1 курс 2 семестр (Математика - задание)

Числовые и функциональные ряды. Функции нескольких переменных.

Двойные и криволинейные интегралы.

Составители: А.Я.Казаков, В.М.Корчевский. Рецензенты: Фарафонов В.Г.

Методические указания и контрольные работы N 3 для студентов 1 курса заочной формы обучения технических специальностей.

Государственный университет аэрокосмического приборостроения, С.-Петербург 190000, Большая Морская, 67.

1

.

1Указания по выполнению контрольных работ

Студент выполняет контрольные работы по варианту, номер которого получа- ется из следующей формулы: следует разделить номер учебного шифра на 20, остаток от деления - номер варианта (если остаток 0, то номер варианта - 20).

При оформлении и выполнении контрольных работ следует:

1.В начале работы ясно написать фамилию студента, инициалы, номер студенческого билета, шифр, номер контрольной работы.

2.Контрольная работа выполняется в тетрадке, а не на листах, обязательно чернилами или шариковой ручкой (но не красными) с полями для замечаний рецензента.

3.Решения задач контрольной работы располагаются в порядке номеров, указанных в контрольных заданиях. Перед решением задачи должно быть полностью переписано ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует заменить данные задачи конкретными из своего варианта.

4.Решения задач и пояснения к ним должны быть подробными, аккуратными, без сокращений слов. Чертежи можно выполнять от руки.

Контрольные работы, выполненные с нарушениями изложенных правил или выполненные не по своему варианту, не засчитываются и возвращаются без проверки.

Получив из университета прорецензированную работу, студент должен исправить в ней все отмеченные ощибки и недочеты. Если работа не зачтена, она должна быть в короткий срок либо выполнена заново целиком, либо должны быть заново решены задачи, не зачтенные рецензентом. Зачтенные контрольные работы предъявляют преподавателю на экзамене.

2Числовые ряды

Пусть {an}, n = 1, 2, 3, ... последовательность действительных чисел. Определение. Выражение a1 + a2 + . . . + an + . . . обозначают символом

∑∞

n=1

и называют числовым рядом. При этом элементы последовательности {an} называют членами ряда. Центральный вопрос данного раздела анализа - вопрос

2

Определение. Если последовательность {Sn} частичных сумм ряда имеет

конечный предел, то ряд называют сходящимся. При этом предел lim S =

∑ n→∞ n

S называют суммой ряда и записывают ∞n=1 an = S.

Если последовательность {Sn} не имеет предела, или предел бесконечен, ряд называют расходящимся.

Пример.

Рассмотрим последовательность an = θn, известный как геометрическая

свойства, которыми обладают сходящиеся последовательности. Как следует из приведенных выше определений, аналогичными свойствами обладают и сходящиеся ряды.

по необходимому признаку ряд расходится.

Определение. Ряд называется положительным, если все его члены поло-

∑∞ ∑∞

1) åñëè ðÿä n=1 bn сходится, то сходится и ряд n=1 an,

3

деленная при x > 1 неотрицательна и не возрастает. Тогда для того, чтобы

∑∞

n=1 f(n) сходился, необходимо и достаточно, чтобы сходился интеграл

f(x)dx.

Определение. Пусть {an} последовательность положительных чисел. Тогда ряд

∑∞

a1 − a2 + a3 − a4 + . . . + (−1)n−1an + . . . = (−1)n−1an

n=1

называют знакопеременным. Другими словами, знакопеременным называют ряд, члены которого поочередно имеют то положительный, то отрицательный знаки.

Теорема. (Лейбниц) Если

1) члены знакопеременного ряда монотонно убывают по абсолютной вели-

Лейбница этот ряд сходится.

Определение∑ . Ðÿä ∑∞n=1 an называют абсолютно сходящимся, если сходит-

∞n=1 |an|.

Предложение. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

4

Обратное, вообще говоря, неверно: существуют сходящиеся ряды, которые

Решение. Воспользуемся радикальным признаком Коши. Вычисляем:

√

(поскольку limn→∞ n n = 1), следовательно, ряд расходится.

2) Исследовать сходимость числового ряда ∑∞n=2 an, ãäå an =

Решение. Функция 1/(xlnx) положительна при x > 1 и монотонно убывает при x > e, так что можно воспользоваться интегральным признаком. Получаем:

таким образом, интеграл расходится, следовательно, ряд расходится.

3Последовательности и ряды функций.

Рассмотрим последовательность функций {fn(x)}, n = 1, 2, . . ., определенных на множестве E R.

Определение. Последовательность функций {fn(x)} называется сходящейся (поточечно) к функции f на множестве E (обозначается: fn → f), если числовая последовательность {fn(x)} сходится к f(x) при каждом x E. Другими словами, для любого x E и любого ε > 0 найдется такое N N, что для любого n > N выполнено |fn(x) − f(x)| < ε. (Здесь число N зависит от x E).

Определение. Последовательность функций {fn} называется равномерно сходящейся к функции f на множестве E (обозначается: fn f), åñëè äëÿ

любого ε > 0 найдется такое N N, что для любого n > N и любого x E выполнено |fn(x) − f(x)| < ε. (В этом определении число N уже не зависит от x).

Предложение. Равномерно сходящаяся последовательность функций сходится поточечно.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

5

∑

n=0

Поэтому мы ограничимся рассмотрением рядов вида (3).

Теорема. (Абель) Если степенной ряд (3) сходится при некотором значении x = x1, то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях, для которых

|x| < |x1|. Если степенной ряд расходится при x = x1, то он расходится и при âñåõ x, для которых |x| > |x1|.

Теорема. Для всякого степенного ряда существует такое число R ≥ 0, ÷òî ïðè |x| > R ряд сходится, а при |x| > R ряд расходится.

Число R называется радиусом сходимости ряда. Если интервал сходимости вырождается в точку, то R = 0. Если же ряд всюду сходится, то есть сходится при любом значении x, òî R = ∞.

Радиус сходимости R степенного ряда (3) можно определить через его ко-

эффициенты.

Отдельного обсуждения требуют точки x = R, x = −R: ряд может в них

сходиться или расходиться, в зависимости от поведения коэффициентов ряда. Таким образом, для степенного ряда интервал сходимости включает отрезок (−R, R) и, может быть, одну или обе точки x = −R, x = R.

6

√

Теорема. (Коши-Адамар) Если ρ = limn→∞ n |an|, то радиус сходимости степенного ряда (3) равен R = ρ−1. (Ïðè ýòîì åñëè ρ = 0, òî R = +∞, åñëè

ρ = +∞, òî R = 0).

Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора.

В этом разделе мы будем рассматривать функции, представимые в виде степенного ряда, то есть функции вида

∑∞

ков, которые могут быть найдены из ряда (4) почленным дифференцированием:

∑∞

f(m)(x) = n(n − 1) . . . (n − m + 1)an(x − x0)n−m, m = 1, 2, . . . ; (5)

n=m

таким образом, ряд (4) можно почленно интегрировать на интервале (x0 −

R, x0 + R);

3) ряды (4), (5) и (6) имеют одинаковые радиусы сходимости.

Теорема. Если функция f(x) раскладывается в некоторой окрестности

7

Определение. Ðÿä

называют рядом Тейлора функции f в точке x0. Ïðè x0 = 0 ряд (7) называют рядом Маклорена функции f.

Пусть функция f имеет в точке x0 производные до порядка n включительно. Тогда можно записать

Формула (8) называется формулой Тейлора. Функция rn(x0; x) называется n-м остаточным членом формулы Тейлора.

Предложение. Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в неко-

формулы Тейлора (8) стре-

мился к нулю при n → ∞: limn→∞ rn(x0; x) = 0.

ãäå 0 < θ < 1. Формула (9) называется остаточным членом в форме Лагранжа.

ðÿäà

Ряды Фурье.

Определение. Ðÿäû âèäà

8

называют тригонометрическими рядами. Числа an, bn называют коэффициен- тами тригонометрического ряда (10).

Определение. Система функций

называются коэффициентами Фурье функции f(x) по основной тригонометри- ческой системе.

Замечание. Чаще всего в приложениях используют вариант, когда l = π. При этом и формулы (11) становятся несколько проще:

Определение. Тригонометрический ряд (10), коэффициенты которого определяются по формулам (11), называется рядом Фурье функции f(x).

Определение. Говорят, что функция f(x), заданная на интервале (−l, l), удовлетворяет условиям Дирихле, если она

1)ограничена на этом интервале;

2)имеет на этом интервале не более, чем конечное число точек разрыва первого рода;

3)имеет на этом интервале не более, чем конечное число точек экстремума.

Теорема. Если на интервале (−l, l) функция f удовлетворяет условиям

Дирихле, то ее ряд Фурье сходится в каждой точке этого интервала. Сумма этого ряда равна

1) f(x), åñëè x точка непрерывности функции f;

9

2) 12 [f(x − 0) + f(x + 0)], åñëè x точка разрыва функции f; 3) 12 [f(−l + 0) + f(l − 0)] на концах этого интервала.

Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [−l, l] и имеет на

этом отрезке не более, чем конечное число точек экстремума. Если выполнено равенство f(−l) = f(l), то ряд Фурье функции f сходится равномерно на этом

отрезке, и сумма его в произвольной точке x [−l, l] равна значению функции f в этой точке.

Замечание. Из определений следует, что если f(x) четная функция, то ее ряд Фурье имеет вид

Определение. Число T > 0 называют периодом функции f, если для любого числа x, принадлежащего области определения E R функции f, числа x + T è x − T также принадлежат E и для любого x E выполнено условие f(x + T ) = f(x). Функция, имеющая период T , называется T -периодической.

Если функция f определена на промежутке [−l, l) то ее можно продолжить на всю числовую ось так, чтобы получилась 2l-периодическая функция. Следует положить

g(x + 2lk) = f(x), x [−l, l), k = 0, ±1, ±2, . . . .

Функция g, очевидно, 2l-периодическая и на промежутке [−l, l) совпадает с функцией f. Поэтому функции f è g, рассматриваемые только на интервале (−l, l) имеют один и тот же ряд Фурье.

Замечание. Если функция f является T -периодической, интегрируемой на отрезке [0, T ] (в собственном или несобственном смысле), то для любого числа a имеет место равенство

∫ a+T ∫ T

f(x)dx = f(x)dx.

a 0

Таким образом, для коэффициентов Фурье 2l-периодической функции, удовлетворяющей на интервале (−l, l) условиям Дирихле, справедливы формулы

10