Квантовая физика. Лабораторный практикум
.pdf
рующий экран трубки ÔÝ, вызывают появление светящегося пятна. При изменении траектории электронов пятно смещается.
Схема установки представлена на рис. 2, где Áí – источник питания накала катода; R – реостат для регулировки тока накала; U – источник высокого напряжения; V – вольтметр для измерения ускоряющего напряжения; ÁÔ – источник питания для подачи напряжения на фокусирующий анод; Ï – потенциометр для регулировки фокусного напряжения.
–+
V |
ÔA |
ÔÝ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
A1A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Áí |
|
|
|
|
|
Ï |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Áô |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 2
В качестве отклоняющего магнитного поля используется горизонтальная составляющая магнитного поля Земли.
Несложно показать, что радиус кривизны траектории электронов R может быть определен из следующего соотношения:
R = |
L2 |
, |
(6) |
|
2S |
||||
|
|
|
ãäå L – расстояние между анодом и флюоресцирующим экраном; S – половина расстояния между двумя крайними положениями пятна на экране при повороте трубки на 180°.
Из формул (5) и (6) получаем расчетную формулу для определения удельного заряда электрона
e |
= |
8S2U |
|
. |
(7) |
m |
2 4 |
2 |
|||
|
0L H |
|
|
|
31
Величины S è U измеряются; L = 35 ñì è Hç = 12,6 À/ì.
2. Определение удельного заряда электрона с помощью магнетрона (электронной лампы, помещенной в магнитное поле)
Схема установки представлена на рис. 3. Здесь C – соленоид, внутри которого находится электронная лампа с катодом цилиндрической формы, расположенным коаксиально аноду и параллельно магнитным силовым линиям; Áñ, ÁÀ, Áí – источники питания соленоида, анода и накала соответственно; A – амперметр для контроля тока в соленоиде; ìêÀ – микроамперметр для измерения тока в баллоне (он включен в схему под панелью, наружные клеммы отсутствуют). Изменения токов и подаваемого напряжения производятся с помощью ручек на панелях источников питания. Источник питания Б5-7 имеет две ручки для изменения тока: одну скачком через три деления, другую плавную в пределах каждого интервала шкалы первой рукоятки.
A
Ác
C
ìêA
ÁA
Áí
Ðèñ. 3
При наличии разности потенциалов между анодом и катодом в анодной цепи устанавливается некоторый ток (ток насыщения). Ток насыщения обусловлен электронами, летящими от катода к аноду (цилиндру) по радиальным направлениям. При включении цепи соленоида электроны оказываются в магнитном поле, вектор напряженности которого H перпендикулярен вектору скорости движения электрона v. Траектории движения каждого электрона искривляются и при некоторой силе тока Ic в соленоиде (напряженность магнитного поля H пропорциональна величине тока Ic соленоида) превращаются в замкнутые окружности. Электроны в этом случае на анод
32
не попадают и анодный ток резко уменьшается (теоретически до нуля). Зная расстояние от катода до анода, можно определить радиус кривизны R траектории электрона (радиус лоренцевой орбиты)
R = |
ra − rk |
. |
(8) |
|
|||
2 |
|
|
|
Определив экспериментально силу тока в соленоиде Ic,. при которой анодный ток резко уменьшается, можно рассчитать критическое значение напряженности магнитного поля
Hk = n0Ic, |
(9) |
ãäå n0 – число витков на единицу длины соленоида. Подставляя зна- чения R è Hk в (5), получим расчетную формулу
e |
= |
|
|
|
8U |
|
|
|
|
. |
(10) |
|
|
µ |
2 |
(r |
− r |
|
2 |
2 |
I |
2 |
|||
m |
0 |
) |
n |
c |
|
|||||||
|
|
|
a |
K |
|
|
0 |
|
|
|||
Порядок выполнения работы
В первой части работы следует:
1.Изучить электрическую схему (рис. 2) и сопоставить ее с лабораторной установкой.
2.Включить блок питания и дать прогреться электронно-лучевой трубке, на экране которой должно появиться светящееся пятно.
3.Медленно развернуть трубку (вправо или влево) добиваясь того, чтобы пятно заняло крайнее (либо верхнее, либо нижнее) положение. Так как пятно имеет некоторые размеры, следует отсчет по шкале на трубке делать по верхнему краю пятна. Это положение трубки соответствует условно перпендикулярности оси трубки горизонтальной составляющей магнитного поля Земли.
4.Повернуть трубку на 180° и заметить по шкале на сколько сме-
стилось пятно h2 –h1 = 2S.
5.Опыт повторить три раза при различных значениях ускоряющего напряжения: U1, U2, U3.
6.Результаты опытов и вычислений занести в табл. 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
e |
||
¹ опытов |
h1 |
h2 |
S |
U |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
m средн |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33
Во второй части работы следует:
1.Изучить электрическую схему (рис. 3) и сопоставить ее с лабораторной установкой. Проверить, правильно ли она собрана.
2.Включить источники питания накала, анода и соленоида и дать им прогреться 1–2 ìèí.
3.Изменяя ток в соленоиде с помощью переключателей, рукоятки которых выведены на лицевую панель источника тока, снять зависимость тока анода от тока в соленоиде (8–10 точек)
Ià = f(Iñ).
Результат занести в табл. 2
Таблица 2
¹ ï/ï |
U1 |
Ia |
Ic |
U2 |
Ia |
Ic |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Повторить измерения при другом напряжении накала катода. Напряжение изменить на ± 1–2 В (не больше!).
5.Построить графики зависимости Ià = f(Iñ) (cбросовые характеристики) для каждого значения Uí. Определить по точкам резкого
спада кривой критические значения токов в соленоиде. |
|||
6. По формуле (10) определить |
e |
для каждого опыта |
|
m |
|||
|
e |
||
7. Вычислить погрешности измерения m для двух способов определения.
34
Лабораторная работа ¹ 5
ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ГЕРМАНИИ
Цель работы: определение концентрации носителей тока и их подвижности в полупроводниковом материале – германии с помощью эффекта Холла.
Методические указания
В 1880 г. Холл обнаружил, что если пропускать электрический ток через металлическую пластину, помещенную во внешнее магнитное поле, направленное перпендикулярно току (рис. 1), то в попереч- ном направлении возникает разность потенциалов, пропорциональная произведению величины тока и индукции магнитного поля.
Объяснение эффекта Холла может быть дано на основании простых соображений. Рассмотрим пластину вещества, по которой протекает ток I (рис. 1). На отдельный заряд q, движущийся с дрейфо-
вой скоростью v, в присутствии постоянных электрического E è ìàã-
нитного B полей действует сила |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
|
F = qE + q[v,B]. |
|
|||
Как видно из рис. 1, скорость заряда |
|
направлена перпендику- |
|||||||
лярно |
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
B |
и вдоль оси проводника. Это означает, что составляющая |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ñèëû F |
|
|
|
|
|
|
|||
, равная q v,B , отклоняет заряд к боковой грани провод- |
|||||||||
ника. Заряженная таким образом грань создает внутри пластины электрическое поле Ex, направленное перпендикулярно v è B. Это поле действует на заряд q в направлении, противоположном силе
и препятствует их дальнейшему накоплению на грани. Ког- q v,B
да силы уравняют друг друга, то дальнейший приток зарядов прекратится qEx = qvB; отсюда следует, что
Ex = vB. |
(2) |
Умножив и разделив (2) на величину nq, ãäå n – концентрация носителей тока, а q – заряд носителя, и учитывая, что плотность тока
35
j = |
I |
= nqv, |
(3) |
|
|||
|
S |
|
|
ãäå S – площадь поперечного сечения проводника, равная âd , получим
E = IBR |
, |
(4) |
|
x |
S |
||
|
|
|
|
ãäå R – постоянная Холла, равная
R = |
1 |
. |
(5) |
|
|||
|
nq |
|
|
Если имеем дело с электронами, то заряд q следует приравнять e. Более тщательный расчет, учитывающий максвелловское распределение электронов по скоростям, приводит к значению постоянной Холла, равной
R = − 3π |
1 |
. |
(6) |
|
|||
8 ne |
|
||
С напряженностью электрического поля Ex связана холловская разность потенциалов
εx = R IBd = R IB,
S â
ãäå â – толщина пластины.
Отсюда следует, что измерив εx , I è B, можно определить R |
|
R = εxâ . |
(7) |
IB |
|
Для большинства металлов R, как следует из (6), отрицательна, хотя в некоторых случаях значения R оказались положительными, что привело в свое время к представлению о дырочной проводимости. Эффект Холла дает такую информацию о проводниках, которую невозможно получить каким-либо другим путем – он позволяет определить концентрацию носителей тока и знаки их зарядов.
Для изучения полупроводников эффект Холла еще более важен, чем для металлов. Полупроводники обладают небольшим количе- ством носителей зарядов, следовательно, постоянная Холла у них значительно больше, чем в металлах, и ее легче определить.
Существуют три эффекта, дающие нежелательный вклад в ЭДС Холла, которые можно исключить, организовав надлежащую процедуру измерений. Наиболее существенным является эффект несим-
36
метрии холловских зондов, состоящий в возникновении дополнительной к холловской разности потенциалов между зондами À è Â на рис. 2, если они подведены к точкам, не лежащим на одной эквипотенциальной поверхности. Этот эффект можно исключить, произведя в каждом случае пару измерений для противоположных направлений магнитного поля Â. Исправленное значение ЭДС будет
εxèñïð |
= |
εx(B) − εx |
(−B) |
. |
(8) |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
Существуют довольно слабые эффекты, которые в конечном итоге связаны с неизбежным присутствием градиента температуры в образце. Поэтому для их исключения нужно произвести серию из четырех измерений: менять направление тока через пластинку и направление магнитного поля. Тогда истинное значение холловской разности потенциалов будет
εxèñïð |
= |
εx(B,I) − εx(−B,I) − εx(−B,−I) + εx |
(B,−I) |
. |
(9) |
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
Важной характеристикой вещества является подвижность в нем носителей тока, под которой подразумевается средняя скорость, приобретаемая носителем в электрическом поле, напряженность которого равна единице
U0 |
= |
v |
. |
(10) |
|
||||
|
|
E |
|
|
Подвижность можно связать с проводимостью σ и концентрацией
носителей n. Для этого разделим соотношение (3) на напряженность |
||||||||
электрического поля E и воспользуемся законом Ома в дифференци- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
альной форме: j |
= σE . В результате деления получим |
|
||||||
|
j |
= σ = |
nqv |
= nqU0. |
(11) |
|
B |
|
|
E |
|
|
|||||
|
|
E |
|
|
a |
|||
Величину σ можно определить в |
|
|||||||
|
|
|||||||
опыте, измеряя омическое сопро- |
|
|
||||||
тивление исследуемой пластинки |
d |
I |
||||||
вдоль направления протекания |
|
|||||||
|
|
|||||||
òîêà I (рис. 1). Действительно, из |
b |
|
||||||
закона Ома для участка однородной |
|
|
||||||
цепи, обладающего удельным со- |
Ex |
|
||||||
противлением ρ, падение напряже- |
|
|
||||||
íèÿ U |
|
|
|
|
|
Ðèñ. 1 |
|
|
37
U = Iρ a .
S
Òàê êàê ρ = 1σ , то из последней формулы с учетом (11) для U0 полу- чаем следующую практическую формулу:
U = IaR. |
(12) |
|
0 |
Uâd |
|
|
|
|
Для измерения постоянной Холла (7), помимо измерения εx è ñèëû òîêà I, нужно знать величину магнитной индукции B. В настоящей работе для измерения индукции магнитного поля B используется метод флюксметра. Принцип работы флюксметра основан на явлении электромагнитной индукции, выражаемом законом Фарадея:
ε = − dΦ , |
(13) |
dt |
|
где ε – ЭДС индукции; Ф = BS – поток магнитной индукции через контур площадью S.
Если в магнитном поле поместить проволочную катушку и присоединить ее концы к баллистическому гальванометру, то при изменении магнитного потока через катушку в цепи возникает импульс тока, мгновенное значение которого будет
I = − 1 dΦ , |
(14) |
r dt |
|
ãäå r – суммарное сопротивление катушки и баллистического гальванометра. Измеряемой величиной является изменение потока магнитной индукции Ф, которое получается интегрированием выражения (14). Поскольку магнитный поток через катушку меняется за счет изменения направления тока через электромагнит от значения –Ф0 äî +Ô0, то из (14) получим
t |
|
Φ0 |
|
2Φ0 |
|
|
|
∫I(t)dt = 1 |
∫ |
dΦ = |
. |
(15) |
|||
|
|||||||
0 |
r |
−Ô0 |
|
r |
|
||
Величина интеграла, стоящего в левой части выражения (15), представляет собой заряд Q, протекающий через гальванометр и измеряемый по отбросу светового зайчика. Если пренебречь сопротивлением катушки, то величина r равняется сопротивлению гальванометра, равному 9,0 Ом. Шкала прибора с учетом внутреннего сопро-
38
тивления гальванометра разбита на деления, соответствующие магнитному потоку. Отброс «зайчика» гальванометра на N делений соответствует величине
Qr = CôN = 2Φ0, |
(16) |
ãäå Cô – баллистическая постоянная прибора, равная 5 10−6 Âá/äåë. Òàê êàê Φ0 = BSn , ãäå n – число витков катушки, то для искомой
величины B получаем окончательно
B = |
CôN |
|
|
|
. |
(17) |
|
|
|||
|
2Sn |
|
|
Описание лабораторной установки
Исследуемый образец представляет собой тонкую прямоугольную пластинку из полупроводникового материала – германия (рис. 1). Между зондами C è Ä прикладывается небольшая разность потенциалов. Пластинка помещается в сильное магнитное поле. При этом между зондами À è Â возникает разность потенциалов – холловская ЭДС, величину которой и требуется измерить. На рис. 2. приведена схема электрической установки. Основной частью является электромагнит ÝÌ, между полюсными наконечниками которого смонтирован неразъемный узел, содержащий исследуемую пластину из германия (размеры пластин указаны на установке) и проволочную катушку Ê для измерения индукции магнитного поля. Оба элемента закреплены в рамке из оргстекла, перемещение которой ограничено вертикальными пазами. Рамка фиксируется стопорным винтом. Пита-
|
|
|
|
M197 |
|
|
ìÀ |
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Ñ |
|
|
Ï |
R1 |
À |
 |
|
+ |
Á |
|
|
|
|
– |
|
|
D |
|
ìÀ |
|
|
|
|
|
||
|
Ï1 |
1 |
2 1 2 |
ÝÌ Ï2 |
2 |
|
|
||||
|
|
Ï3 |
|
|
|
|
|
|
Ù4313 |
|
|
Ðèñ. 2
39
íèå ÝÌ осуществляется от выпрямителя с контролем тока по миллиамперметру. Ток через ÝÌ варьируется в пределах 50–380 мА.
На переднюю панель узла выведены следующие электрические клеммы; две клеммы Ê – для подключения измерительной катушки к баллистическому гальванометру Ì197; клеммы Ñ è Ä – для подачи напряжения на полупроводниковую пластину. Величина напряжения для данной пластины не должна превышать 1,5 В, а сила тока 1 мA, так как в противном случае пластина разрушится. Источником напряжения служит батарея Á. Ток через пластину регулируется с помощью потенциометра R1, ось которого выведена на переднюю панель пульта. Величина тока не должна превышать 0,9 мA. С клемм À è Â снимается холловская ЭДС, которая измеряется цифровым прибором Ù4313. В установке предусмотрена возможность переключения Ù4313 на клеммы Ñ è Ä (переключатель ÏÇ).
Направления токов через пластину и обмотку ÝÌ меняются с помощью переключателей Ï1 è Ï2 соответственно. Эти переключатели смонтированы на пульте и с элементами схемы соединяются студентом самостоятельно
Порядок выполнения работы
Работа состоит из двух частей. B первой части с помощью измерительной катушки Ê определяют индукцию Â магнитного поля электромагнита ÝÌ. Во второй части, используя полученные в первой части данные, проводят измерения постоянной Холла и, затем измеряя проводимость образца, определяют подвижность носителя заряда.
Для определения Â, предварительно отпустив стопорный винт, устанавливают измерительную катушку Ê между полюсами электромагнита и подсоединяют ее к баллистическому гальванометру Ì197. Включают блок питания ÝÌ и по миллиамперметру 1 устанавливают некоторую величину тока через обмотку электромагнита. Происходящее при переключении тока изменение потока магнитной индукции ∆Ф измеряется по отбросу светового указателя прибора Ì197. Используя указанные на установке параметры измерительной катушки, следует произвести вычисления Â (17). Измерение B произвести для пяти различных значений тока через электромагнит и их значения представить в виде таблицы.
Для выполнения второй части работы между полюсными наконечниками ÝÌ необходимо установить германиевую пластину. Клеммы À è Â, Ñ è Ä через ÏÇ соединить с Ù4313. По миллиамперметру установить ток через пластину не более 0,9 мA. Вначале, меняя ток через обмотки ÝÌ, измерить ЭДС Холла, меняя всякий раз направ-
40