Виноград(Вектор_управ_АД)321стр

Vd = 23 (VA cosϕk +VB cos(ϕk − 23π ) − (VA +VB ) cos(ϕk + 23π )) =

=− 23 (VA (sinϕk −sin(ϕk + 23π )) +VB (sin(ϕk − 23π ) −sin(ϕk + 23π )).

Преобразуя разности косинусов и синусов согласно известным

тригонометрическим выражениям

cosα − cos β = −2sin[(α + β) / 2]sin[(α − β) / 2] ; sinα −sin β = 2 cos[(α + β) / 2]sin[(α − β) / 2] ,

VC = −(VA +VB ).

Иногда для анализа и синтеза систем управления приводами переменного тока более удобным оказывается представление переменных и уравнений в полярной системе координат. В ряде случаев применяются также бескоординатные (тензорные) математические модели.

В полярной системе координат результирующий вектор V задается своим модулем (амплитудой) V и угловым положением относительно одной из координатных осей, например фазы A естественной системы координат ϕ (рис.2.3).

Связь представления вектора в полярной системе координат с другими координатными системами определяется следующими соотношениями.

13

A,α

V

ϕ VA ,Vα

VC

Im β

Vβ VB

B C

Рис.2.3. Представление результирующего вектора в полярной системе координат

Для координат (A, B, C) при условии VA +VB +VC = 0

Для координат ( α,β )

Реальные соотношения, используемые в системах управления приводами для вычисления углового положения, отличаются от приведенных, т.к. результирующий вектор может находиться во всех 4 квадрантах плоскости поперечного сечения машины, при этом обнуле-

14

ние одной из координат может приводить к неопределенности типа «деление на нуль».

Чтобы устранить это явление, применяется разбиение векторной плоскости на секторы, например, в соответствии с рис.2.4.

ϕ = arctg Vα Vβ

Рис.2.4. Вычисление углового положения результирующего вектора

Если определена только операция арктангенса в первом квадранте изображающей плоскости, то ее следует разбивать уже не на 4, а на 8 секторов, в каждом задавая свою формулу для вычисления угла.

Очевидно, что представление результирующего вектора в плоскости поперечного сечения машины хорошо стыкуется с представлением этого вектора на комплексной плоскости. Для этого достаточно действительную ось комплексной плоскости совместить с осью фазы A или

α . Тогда мнимая ось совпадет с осью β .

ϕV α

Vα

Рис. 2.5. Представление результирующего вектора в ортогональной системе координат

Вычисление частоты вращения вектора по его проекциям в ортогональной системе координат осуществляется в соответствии с рис.2.5 по следующим выражениям:

15

где p = dtd .

3. Математическое описание асинхронной машины

Одной из основных задач, возникающих при построении модели асинхронного электропривода, является выбор системы координат, в которой рассматриваются электромагнитные процессы в двигателе. Однако выбор той или иной системы координатных осей, очевидно, не влияет на реальные физические процессы, протекающие в электроприводе, а является лишь способом их описания. В зависимости от решаемой задачи применяются математические модели в естественных координатах машины, в ортогональных координатах, неподвижных или вращающихся с определенной частотой, в полярных координатах либо бескоординатные (тензорные) модели. Рассмотрим эти модели и их взаимное соответствие друг другу.

При составлении уравнений асинхронной машины введем следующие допущения:

1)пренебрегаем потерями в стали, т.е явлениями гистерезиса и вихревыми токами;

2)не учитываем насыщение магнитопровода (насыщение может быть учтено косвенно путем использования так называемых “насыщенных” параметров, то есть параметров, определяемых при состоянии насыщения);

3)пренебрегаем неравномерностью воздушного зазора между телом ротора и статора и изменением магнитной проводимости, обусловленной наличием пазов при относительном перемещении сердечников;

4)пренебрегаем высшими пространственными гармониками магнитного поля, то есть распределение магнитного поля каждой из обмоток вдоль окружности ротора и статора принято синусоидальным;

5)считаем, что статор и ротор имеют симметричные трехфазные обмотки. Обмотка ротора приведена к числу витков обмотки статора, то есть число витков обмотки статора и ротора одинаково.

16

3.1. Математическая модель асинхронного двигателя в естественных координатах

Запись дифференциальных уравнений равновесия напряжений в фазовых координатах обеспечивает ряд преимуществ.

1.Все величины в системе уравнений имеют свой физический смысл и реальные значения (точнее, это относится только к переменным статорных обмоток, поскольку короткозамкнутая обмотка ротора, естественно, не имеет трех отдельных фаз).

2.Такая запись уравнений позволяет учесть все виды несимметрии параметров обмоток и питающих напряжений.

3.Существует возможность выполнять расчеты электромагнитных

иэлектромеханических процессов в статических и динамических режимах работы при питании от сети и источников с несинусоидальной формой выходного напряжения.

Эквивалентная схема трехфазной асинхронной машины представлена на рис.3.1.

Ub b

Рис.3.1. Эквивалентная схема трехфазной асинхронной машины

17

МАВ, МАС, МВС, MBA, MCA, MCB — взаимоиндуктивности между обмотками статора;

Мab, Мac, Мbc, Mba, Mca, Mcb — взаимоиндуктивности между обмотками ротора;

МAa, МBa, МbA, … — максимальная величина взаимоиндуктивности между обмотками статора и ротора.

Заметим, что уравнения (3.1), (3.2), (3.3) пригодны для описания процессов в машине с учетом несимметрии в параметрах обмоток и в системе питания.

Учтем условие симметрии обмоток двигателя и условия симметрии токов статора и ротора: I A + IB + IC = 0; Ia + Ib + Ic = 0 . По условию симметрии обмоток

RA = RB = RC = Rs ; Ra = Rb = Rc = Rr ; LA = LB = LC = Ls ; La = Lb = Lc = Lr ;

M AB = M BA = M BC = M CB = M CA = M AC = M1; M ab = M ba = M bc = M cb = M ac = M ca = M 2 ;

M Aa = M aA = M Ba = ... = M12 .

Рассмотрим магнитный поток фазы А статора, создаваемый только обмотками статора, с учетом условия симметрии токов статора (рассматривается только часть общего потока, сцепленного с фазой статора. Такой режим получается в предположении, что обмотки ротора разомкнуты):

ΨsA = Ls I A + M1 I B + M s IC = Ls I A + M1 (I B + IC ) =

= I A (L1 − M1 ) = I A (Lsσ + Lsµ − M1 ),

где Lsσ , Lsm — индуктивности фазной обмотки статора от поля рас-

сеяния и поля главного потока.

Взаимная индуктивность между любыми двумя обмотками статора вычисляется с учетом пространственного положения обмоток по выражению

M1 = Lsµ cos 23π = − L2sµ .

В результате

ΨsA = IA (Lsσ + 32 Lsµ ) = Ls IA ,

19