) для катящегося цилиндра?
3.Почему из формулы (7.10) не получается формула периода математического маятника при угле наклона β = 0?
67
4.Получите выражения для скорости и ускорения шара при гармонических колебаниях. Чему равны их максимальные значения?
5.Как из начального отклонения шара х0 и его начальной скорости
υ0 найти амплитуду А и начальную фазу ϕ 0 колебаний?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8
Определение коэффициента трения качения
Цель работы: определение коэффициента трения качения.
Теоретические сведения
Силы трения возникают при относительном перемещении двух соприкасающихся тел или при попытке вызвать такое перемещение. Различают три вида трения, возникающего при контакте твердых тел: трение скольжения, покоя и качения. Трение скольжения и трение качения всегда связаны с необратимым процессом – превращением механичес-
|
|
|
|
|
кой энергии в тепловую. |
|
|
|
|
Сила трения скольжения приложе- |
|||
Q |
|
N |
на в области контакта тел и направле- |
|||
|
|
|
|
|
на в сторону, противоположную ско- |
|
|
|
|
|
|
рости относительного движения. Сила |
|
|
|
|
|
|
нормальной реакции поверхности N и |
|
|
|
|
|
|
сила трения Fтр являются нормальной |
|
|
|
|
|
и тангенциальной составляющими од- |
||
|
|
|
V |
ной и той же силы Q, с которой эта |
||
Fтр |
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
поверхность действует на тело (рис. |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
8.1). Модули сил Fтр и N связаны меж- |
|
|
|
|
|
|
||
Рис. 8.1. Силы взаимодействия |
ду собой приближенным эмпиричес- |
|||||
|
тела с поверхностью |
ким законом Амонтона – Кулона |
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Fт р = µN , |
(8.1) |
||
поэтому угол между нормалью к поверхности и направлением силы Q постоянен. В этой формуле µ – коэффициент трения, зависящий от материала и качества обработки соприкасающихся поверхностей, слабо зависящий от скорости скольжения и практически не зависящий от площади контакта.
Сила трения покоя принимает значение, обеспечивающее равновесие, т. е. состояние покоя тела. Угол между направлением силы Q и
68
нормалью к поверхности может принимать значения в промежутке от нуля до максимального, обусловленного законом Амонтона – Кулона.
Сила трения качения возникает изза деформации материалов поверхнос-
тей катящегося тела и опоры, а также |
→ |
→ |
→ |
из-за разрыва временно образующихся |
Q |
N |
|
|
|
V |
|
молекулярных связей в месте контакта. |
|
|
|
Рассмотрим лишь первую из названных |
|
→ |
|
причин, поскольку вторая существенна |
|
Fтр |
|
|
|
|
|
только при очень хорошей полировке |
|
|
|
тел. При качении цилиндра или шара по |
Рис. 8.2. Возникновение |
|
|
плоской поверхности в месте контакта |
|
||
силы трения |
|
||
и перед ним возникает деформация катящегося тела и опоры. Тело оказывается в ямке (рис. 8.2) и вынуждено
все время из нее выкатываться. Из-за этого точка приложения силы реакции опоры Q смещается немного вперед по ходу движения, а линия действия этой силы отклоняется немного назад. Нормальная составляющая силы Q есть сила упругости (Qn = N), а тангенциальная – сила трения качения (Qτ = Fтр). Для силы трения
качения справедлив приближенный закон Кулона:
F |
= |
fN |
. |
(8.2). |
|
||||
т р |
|
R |
||
|
|
|
||
В этом выражении R – радиус катящегося тела, а f – коэффициент трения качения, имеющий размерность длины. Понятно, что для мягких веществ коэффициент трения качения больше, чем для твердых.
Для определения коэффициента трения качения в настоящей работе используется наклонный маятник (рис. 8.3). Он представляет собой шар, подвешенный на нити и касающийся исследуемой плоской поверхности. При наклоне маятника,
α
→
T
|
→ |
N |
Fp |
|
|
→ |
β |
mg |
|
Рис. 8.3. Силы, возникающие при отклонении маятника
69
а вместе с ним и поверхности (опоры) на угол β , шар будет производить некоторое давление на нее, и, следовательно, иметь сцепление с ней. После отклонения шарика на некоторый угол α маятник придет в движение, при котором шар покатится по исследуемой поверхности. Для шара в рассматриваемом случае второй закон Ньютона записывается в следующем виде:
→ → → → → → |
|
m a = m g + T + N + F c + F т р . |
(8.3). |
В этой формуле Fc – сила сцепления между шаром и опорой, т. е. сила, не позволяющая шару скользить и, по существу, являющаяся силой трения покоя. Символом Fтр обозначена сила трения качения. Смысл всех остальных обозначений ясен из рисунка. В описании лабораторной работы № 7 показано, что проекция равнодействующей Fр сил тяжести, натяжения нити, нормальной реакции опоры и сцепления шара с опорой на направление траектории при малых углах α
Fp |
= − |
5 |
|
mg cos β |
x = −kx, |
(8.4) |
|
|
|||||
|
|
7 l |
|
|||
где k = 5 mg cos β . 7 l
Здесь l – длина нити, а х – смещение шара из положения равновесия. Знак минус указывает направление этой силы. Таким образом, равнодействующая четырех названных сил подчиняется закону Гука, т. е. является квазиупругой силой; следовательно, второй закон Ньютона для катящегося шара переписывается в виде
m x(′′t ) + k x(t ) − Fтp = 0. |
(8.5) |
Решением этого дифференциального уравнения будут гармонические колебания со смещенным положением равновесия
x(t ) = |
Fтp |
+ Acos (ωt + φo ). |
(8.6) |
|
|||
|
k |
|
|
Значения констант А – амплитуды колебаний и ϕ o – их начальной фазы определяются из начальных условий. Если шар начинает движение из положения максимального отклонения, то ϕ o = 0.
Циклическая частота ω маятника, как показано в описании работы № 7, может быть найдена по формуле
70