Иванова Г.С. - Основы программирования

7. Программирование с использованием динамической памяти

Поиск вершины также можно осуществлять, используя рекурсию. Для удобства использования построим рекурсивную функцию, которая будет возвращать true, если элемент найден, и false ~ в противном случае. Адрес найденного элемента будем возвращать через параметр pass:

Function Find(r:topj>tr; Varpass:topj)tr; n:integer):boolean; Begin

ifr^nil then Find:=fiilse {значение не найдено} else

ifn=r^.value then begin

Find:-true; {значение найдено} pass:=r; {запомнили адрес}

end

else

ifn<r^.value then

Find:^Find(r^Jefl,n) {влево} else Find: =Find(r^.right,n); {вправо}

End;

Вызывать такую функцию можно непосредственно из условия операто­ ра условной передачи управления или циклов, например:

241

Часть 1. Основы алгоритмизации и процедурное программирование

а б

Рис. 7.20. Удаление листа:

а - поиск удаляемой вершины; б- удаление вершины

if Find(r,pass,n) then <вершина найдена, адрес в pass>

else <вершина не найдена> ...

Удаление вершины с указанным ключом. Удалению вершины с ука­ занным ключом предшествует ее поиск (см. выше). Непосредственное удале­ ние вершины реализуется в зависимости от того, какая вершина удаляется:

•удаляемая вершина не содержит поддеревьев (лист) - удаляем ссьшку на вершину из корня соответствующего поддерева (рис. 7.20);

•удаляемая вершина содержит одну ветвь (рис. 7.21, а): для удаления необходимо скорректировать соответствующую ссылку в корне, заменив ад­ рес удаляемой вершины адресом вершины, из нее выходящей (рис. 7.21, б);

•удаляемая вершина содержит две ветви (рис. 7.22, а): в этом случае нужно найти подходящую вершину, которую можно вставить на место уда­ ляемой, причем эта подходящая вершина должна легко перемещаться. Такая вершина всегда существует: это либо самый правый элемент левого подде­ рева, либо самый левый элемент правого поддерева удаляемой вершины (рис. 7.22, б).

Ниже представлена рекурсивная процедура удаления вершины с указан­ ным значением (параметры: г - адрес корня дерева, к - значение).

Рис. 7.21. Удаление корня с одним поддеревом:

а -> поиск удаляемой вершины; б- удаление вершины

242

7. Программирование с использованием динамической памяти

ш^

Рис. 7.22. Удаление корня с двумя поддеревьями:

а- поиск удаляемой вершины и вершин-кандидатов на замещение; б- замена вершины самой правой вершиной левого поддерева;

в- замена вершины самой левой вершиной правого поддерева

Procedure Delete(var г:topj)tr;к:integer);

{Внутренняя рекурсивная процедура поиска заменяющей вершины в левом поддереве. Параметры: г - адрес корня левого поддерева, q - адрес заменяемой вершины}

Procedure delfvar r:topj)tr; q:topj)tr); Var ql:topj)tr;

begin

ifr\right=^nil then {заменяющая вершина найдена} begin

q\value:-r\value; {копируем значение}

243

Часть L Основы алгоритмизации и процедурное программирование

if k<r\value then {если меньше, то налево}

Delete(r\lefUk)

else

ifk>r^.value then {если больше, то направо}

Delete(r\right,k)

else

begin {элемент найден, его необходимо удалить} {удаление листа или корня с одним поддеревом} ifr\right=nil then {нет правого поддерева}

begin

r:=r\left;

О18ро8е(ф; end

else

ifr\left=nil then {нет левого поддерева} begin

r:=r\ right; О18ро8е(ф;

end

else {удаление корня с двуми поддеревьями} del(r^Jeft,r);

end End;...

Сортировка с использованием дерева. Так как дерево формируется по определенным выше правилам, то сортировка по возрастанию осуществля­ ется обходом дерева «слева направо». Обход начинается с самого нижнего левого листа или, если такого листа нет, корня. Вывод значений осуществля­ ется в следующем порядке: сначала выводится значение самого нижнего ле­ вого поддерева, затем корня, затем самого нижнего левого поддерева право­ го поддерева и т.д. (рис. 7.23).

Пример 7.6. Разработать про­ грамму сортировки заданной по­ следовательности целых чисел с использованием сортированного бинарного дерева.

244

7. Программирование с использованием динамической памяти

Построение дерева реализуем отдельной подпрограммой, которая будет получать адрес добавляемой вершины и адрес корня бинарного дерева. По­ иск корня для добавляемой вершины, как показано выше, будем осуществ­ лять рекурсивно.

Обход дерева «слева направо» также будем осуществлять рекурсивно. Нерекурсивный вариант достаточно сложен, и его использование нецелесо­ образно.

Полностью текст программы приведен ниже.

end;

{процедура сортировки - обход дерева} procedure Tree(r:top_ptr);

begin ifronilthen

begin {если есть поддерево}

Tree(r\left); {обход левого поддерева} Write(revalue: 4); {вывод значения из корня} Tree(r\right); {обход правого поддерева}

end;

end;

{основная программа} begin

{формирование исходного дерева}

WriteLnCВводите числа'); г:=пП;

Read(nextjiumber); while not EOF do

245

Часть L Основы алгоритмизации и процедурное программирование

Оценка вычислительной сложности операций с сортированными бинарными деревьями. Использование сортированных бинарных деревьев достаточно эффективно с точки зрения временных оценок. Оценим вычисли­ тельную сложность основных операций с данной структурой.

Операция поиска вершины. Худшим случаем при поиске вершины явля­ ется случай, когда дерево имеет вид последовательности вершин (рис. 7.24, а, б), В этом случае для поиска вершины в среднем потребуется (п+1)/2 проверок, как при последовательном поиске, например, в массиве, или Оу{х\),

Оценку в среднем выполним для сбалансированного дерева (рис. 7.24, в). Поиск вершины в этом случае потребует (Iog2 п4-1)/2 проверок, т. е. получаем вычислительную сложность в среднем Ocp(Iog2 п).

Операция построения дерева. Худшим случаем при построении дерева является дерево, представляющее собой последовательность вершин, так как при этом поиск вершины, к которой необходимо добавить новую, потребует максимального числа проверок. Количество проверок в этом случае: п-1 - для последнего элемента, 1 - для второго (для первого элемента проверки не

б

Рис. 7.24. Частные случаи бинарных деревьев:

а, б- деревья в виде последовательности вершин; в - сбалансированное дерево

246

7. Программирование с использованием динамической памяти

требуется). В среднем необходимо [(п-1)+1]/2 проверок; умножив на п-1 элемент, получаем п(п-1)/2 проверок, или OyivP-),

Оценку в среднем выполним также на сбалансированном дереве. Коли­ чество проверок для поиска родительской вершины составит (log2 (п-1 )+1)/2; соответственно, умножив на (п-1), получим 0^p(nlog2 п).

Операция обхода дерева в процессе получения сортированной последо­ вательности. Для деревьев обоих видов сложность одинакова, так как для каждой вершины при обходе проверяется наличие левого и правого поддере­ вьев, т.е. суммарное количество проверок равно 2п. Следовательно, вычис­ лительная сложность операции обхода равна 0(п). С учетом построения де­ рева вычислительная сложность в среднем составит 0^,р(п Iog2 п).

Задания для самопроверки

Задание 1. Разработайте профамму, которая обеспечивает быстрый поиск ин­ формации о сотрудниках фирмы с использованием бинарных деревьев: имя, фами­ лия, отчество, отдел, должность, служебный телефон, домашний адрес и телефон. Определите, во сколько раз быстрее в среднем будет выполняться поиск информации по сравнению с последовательным поиском (см. параграф 4.6), если количество со­ трудников фирмы 10, 100, 1000 человек.

Задание 2. Для программы предыдущего задания оцените объем оперативной памяти, необходимой для размещения информации о 300 сотрудниках фирмы. Опре­ делите долю памяти, отводимой для хранения адресов элементов.

7.6.Практикум. Разбор арифметических выражений

сиспользованием бинарных деревьев

Проблема вычисления арифметических выражений, вводимых пользо­ вателем, а потому представленных символьной строкой, возникает при реше­ нии многих практических задач, например, при разработке универсальных программ, решающих задачи вычислительной математики (поиск корней функции, вычисление определенного интеграла и т.п.).

Одним из способов разбора выражения является представление его в ви­ де дерева, каждое поддерево которого отображает одну операцию выражения в порядке убывания приоритета операции. В корнях такого дерева хранится знак операции, а каждое поддерево представляет собой операнд. Так, напри­ мер, выражение

(х+1,5)(х-10)(х+5)/(х.ЗЛ)

может быть представлено бинарным деревом, изображенным на рис. 7.25 (возведение в степень обозначено символом «^»).

247

Часть I. Основы алгоритмизации и процедурное программирование

и \^ и v^ и v^ ^\^

©@0®0©0®

Рис. 7.25. Представление выражения в виде бинарного дерева

Построение дерева выражения выполняется следующим образом:

а) в символьной строке, содержащей запись выражения, определяется положение операции с минимальным приоритетом, записанной вне круглых скобок (если строка содержит несколько операций одинакового приоритета, то выбираем любую из них);

б) операция записывается в корень дерева, а строка делится на две: под­ строка первого операнда и подстрока второго операнда, при этом по необхо­ димости выполняется операция снятия скобок;

в) в подстроках операндов вновь определяется положение операции с минимальным приоритетом и т.д.

Если полученные на очередном шаге подстроки не содержат операций, то процесс заканчивается, а подстроки записываются в вершины очередного уровня в качестве листьев.

Листья такого дерева могут быть двух типов: лист, содержащий имя пе­ ременной, и лист, содержащий значение константы. Вычисление выражения

выполняется рекурсивно:

•если вершина - лист, то в качестве ре­ зультата подставляется значение константы или переменной,

•если вершина - операция, то вычисляет­ ся левый операнд, потом - правый операнд, а затем над ними выполняется операция.

Правила работы с деревом выражения лег­ ко можно дополнить так, чтобы обеспечить вы­

числение элементарных функций, таких, как sin X или In X. Например, имя функции будем за­ писывать в соответствующей вершине дерева, а аргумент представлять в виде левого поддерева. Выражение (x+l,5)*cos(2*x+5), таким образом, будет представлено деревом, изображенным на рис. 7.26.

248

7. Программирование с использованием динамической памяти

Пример 7.7. Разработать программу построения таблицы значений функции одного аргумента, определенной пользователем. (Чтобы не услож­ нять и без того сложную программу, не будем предусматривать операцию «унарный минус».)

В первую очередь определим структуру информационной части записи, соответствующей вершине дерева: каждая вершина должна хранить знак операции, адреса операндов и для констант - значение константы, причем для листьев в качестве знака операции будет храниться признак типа листа: «о» - константа или «х» -- переменная.

Процедура Constr_Tree конструирования дерева из выражения по сути рекурсивна: она последовательно должна разбивать строку выражения на от­ дельные операции и строить соответствующие поддеревья. Параметры про­ цедуры: адрес корня дерева г и строка выражения, из которой необходимо по­ строить дерево. Процедура должна многократно осуществлять поиск разде­ ляющего знака операции: сначала нижнего уровня приоритета, затем все бо­ лее высокого. Этот поиск целесообразно реализовать как внутреннюю функ­ цию, которая будет получать множество знаков операции Set_Of и строку st.

Вычисление выражения по дереву таклсе будет выполняться рекурсив­ ной функцией Count. Эта функция в качестве параметров будет получать зна­ чение адрес корня дерева и значение х. При вычислении учтем, что выполне­ ние некоторых операций, например деления на ноль, получение логарифма отрицательного числа и т.п., невозможно; в этом случае функция Count будет возвращать значение параметра Key=false.

{рекурсивная функция конструирования поддерева выражения с корнем г из строки st}

Procedure Constr_Tree(r:pTop;st:str80);

Var next.'pTop; SetOp:setChar; po,code:integer; stlstri:str80; с:single;

249

Часть 1. Основы алгоритмизации и процедурное программирование

{внутренняя функция поиска разделительного знака в строке st: SetOp - множество знаков; функция возвращает позицию разде­ лительного знака или 0}

Function PosOp(st:str80;SetOp:setChar):byte; Var ij,k,p:byte;

begin j:=0;k:=0;p:=0;i:=l;

while (7<= length(st)) and (p'=0) do begin

ifst[ij= Y* ^hen inc(j) {считаем количество открывающихся скобок}

else ifst[i]'=')' then inc(k) {считаем количество закрывающихся скобок}

else ifQ'^k) and (st[i] in SetOp) thenp:=i;

inc(i):

end;

PosOp:=p;

end;

{раздел операторов функции конструирования дерева выражения}

Begin

begin

r^.operator: = 'x\'

250