Физика
.pdf
9 |
10 |
11 |
12 |
9 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
14 |
6 |
13 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
Рис. 11.3. Внешний вид лабораторной установки
Установка включается нажатием кнопки "Сеть". Ручкой на лицевой панели устанавливается частота вращения. Кнопка "Сброс" запускает секундомер и измеритель угла прецессии. Кнопка "Стоп" останавливает измерение угла прецессии и времени поворота.
Задания и порядок их выполнения
До начала измерений следует ознакомиться с установкой, установить ее горизонтально по имеющемуся уровню.
Задание 1. Определение угловой скорости прецессии гироскопа. Найти положение равновесия хо груза 12 по линейке 11. Установить нужную частоту вращения гироскопа и перевести ее в
единицы рад/с.
Установить груз массой т в заданное преподавателем положение х и вычислить момент внешней силы:
М = mg(x – xo). |
(11.9) |
Отпустить рычаг 11 и наблюдать прецессию гироскопа, зафиксировать направление вращения.
Нажать кнопку "Сброс", включив тем самым секундомер и измеритель угла. Подождать, пока на табло появится угол 80°, и нажать кноп-
91
ку "Стоп". В этом случае прибор измерит время t поворота гироскопа на угол ϕ = π /2. Угловую скорость прецессии найти по формуле
Ω = ϕ /t. |
(11.10) |
Учесть, что в этой формуле угол ϕ |
измеряется в радианах. Угловую |
скорость прецессии определить три раза при одном и том же положении груза 12 и одинаковых частотах вращения гироскопа.
Вычисленные значения М и Ω подставить в формулу (11.8) и найти момент импульса гироскопа L.
Используя полученное значение момента импульса L и угловой ско-
рости вращения ω найти момент инерции гироскопа: |
|
I = L/ω . |
(11.11) |
Во время проведения измерений нужно следить за тем, чтобы частота вращения гироскопа ω оставалась неизменной.
Задание 2. Измерение момента импульса гироскопа при неизменной частоте вращения и различных значениях момента внешней силы.
Убедиться, что независимо от положения груза х, в пределах систематической погрешности получатся одинаковые значения момента импульса гироскопа L. Для этого следует повторить задание 1 при нескольких различных положениях груза, заданных преподавателем. Найти среднее значение момента импульса и его полную погрешность.
Задание 3. Измерение момента инерции гироскопа.
Убедиться, что независимо от частоты вращения гироскопа ω , в пределах систематической погрешности получатся одинаковые значения его момента инерции I. Для этого следует повторить задание 1 при нескольких различных частотах вращения гироскопа, заданных преподавателем. Найти среднее значение момента инерции и его полную погрешность.
Поскольку частота вращения гироскопа во время проведения опыта немного меняется, и это изменение (уплывание) частоты происходит случайным неконтролируемым образом, результаты всех измерений в этой работе следует считать случайными, и проводить объединение случайной и систематической погрешностей найденных величин по формуле (12) из вводной части настоящего пособия.
Контрольные вопросы
1. Что называется гироскопом, свободным гироскопом?
92
2.Запишите уравнение моментов для гироскопа, на который действует момент силы тяжести.
3.Объясните, почему вектор момента внешней силы направлен перпендикулярно оси гироскопа.
4.Как зависит угловая скорость прецессии гироскопа от положения груза? Почему не прецессирует уравновешенный гироскоп?
5.От чего зависит направление прецессии гироскопа? Почему при разных положениях груза направления прецессии разные?
6.Почему попытка повернуть уравновешенный гироскоп вокруг оси DD' за диск 13 вызывает его поворот относительно другой – оси ВВ'?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 12
Определение скорости звука в воздухе
Цель работы: определение скорости распространения звуковых волн в воздухе.
Теоретические сведения
Звуковые волны представляют собой процесс распространения механических колебаний с частотами в диапазоне от 20 Гц до 20 кГц. Скорость звука υ связана с длиной волны λ и частотой колебаний v соотношением:
υ = λv. |
(12.1) |
Скорость звука в воздухе можно теоретически рассчитать по формуле
υ = |
7 |
|
RT |
, |
(12.2) |
|
|
||||
|
5 M |
|
|||
в которой Т – абсолютная температура, М = 0,0291 кг/моль – молярная масса воздуха, R = 8,314 Дж/К моль – универсальная газовая постоянная.
Уравнение волны, распространяющейся вдоль оси (ох), имеет вид
ξ(x,t) = Acos(ωt − kx). |
(12.3) |
В этой формуле ξ – смещение точки среды из положения равновесия, находящегося на расстоянии х от источника; ω – циклическая частота колебаний; k = 2π /λ – волновое число. Фаза колебаний
φ = ωt − kx = |
2πt |
− |
2πx |
(12.4) |
|
T |
λ |
||||
|
|
|
93
зависит от времени и от положения точки. Разность фаз колебаний двух соседних точек зависит только от расстояния ∆ х между ними
∆φ = |
2π∆x |
. |
(12.5) |
|
|||
|
λ |
|
|
Таким образом, длину звуковой волны можно найти, измерив на опыте величины ∆ х и ∆ϕ . Разность фаз колебаний можно определить методом сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний. Точка, совершающая одновременно два колебания во взаимно перпендикулярных направлениях, движется по замкнутым траекториям, называемым фигурами Лиссажу. В случае равенства частот эти фигуры представляют собой эллипсы, форма и ориентация которых зависит от амплитуд и от разности фаз складываемых колебаний.
Рассмотрим два гармонических колебания одинаковой частоты, одно из которых происходит вдоль оси ох, а другое – вдоль оу. Для простоты начальную фазу первого колебания положим равной нулю:
x = A1cos(ωt), |
|
y = A2cos(ωt + ∆φ). |
(12.6) |
Уравнение траектории точки, одновременно участвующей в этих двух колебаниях, найдем, исключив время t из уравнений (12.6):
|
|
x |
|
= cos ωt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= cos ωt cos∆φ |
− sin ωtsin∆φ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y |
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
cos ∆φ− |
sin ∆φ −1 |
|
|
|
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
A2 |
|
|
A1 |
|
|
|
|
A1 |
|
|
||||||||
|
|
x |
|
2 |
+ |
|
|
y 2 |
− |
2xy cos ∆φ |
= sin |
2 |
φ. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
(12.7) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 A2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
A1 |
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Получилось уравнение наклонного эллипса, ориентация и полуоси которого зависят от амплитуд A1 и A2 от разности фаз ∆ϕ (рис. 12.1, а). Если ∆ϕ = 2π k, где k целое, получим уравнение отрезка прямой, проходящего через 1-й и 3-й квадранты (рис. 12.1, б):
94
|
y = ( A2 |
A1 ) x. |
|
(12.8) |
|
а) |
б) |
в) |
|
г) |
|
y |
y |
y |
|
y |
|
∆ ϕ |
= 0 |
|
∆ ϕ |
= π |
|
x |
x |
|
x |
|
x |
|
|
|
|
∆ ϕ = π |
2 |
Рис. 12.1. Различные траектории движения точки
Если ∆ϕ = (2 k + 1)π , где k целое, получим уравнение отрезка прямой, проходящего через 2-й и 4-й квадранты (рис. 12.1, в);
y = − ( A2 A1 ) x. |
(12.9) |
Если ∆ϕ = (2 k + 0,5)π , где k целое, получим уравнение эллипса, ориентированного вдоль координатных осей (рис. 12.1, г);
|
x |
2 |
|
y |
|
2 |
|
|
|
|
+ |
|
= 1. |
(12.10) |
|||
A1 |
|
|||||||
|
|
|
A2 |
|
|
|||
Таким образом, по форме наблюдаемого эллипса можно определить разность фаз колебаний ∆ϕ . В дальнейшем особый интерес будут представлять случаи б и в, когда эллипс вырождается в отрезок. Эти случаи удобно наблюдать экспериментально; существенно, что изменение величины ∆ϕ от одного из них к другому составляет ∆ϕ = π .
В настоящей работе звуковой сигнал с телефона попадает на микрофон, находящийся на расстоянии l от него. Сигналы с телефона и с микрофона подаются на отклоняющие пластины х и у электронного осциллографа соответственно. Расстояние l можно изменять и измерять во время эксперимента; вместе с ним, согласно формуле (12.5), меняется и разность фаз ∆ϕ колебаний телефона и микрофона. Поскольку по картинке на экране осциллографа можно зафиксировать лишь разности фаз ∆ϕ кратные π , при которых эллипс вырождается в отрезок, величина n = ∆ϕ /π на опыте должна принимать только целые значения. Она увеличивается на единицу всякий раз, когда при увеличении расстояния l на экране эллипс превращается отрезок. С учетом сказанного формулу (12.5) можно переписать в виде
95
l = |
λ |
n. |
(12.11) |
|
|||
2 |
|
|
|
l
tg α = l/2
α
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
n |
Рис. 12.2. Экспериментальная зависимость l от n
Зависимость l(n) наблюдаемая в опыте (рис. 12.2), должна представлять собой прямую линию, по угловому коэффициенту которой можно найти длину волны
λ = 2tgα. |
(12.12) |
Подставив полученное таким способом значение длины волны λ и установленную на звуковом генераторе частоту колебаний ν в формулу (12.1), можно найти скорость звуковых волн.
Лабораторная установка
Блок-схема лабораторной установки приведена на рис. 12.3. Электрические колебания звуковой частоты, полученные при помо-
щи генератора 1, подаются одновременно на пластины х осциллографа 2 и на телефон 5. Звук от телефона распространяется вдоль полой трубы 3 и достигает микрофона 4. В электрической цепи микрофона возникает электрический сигнал на той же частоте, что и на выходе генератора, но с некоторой задержкой по фазе. Этот сигнал подается на пластины у осциллографа. На экране появляется эллипс, форма которо-
96
|
2 |
|
1 |
|
|
|
х |
у |
5 |
3 |
4 |
6 |
|
|
4 |
|
5 |
Рис. 12.3. Блок-схема лабораторной установки
го зависит кроме всего прочего от разности фаз колебаний, подаваемых на разные пластины осциллографа. При изменении расстояния, которое можно измерить линейкой 6, между телефоном и микрофоном изменяется разность фаз колебаний, а следовательно, и форма эллипса.
Задания и порядок их выполнения
Задание 1. Экспериментальное определение скорости звуковых волн в воздухе.
До начала измерений нужно на 5–10 мин включить для прогрева осциллограф и звуковой генератор.
Задание выполняется в следующем порядке. Установить заданную частоту колебаний.
Пользуясь ручками настройки осциллографа и изменяя величину выходного напряжения, добиться на экране осциллографа четкого, устойчивого эллипса.
Перемещая телефон по трубе, добиться появления на экране прямой линии. Отметить это положение на шкале-линейке как l = 0.
Медленно перемещая телефон в ту же сторону, снова получить на экране прямую линию, но уже наклоненную в другую сторону, т. е. проходящую через другие квадранты. Отметить соответствующее положение телефона как l1.
Повторить предыдущий пункт столько раз, сколько это возможно и получить набор положений телефона l1, l2, l3 ..., в которых эллипс вырождается в отрезок прямой. Получить еще один такой же набор
97
данных, перемещая телефон в обратном направлении и усреднить результаты.
Построить график зависимости положения телефона ln от порядкового номера п, как показано на рис. 12.2. Систематическую погрешность расстояния θ l принять θ l = 3 мм. Систематическую погрешность θ n, связанную с неточностью определения точки вырождения эллипса не учитывать.
Графически найти длину звуковой волны λ и ее систематическую погрешность.
По формуле (12.1) найти скорость звуковых волн. Повторить измерения для звукового сигнала другой частоты.
Задание 2. Теоретический расчет скорости звуковых волн в воздухе. Вычисления нужно проводить по формуле (12.2); значения констант, необходимые для расчета, указаны в комментариях к формуле. Для определения температуры воздуха t° C нужно воспользоваться термомет-
ром. Абсолютную температуру Т можно найти по формуле
Т = t + 273,15 (K). |
(12.13) |
Контрольные вопросы
1.Что называется звуковой волной?
2.Чем отличаются волновые процессы от колебательных?
3.Что такое длина волны и чему она равна?
4.Запишите уравнение бегущей волны и поясните смысл всех величин в нее входящих.
5.От чего зависит фаза волны? Чему равна разность фаз колебаний двух точек?
6.Получите уравнения траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты?
7.В каких случаях траектория вырождается в отрезок?
8.Как определяется длина звуковой волны в данной работе?
9.Каков смысл величины п, входящей в формулу (12.11)? Почему в настоящей работе она равна порядковому номеру измерения?
10.Как зависит скорость звука от температуры воздуха?
98
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 13
Определение коэффициента вязкости масла
Цель работы: определение коэффициента вязкости касторового масла.
Теоретические сведения
На шарик, движущийся в вязкой жидкости, действуют три силы: сила тяжести mg, сила Архимеда FА и сила сопротивления среды Fc;
→ → → |
→ |
(13.1) |
|
m g + FA + Fc = m a . |
|||
|
|||
Сила Архимеда выражается через объем тела V, плотность жидкости ρ ж и ускорение свободного падения g:
FA = ρжgV . |
(13.2) |
Сила сопротивления среды, действующая на тело при малых скорос-
тях движения υ , по закону Стокса: |
|
|
с |
υ, |
(13.3) |
Fc = – |
|
где с – коэффициент сопротивления среды, который для тела сферической формы связан с его радиусом R и коэффициентом вязкости η:
c = 6π Rρ . |
(13.4) |
Массу тела можно выразить через его объем V и плотность ρ : |
|
m =ρ V. |
(13.5) |
Будем считать, что шарик движется в жидкости вертикально вниз. Перепишем уравнение (13.1) в скалярной форме, учитывая направление сил, и преобразуем его:
mg − F |
− F |
= ma; |
|
mg− F− υc= |
m |
d υ |
; |
|
|||||||||
|
A |
C |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
dt |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
d υ |
|
|
|
|
dt |
|
t |
dt |
υ (t ) |
|
|
dυ |
|
|||
|
|
|
= |
|
; |
|
∫ |
m= |
∫ |
|
|
; |
|||||
|
mg − F |
− c υ |
m |
mg− F − cυ |
|||||||||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
υ 0 |
|
|
A |
|
|||
|
|
|
t |
|
υ (t ) |
|
|
dυ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
(13.6) |
||||
|
|
|
|
mg − FA − c υ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
m |
υ 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
99
Найдем первообразную и подставим ее значения на пределах:
|
|
t |
= − |
1 |
ln(mg − F |
|
− c υ ) |
|
υ (t ) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
m |
|
c |
A |
|
|
|
|
υ 0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
− |
ct |
= ln(mg − F |
− cυ |
|
|
)− |
ln(mg− |
F − |
cυ |
|
); |
|||||
|
(t ) |
0 |
||||||||||||||
|
m |
|
|
A |
|
|
|
|
A |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ct |
mg − FA − c υ (t ) |
||
|
= ln |
|
|
m |
mg − FA − c υ 0 |
||
|
|||
|
− |
ct |
|
mg− FA− cυ |
(t ) |
|
|
; |
|||||
; |
e = |
|
|
|||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
mg− FA− cυ |
0 |
|
|
(mg − F ) |
− |
ct |
|
|
|
|
|
− |
ct |
|
|
(mg |
− F ) |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
A |
e m − υ |
0 e m= |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
− υ (t ) ; |
||||||||||
|
c |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ct |
|
|
(mg − |
FA ) |
|
|
|
|
|
|
ct |
|
||||||
|
υ (t )= υ 0 e− m+ |
|
|
|
−1 |
|
e− m . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
c |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем обозначения: |
|
|
|
|
|
t = m/с, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
υ * = |
|
|
(mg − FA ) |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и перепишем выражение ( 13.7 ) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
t |
|
|
|
|
|
− |
t |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
||||||
|
υ (t )= υ 0 e + υ * |
−1 e |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13.7)
(13.8)
(13.9)
( 13.10 )
На рис. 13.1 показана зависимость ( 13.10 ) скорости шарика от времени при различных значениях начальной скорости.
Как видно из рисунка, движение шарика в вязкой жидкости по истечении времени τ становится практически равномерным. Величина υ * имеет смысл скорости установившегося движения тела. Подставим выражения (13.2), (13.4), (13.5) в (13.8) и (13.9), а также учтем, что объем шара V = 4π R3/3
|
|
τ = |
2 |
|
R2ρ |
, |
|
(13.11) |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
9 |
|
η |
|
|
|
|
||
υ |
* = |
|
2(ρ − ρ |
ж )R2 g |
. |
(13.12) |
||||
|
|
|
9 |
η |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
100