Оценка (2.4.18) является несмещенной. Действительно, поскольку

M y / x {y}= Hx ,

а

E − K мфпH = 0 ,

то

My / x {(x − K мфп y)}= 0 .

Всилу того, что ошибка оценки εмфп ( y) = x − xˆ мфп ( y) может быть представлена в виде,

аналогичном (2.2.20), т.е.

то эта ошибка, как и ошибка в ОМНК, не зависит от оцениваемого вектора x , а зависит только от ошибок измерения. Существенно, что и матрица ковариаций также не зависит от оцениваемого вектора. Отметим, что в общем, нелинейном случае это не так.

При вычислении матрицы Фишера (2.4.15) в этой задаче в силу того, что s(x) = Hx , получаем

Таким образом, в линейной гауссовской задаче максимально правдоподобная оценка (2.4.19) является несмещенной эффективной оценкой с матрицей ковариаций (2.4.20).

Поскольку оценка МФП, как отмечалось выше, совпадет с оценкой ОМНК, то этот же вывод будет справедлив и для оценок ОМНК.

Обращаем еще раз внимание на то, что все обсуждаемые выше характеристики вычислялись при фиксированном значении, вообще говоря, неизвестного вектора x , который в сущности и подлежит нахождению. Ситуация меняется, если ввести предположение о случайном характере оцениваемого вектора x . В этом случае задача будет формулироваться уже в рамках байесовского подхода, основные положения которого и обсудим в разделе 2.5.

2.4.6 Задачи к разделу 2.4.

Задача 2.4.1.

Получите выражение для матрицы, характеризующей нижнюю границу точности в задаче определения координат места по измерениям дальностей (2.1.16) до m точечных ориентиров, полагая, что ошибки измерения являются независимыми между собой гауссовскими

центрированными случайными величинами с дисперсиями ri2 , i =1.m . К чему сведется алгоритм

вычисления оценки, соответствующей методу МФП в случае, если считать допустимым линеаризованное представление дальностей?

63

Решение.

Принимая во внимание выражение (2.4.15), для матрицы нижней границы получим следующее

в котором матрицы M i (x) определяются соотношением (2.2.33).

При допустимости линеаризованного описания дальностей алгоритм МФП совпадет с алгоритмом ОМНК, который для случая m = 2 подробно рассмотрен в задаче 2.2.6.

Задача 2.4.2. Получите выражение для функции правдоподобия и дисперсии эффективной оценки, характеризующей нижнюю границу точности в задаче оценивания скалярной величины x

представляют собой сумму центрированной гауссовской случайной величины с дисперсией σ2d

и независимых между собой и от d центрированных гауссовских случайных величин с одинаковыми дисперсиями ri2 = r 2 , i =1.m .

Решение.

Принимая во внимание результаты решения задачи 1.5.2, матрицу ковариаций ошибок для вектора ε и обратную ей матрицу можем представить в виде

Таким образом, для нахождения оценки, соответствующей МФП, необходимо минимизировать

64

Задача 2.4.3. Покажите, что выражение (6) для J мфп(x) из задачи 2.4.2 может быть представлено в виде

Решение.

Для того, чтобы убедиться в справедливости (1), запишем следующее представление для функции правдоподобия (2)

f( y / x) = f ( ym / ym−1, ym−2 ,..y1, x) f ( ym−1 / ym−2 , ym−3 ,..y1, x).... f ( y1 / x).

Сиспользованием этого выражения легко получить представление (1), если учесть, что при

фиксированном значении x случайные величины yi = hx + d + vi , i =1.m - являются гауссовскими с математическими ожиданиями и дисперсиями, определяемыми выражениями (2),

(3).

Таким образом, показано, что

Задача 2.4.4. Опишите соответствующий методу максимума функции правдоподобия алгоритм нахождения оценки неизвестной скалярной величины по измерениям (2.1.1) в предположении, что ошибки измерения vi , i =1.m представляют собой независимые друг от друга равномерно распределенные в интервале [0,1] случайные величины.

Решение.

65

Запишем

i =1

Отсюда следует, что в качестве оценки, соответствующей максимуму функции правдоподобия,

можно принять любое значение x Ωm . Обратим внимание, что, если упорядочить полученные измерения, расположив их в порядке возрастания, то границы области Ωm можно выразить через

x [max{y1 y2 }−1, min{y1 y2 }] , рис.2.4.1.

Рис. 2.4.1 Получение оценки постоянной скалярной величины, максимизирующей функцию правдоподобия f ( y / x) = f ( y1 / x) f ( y2 / x) при равномерно распределенном

характере ошибок измерения.

66